Theorem trlcocnvat 41360

Description: Commonly used special case of trlcoat 41359. (Contributed by NM, 1-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlcoat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlcoat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcoat.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcoat.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlcocnvat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem trlcocnvat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1152	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp2l 1216	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
3		simp2r 1217	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
4		trlcoat.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		trlcoat.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6	4, 5	ltrncnv 40782	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ◡𝐺 ∈ 𝑇)
7	1, 3, 6	syl2anc 595	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → ◡𝐺 ∈ 𝑇)
8		simp3 1154	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))
9		trlcoat.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
10	4, 5, 9	trlcnv 40801	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘◡𝐺) = (𝑅‘𝐺))
11	1, 3, 10	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝑅‘◡𝐺) = (𝑅‘𝐺))
12	8, 11	neeqtrrd 3034	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘◡𝐺))
13		trlcoat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14	13, 4, 5, 9	trlcoat 41359	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘◡𝐺)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) ∈ 𝐴)
15	1, 2, 7, 12, 14	syl121anc 1398	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ ◡𝐺)) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ^◡ccnv 5651   ∘ ccom 5656  ‘cfv 6525  Atomscatm 39899  HLchlt 39986  LHypclh 40620  LTrncltrn 40737  trLctrl 40794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-riotaBAD 39589

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8257  df-map 8814  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18374  df-lub 18390  df-glb 18391  df-join 18392  df-meet 18393  df-p0 18469  df-p1 18470  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39812  df-ol 39814  df-oml 39815  df-covers 39902  df-ats 39903  df-atl 39934  df-cvlat 39958  df-hlat 39987  df-llines 40134  df-lplanes 40135  df-lvols 40136  df-lines 40137  df-psubsp 40139  df-pmap 40140  df-padd 40432  df-lhyp 40624  df-laut 40625  df-ldil 40740  df-ltrn 40741  df-trl 40795

This theorem is referenced by:  cdlemh1  41451  cdlemk3  41469  cdlemk6  41473  cdlemk7  41484  cdlemk12  41486  cdlemkole  41489  cdlemk14  41490  cdlemk15  41491  cdlemk5u  41497  cdlemk6u  41498  cdlemk7u  41506  cdlemk12u  41508  cdlemkfid1N  41557