![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > esumdivc | Structured version Visualization version GIF version |
Description: An extended sum divided by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
esumdivc.a | โข (๐ โ ๐ด โ ๐) |
esumdivc.b | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ (0[,]+โ)) |
esumdivc.c | โข (๐ โ ๐ถ โ โ+) |
Ref | Expression |
---|---|
esumdivc | โข (๐ โ (ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต /๐ ๐ถ) = ฮฃ*๐ โ ๐ด(๐ต /๐ ๐ถ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | esumdivc.a | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ ๐) | |
2 | esumdivc.b | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ (0[,]+โ)) | |
3 | 1red 11219 | . . . . 5 โข (๐ โ 1 โ โ) | |
4 | esumdivc.c | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ถ โ โ+) | |
5 | 4 | rpred 13022 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
6 | 4 | rpne0d 13027 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ถ โ 0) |
7 | rexdiv 32597 | . . . . 5 โข ((1 โ โ โง ๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0) โ (1 /๐ ๐ถ) = (1 / ๐ถ)) | |
8 | 3, 5, 6, 7 | syl3anc 1368 | . . . 4 โข (๐ โ (1 /๐ ๐ถ) = (1 / ๐ถ)) |
9 | ioorp 13408 | . . . . . 6 โข (0(,)+โ) = โ+ | |
10 | ioossico 13421 | . . . . . 6 โข (0(,)+โ) โ (0[,)+โ) | |
11 | 9, 10 | eqsstrri 4012 | . . . . 5 โข โ+ โ (0[,)+โ) |
12 | 4 | rpreccld 13032 | . . . . 5 โข (๐ โ (1 / ๐ถ) โ โ+) |
13 | 11, 12 | sselid 3975 | . . . 4 โข (๐ โ (1 / ๐ถ) โ (0[,)+โ)) |
14 | 8, 13 | eqeltrd 2827 | . . 3 โข (๐ โ (1 /๐ ๐ถ) โ (0[,)+โ)) |
15 | 1, 2, 14 | esummulc1 33609 | . 2 โข (๐ โ (ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต ยทe (1 /๐ ๐ถ)) = ฮฃ*๐ โ ๐ด(๐ต ยทe (1 /๐ ๐ถ))) |
16 | iccssxr 13413 | . . . 4 โข (0[,]+โ) โ โ* | |
17 | 2 | ralrimiva 3140 | . . . . 5 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ (0[,]+โ)) |
18 | nfcv 2897 | . . . . . 6 โข โฒ๐๐ด | |
19 | 18 | esumcl 33558 | . . . . 5 โข ((๐ด โ ๐ โง โ๐ โ ๐ด ๐ต โ (0[,]+โ)) โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ (0[,]+โ)) |
20 | 1, 17, 19 | syl2anc 583 | . . . 4 โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ (0[,]+โ)) |
21 | 16, 20 | sselid 3975 | . . 3 โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ โ*) |
22 | xdivrec 32598 | . . 3 โข ((ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0) โ (ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต /๐ ๐ถ) = (ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต ยทe (1 /๐ ๐ถ))) | |
23 | 21, 5, 6, 22 | syl3anc 1368 | . 2 โข (๐ โ (ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต /๐ ๐ถ) = (ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต ยทe (1 /๐ ๐ถ))) |
24 | 16, 2 | sselid 3975 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ*) |
25 | 5 | adantr 480 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ โ โ) |
26 | 6 | adantr 480 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ถ โ 0) |
27 | xdivrec 32598 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ* โง ๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0) โ (๐ต /๐ ๐ถ) = (๐ต ยทe (1 /๐ ๐ถ))) | |
28 | 24, 25, 26, 27 | syl3anc 1368 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ (๐ต /๐ ๐ถ) = (๐ต ยทe (1 /๐ ๐ถ))) |
29 | 28 | esumeq2dv 33566 | . 2 โข (๐ โ ฮฃ*๐ โ ๐ด(๐ต /๐ ๐ถ) = ฮฃ*๐ โ ๐ด(๐ต ยทe (1 /๐ ๐ถ))) |
30 | 15, 23, 29 | 3eqtr4d 2776 | 1 โข (๐ โ (ฮฃ*๐ โ ๐ด๐ต /๐ ๐ถ) = ฮฃ*๐ โ ๐ด(๐ต /๐ ๐ถ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2934 โwral 3055 (class class class)co 7405 โcr 11111 0cc0 11112 1c1 11113 +โcpnf 11249 โ*cxr 11251 / cdiv 11875 โ+crp 12980 ยทe cxmu 13097 (,)cioo 13330 [,)cico 13332 [,]cicc 13333 /๐ cxdiv 32588 ฮฃ*cesum 33555 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-tp 4628 df-op 4630 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-iin 4993 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-of 7667 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-supp 8147 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8467 df-er 8705 df-map 8824 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-fsupp 9364 df-fi 9408 df-sup 9439 df-inf 9440 df-oi 9507 df-card 9936 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-z 12563 df-dec 12682 df-uz 12827 df-q 12937 df-rp 12981 df-xneg 13098 df-xadd 13099 df-xmul 13100 df-ioo 13334 df-ioc 13335 df-ico 13336 df-icc 13337 df-fz 13491 df-fzo 13634 df-seq 13973 df-hash 14296 df-struct 17089 df-sets 17106 df-slot 17124 df-ndx 17136 df-base 17154 df-ress 17183 df-plusg 17219 df-mulr 17220 df-tset 17225 df-ple 17226 df-ds 17228 df-rest 17377 df-topn 17378 df-0g 17396 df-gsum 17397 df-topgen 17398 df-ordt 17456 df-xrs 17457 df-mre 17539 df-mrc 17540 df-acs 17542 df-ps 18531 df-tsr 18532 df-mgm 18573 df-sgrp 18652 df-mnd 18668 df-mhm 18713 df-submnd 18714 df-cntz 19233 df-cmn 19702 df-fbas 21237 df-fg 21238 df-top 22751 df-topon 22768 df-topsp 22790 df-bases 22804 df-ntr 22879 df-nei 22957 df-cn 23086 df-cnp 23087 df-haus 23174 df-fil 23705 df-fm 23797 df-flim 23798 df-flf 23799 df-tsms 23986 df-xdiv 32589 df-esum 33556 |
This theorem is referenced by: measdivcst 33752 measdivcstALTV 33753 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |