MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infssuzcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infssuzcl 12672
Description: The infimum of a subset of an upper set of integers belongs to the subset. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infssuzcl ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem infssuzcl
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzssz 12603 . . . 4 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
2 zssre 12326 . . . 4 ℤ ⊆ ℝ
31, 2sstri 3930 . . 3 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
4 sstr 3929 . . 3 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ (ℤ𝑀) ⊆ ℝ) → 𝑆 ⊆ ℝ)
53, 4mpan2 688 . 2 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → 𝑆 ⊆ ℝ)
6 uzwo 12651 . 2 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗𝑆𝑘𝑆 𝑗𝑘)
7 lbinfcl 11929 . 2 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑗𝑆𝑘𝑆 𝑗𝑘) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
85, 6, 7syl2an2r 682 1 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3065  wss 3887  c0 4256   class class class wbr 5074  cfv 6433  infcinf 9200  cr 10870   < clt 11009  cle 11010  cz 12319  cuz 12582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583
This theorem is referenced by:  zsupss  12677  uzwo3  12683  divalglem2  16104  bitsfzolem  16141  bezoutlem2  16248  lcmcllem  16301  lcmfval  16326  lcmfcllem  16330  odzcllem  16493  4sqlem13  16658  4sqlem14  16659  4sqlem17  16662  4sqlem18  16663  vdwnnlem3  16698  ramcl2lem  16710  ramtcl  16711  odfval  19140  odlem1  19143  odlem2  19147  gexlem1  19184  gexlem2  19187  zringlpirlem2  20685  zringlpirlem3  20686  ovolicc2lem4  24684  iundisj  24712  ig1peu  25336  ig1pdvds  25341  elqaalem1  25479  elqaalem3  25481  ftalem4  26225  ftalem5  26226  iundisjf  30928  iundisjfi  31117  dgraalem  40970  allbutfiinf  42960  ioodvbdlimc1lem1  43472  fourierdlem31  43679  elaa2lem  43774  etransclem48  43823
  Copyright terms: Public domain W3C validator