Theorem infssuzcl 12876

Description: The infimum of a subset of an upper set of integers belongs to the subset. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infssuzcl	⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem infssuzcl

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzssz 12803	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
2		zssre 12525	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
3	1, 2	sstri 3932	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ
4		sstr 3931	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℝ) → 𝑆 ⊆ ℝ)
5	3, 4	mpan2 692	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑆 ⊆ ℝ)
6		uzwo 12855	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘)
7		lbinfcl 12104	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑘 ∈ 𝑆 𝑗 ≤ 𝑘) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
8	5, 6, 7	syl2an2r 686	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  infcinf 9348  ℝcr 11031   < clt 11173   ≤ cle 11174  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783

This theorem is referenced by:  zsupss  12881  uzwo3  12887  divalglem2  16358  bitsfzolem  16397  bezoutlem2  16503  lcmcllem  16559  lcmfval  16584  lcmfcllem  16588  odzcllem  16757  4sqlem13  16922  4sqlem14  16923  4sqlem17  16926  4sqlem18  16927  vdwnnlem3  16962  ramcl2lem  16974  ramtcl  16975  odfval  19501  odlem1  19504  odlem2  19508  gexlem1  19548  gexlem2  19551  zringlpirlem2  21456  zringlpirlem3  21457  ovolicc2lem4  25500  iundisj  25528  ig1peu  26153  ig1pdvds  26158  elqaalem1  26299  elqaalem3  26301  ftalem4  27056  ftalem5  27057  iundisjf  32677  iundisjfi  32887  exsslsb  33759  dgraalem  43594  allbutfiinf  45869  ioodvbdlimc1lem1  46380  fourierdlem31  46587  elaa2lem  46682  etransclem48  46731