MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqreznegel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqreznegel 12976
Description: Two ways to express the image under negation of a set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
eqreznegel (𝐴 ⊆ ℤ → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧𝐴})
Distinct variable group:   𝑧,𝐴

Proof of Theorem eqreznegel
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3977 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℤ → (-𝑤𝐴 → -𝑤 ∈ ℤ))
2 recn 11245 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
3 negid 11556 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 + -𝑤) = 0)
4 0z 12624 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
53, 4eqeltrdi 2849 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ)
65pm4.71i 559 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℂ ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ))
7 zrevaddcl 12662 . . . . . . . . 9 (-𝑤 ∈ ℤ → ((𝑤 ∈ ℂ ∧ (𝑤 + -𝑤) ∈ ℤ) ↔ 𝑤 ∈ ℤ))
86, 7bitrid 283 . . . . . . . 8 (-𝑤 ∈ ℤ → (𝑤 ∈ ℂ ↔ 𝑤 ∈ ℤ))
92, 8imbitrid 244 . . . . . . 7 (-𝑤 ∈ ℤ → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℤ))
101, 9syl6 35 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℤ → (-𝑤𝐴 → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℤ)))
1110impcomd 411 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ))
12 simpr 484 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴) → -𝑤𝐴)
1311, 12jca2 513 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴)))
14 zre 12617 . . . . 5 (𝑤 ∈ ℤ → 𝑤 ∈ ℝ)
1514anim1i 615 . . . 4 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴))
1613, 15impbid1 225 . . 3 (𝐴 ⊆ ℤ → ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴) ↔ (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴)))
17 negeq 11500 . . . . 5 (𝑧 = 𝑤 → -𝑧 = -𝑤)
1817eleq1d 2826 . . . 4 (𝑧 = 𝑤 → (-𝑧𝐴 ↔ -𝑤𝐴))
1918elrab 3692 . . 3 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑤𝐴))
2018elrab 3692 . . 3 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧𝐴} ↔ (𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴))
2116, 19, 203bitr4g 314 . 2 (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} ↔ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧𝐴}))
2221eqrdv 2735 1 (𝐴 ⊆ ℤ → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ -𝑧𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  wss 3951  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158  -cneg 11493  cz 12613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator