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Theorem cdlemk52 39467
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 6, p. 120. 𝐺, 𝐼 stand for g, h. 𝑋 represents tau. (Contributed by NM, 23-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk5.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk5.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
cdlemk5.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜π‘ƒ) = π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
cdlemk52 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹)β€˜π‘ƒ) = (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ))
Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐡,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ∧ ,𝑏,𝑧   ≀ ,𝑏   𝑧,𝑔, ≀   ∨ ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐡,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   π‘Š,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,π‘Œ   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,𝑔,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   π‘Œ(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk52
StepHypRef Expression
1 cdlemk5.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cdlemk5.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 simp11l 1285 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 37876 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp11 1204 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 simp12 1205 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
7 simp13 1206 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
8 simp21 1207 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ 𝑁 ∈ 𝑇)
9 simp22 1208 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
10 simp23 1209 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))
11 cdlemk5.j . . . . . . . . 9 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
12 cdlemk5.m . . . . . . . . 9 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
13 cdlemk5.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
14 cdlemk5.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
15 cdlemk5.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
16 cdlemk5.r . . . . . . . . 9 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
17 cdlemk5.z . . . . . . . . 9 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
18 cdlemk5.y . . . . . . . . 9 π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
19 cdlemk5.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜π‘ƒ) = π‘Œ))
201, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemk35s 39450 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇)
215, 6, 7, 8, 9, 10, 20syl132anc 1389 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇)
22 simp31 1210 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ 𝐼 ∈ 𝑇)
23 simp32 1211 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
2422, 23jca 513 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
251, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemk35s 39450 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇)
265, 6, 24, 8, 9, 10, 25syl132anc 1389 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇)
2714, 15ltrnco 39232 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇 ∧ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇) β†’ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∈ 𝑇)
285, 21, 26, 27syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∈ 𝑇)
29 simp22l 1293 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
302, 13, 14, 15ltrnat 38653 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹) ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
315, 28, 29, 30syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
321, 13atbase 37801 . . . . 5 (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
3331, 32syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
342, 13, 14, 15ltrnat 38653 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
355, 21, 29, 34syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
361, 13atbase 37801 . . . . . . 7 ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 β†’ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
3735, 36syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
381, 14, 15, 16trlcl 38677 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹) ∈ 𝐡)
395, 26, 38syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹) ∈ 𝐡)
401, 11latjcl 18336 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹) ∈ 𝐡) β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ∈ 𝐡)
414, 37, 39, 40syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ∈ 𝐡)
422, 13, 14, 15ltrnat 38653 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
435, 26, 29, 42syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
441, 13atbase 37801 . . . . . . 7 ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 β†’ (⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
4543, 44syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
461, 14, 15, 16trlcl 38677 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹) ∈ 𝐡)
475, 21, 46syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹) ∈ 𝐡)
481, 11latjcl 18336 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹) ∈ 𝐡) β†’ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ∈ 𝐡)
494, 45, 47, 48syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ∈ 𝐡)
501, 12latmcl 18337 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ∈ 𝐡 ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ∈ 𝐡) β†’ (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹))) ∈ 𝐡)
514, 41, 49, 50syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹))) ∈ 𝐡)
52 simp11r 1286 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
531, 13, 14, 15, 16trlnidat 38686 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜πΌ) ∈ 𝐴)
543, 52, 22, 23, 53syl211anc 1377 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (π‘…β€˜πΌ) ∈ 𝐴)
551, 11, 13hlatjcl 37879 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΌ) ∈ 𝐴) β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΌ)) ∈ 𝐡)
563, 35, 54, 55syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΌ)) ∈ 𝐡)
57 simp13l 1289 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
58 simp13r 1290 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
591, 13, 14, 15, 16trlnidat 38686 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴)
603, 52, 57, 58, 59syl211anc 1377 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴)
611, 11, 13hlatjcl 37879 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴) β†’ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ 𝐡)
623, 43, 60, 61syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ 𝐡)
631, 12latmcl 18337 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΌ)) ∈ 𝐡 ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ 𝐡) β†’ (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΌ)) ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))) ∈ 𝐡)
644, 56, 62, 63syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΌ)) ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))) ∈ 𝐡)
651, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemk50 39465 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹)β€˜π‘ƒ) ≀ (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹))))
6624, 65syld3an3 1410 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹)β€˜π‘ƒ) ≀ (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹))))
671, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemk51 39466 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹))) ≀ (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΌ)) ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))))
6824, 67syld3an3 1410 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΌ / π‘”β¦Œπ‘‹)) ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜β¦‹πΊ / π‘”β¦Œπ‘‹))) ≀ (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΌ)) ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))))
691, 2, 4, 33, 51, 64, 66, 68lattrd 18343 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹)β€˜π‘ƒ) ≀ (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΌ)) ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))))
701, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemk47 39462 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) = (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΌ)) ∧ ((⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))))
7169, 70breqtrrd 5137 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹)β€˜π‘ƒ) ≀ (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ))
72 hlatl 37872 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
733, 72syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
7414, 15ltrnco 39232 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) β†’ (𝐺 ∘ 𝐼) ∈ 𝑇)
755, 57, 22, 74syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (𝐺 ∘ 𝐼) ∈ 𝑇)
7657, 22jca 513 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇))
77 simp33 1212 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))
781, 14, 15, 16trlconid 39238 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ)) β†’ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
795, 76, 77, 78syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
8075, 79jca 513 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐼) ∈ 𝑇 ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
811, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemk35s 39450 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐼) ∈ 𝑇 ∧ (𝐺 ∘ 𝐼) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇)
825, 6, 80, 8, 9, 10, 81syl132anc 1389 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇)
832, 13, 14, 15ltrnat 38653 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹ ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
845, 82, 29, 83syl3anc 1372 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
852, 13atcmp 37823 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹)β€˜π‘ƒ) ≀ (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ↔ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹)β€˜π‘ƒ) = (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ)))
8673, 31, 84, 85syl3anc 1372 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ (((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹)β€˜π‘ƒ) ≀ (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ) ↔ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹)β€˜π‘ƒ) = (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ)))
8771, 86mpbid 231 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΌ))) β†’ ((⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘‹ ∘ ⦋𝐼 / π‘”β¦Œπ‘‹)β€˜π‘ƒ) = (⦋(𝐺 ∘ 𝐼) / π‘”β¦Œπ‘‹β€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  β¦‹csb 3859   class class class wbr 5109   I cid 5534  β—‘ccnv 5636   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641  β€˜cfv 6500  β„©crio 7316  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  lecple 17148  joincjn 18208  meetcmee 18209  Latclat 18328  Atomscatm 37775  AtLatcal 37776  HLchlt 37862  LHypclh 38497  LTrncltrn 38614  trLctrl 38671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-undef 8208  df-map 8773  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672
This theorem is referenced by:  cdlemk53a  39468
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