Theorem infssuzcl 12923

Description: The infimum of a subset of an upper set of integers belongs to the subset. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infssuzcl	⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem infssuzcl

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzssz 12850	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
2		zssre 12572	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
3	1, 2	sstri 3991	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
4		sstr 3990	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ) → 𝑆 ⊆ ℝ)
5	3, 4	mpan2 688	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑆 ⊆ ℝ)
6		uzwo 12902	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘)
7		lbinfcl 12175	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
8	5, 6, 7	syl2an2r 682	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  infcinf 9442  ℝcr 11115   < clt 11255   ≤ cle 11256  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830

This theorem is referenced by:  zsupss  12928  uzwo3  12934  divalglem2  16345  bitsfzolem  16382  bezoutlem2  16489  lcmcllem  16540  lcmfval  16565  lcmfcllem  16569  odzcllem  16732  4sqlem13  16897  4sqlem14  16898  4sqlem17  16901  4sqlem18  16902  vdwnnlem3  16937  ramcl2lem  16949  ramtcl  16950  odfval  19448  odlem1  19451  odlem2  19455  gexlem1  19495  gexlem2  19498  zringlpirlem2  21322  zringlpirlem3  21323  ovolicc2lem4  25368  iundisj  25396  ig1peu  26026  ig1pdvds  26031  elqaalem1  26170  elqaalem3  26172  ftalem4  26920  ftalem5  26921  iundisjf  32252  iundisjfi  32439  dgraalem  42349  allbutfiinf  44588  ioodvbdlimc1lem1  45105  fourierdlem31  45312  elaa2lem  45407  etransclem48  45456