Theorem eqreznegel 12951

Description: Two ways to express the image under negation of a set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
eqreznegel	⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴})

Distinct variable group:   𝑧,𝐴

Proof of Theorem eqreznegel

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3970	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (-𝑤 ∈ 𝐴 → -𝑤 ∈ ℤ))
2		recn 11230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
3		negid 11539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 + -𝑤) = 0)
4		0z 12602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
5	3, 4	eqeltrdi 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ)
6	5	pm4.71i 558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ))
7		zrevaddcl 12640	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑤 ∈ ℤ → ((𝑤 ∈ ℂ ∧ (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ) ↔ 𝑤 ∈ ℤ))
8	6, 7	bitrid 282	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑤 ∈ ℤ → (𝑤 ∈ ℂ ↔ 𝑤 ∈ ℤ))
9	2, 8	imbitrid 243	. . . . . . 7 ⊢ (-𝑤 ∈ ℤ → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℤ))
10	1, 9	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (-𝑤 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℤ)))
11	10	impcomd 410	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ))
12		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → -𝑤 ∈ 𝐴)
13	11, 12	jca2 512	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴)))
14		zre 12595	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → 𝑤 ∈ ℝ)
15	14	anim1i 613	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴))
16	13, 15	impbid1 224	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴) ↔ (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴)))
17		negeq 11484	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → -𝑧 = -𝑤)
18	17	eleq1d 2810	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (-𝑧 ∈ 𝐴 ↔ -𝑤 ∈ 𝐴))
19	18	elrab 3679	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴))
20	18	elrab 3679	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤 ∈ 𝐴))
21	16, 19, 20	3bitr4g 313	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} ↔ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}))
22	21	eqrdv 2723	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3418   ⊆ wss 3944  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  ℝcr 11139  0cc0 11140   + caddc 11143  -cneg 11477  ℤcz 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592

This theorem is referenced by: (None)