MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infssuzcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infssuzcl 12324
Description: The infimum of a subset of an upper set of integers belongs to the subset. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infssuzcl ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem infssuzcl
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzssz 12256 . . . 4 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
2 zssre 11980 . . . 4 ℤ ⊆ ℝ
31, 2sstri 3974 . . 3 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
4 sstr 3973 . . 3 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ (ℤ𝑀) ⊆ ℝ) → 𝑆 ⊆ ℝ)
53, 4mpan2 689 . 2 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → 𝑆 ⊆ ℝ)
6 uzwo 12303 . 2 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗𝑆𝑘𝑆 𝑗𝑘)
7 lbinfcl 11587 . 2 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑗𝑆𝑘𝑆 𝑗𝑘) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
85, 6, 7syl2an2r 683 1 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wcel 2107  wne 3014  wral 3136  wrex 3137  wss 3934  c0 4289   class class class wbr 5057  cfv 6348  infcinf 8897  cr 10528   < clt 10667  cle 10668  cz 11973  cuz 12235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236
This theorem is referenced by:  zsupss  12329  uzwo3  12335  divalglem2  15738  bitsfzolem  15775  bezoutlem2  15880  lcmcllem  15932  lcmfval  15957  lcmfcllem  15961  odzcllem  16121  4sqlem13  16285  4sqlem14  16286  4sqlem17  16289  4sqlem18  16290  vdwnnlem3  16325  ramcl2lem  16337  ramtcl  16338  odfval  18652  odlem1  18655  odlem2  18659  gexlem1  18696  gexlem2  18699  zringlpirlem2  20624  zringlpirlem3  20625  ovolicc2lem4  24113  iundisj  24141  ig1peu  24757  ig1pdvds  24762  elqaalem1  24900  elqaalem3  24902  ftalem4  25645  ftalem5  25646  iundisjf  30331  iundisjfi  30511  dgraalem  39730  allbutfiinf  41678  ioodvbdlimc1lem1  42200  fourierdlem31  42408  elaa2lem  42503  etransclem48  42552
  Copyright terms: Public domain W3C validator