Theorem esumdivc 34762

Description: An extended sum divided by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumdivc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumdivc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumdivc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
esumdivc	⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 /e 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 /e 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumdivc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumdivc.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		esumdivc.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
3		1red 11313	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4		esumdivc.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
5	4	rpred 13168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	4	rpne0d 13173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
7		rexdiv 33539	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (1 /e 𝐶) = (1 / 𝐶))
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 /e 𝐶) = (1 / 𝐶))
9		ioorp 13560	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
10		ioossico 13573	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
11	9, 10	eqsstrri 3955	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞)
12	4	rpreccld 13178	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
13	11, 12	sselid 3906	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
14	8, 13	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 /e 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
15	1, 2, 14	esummulc1 34760	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e (1 /e 𝐶)) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 ·e (1 /e 𝐶)))
16		iccssxr 13565	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
17	2	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
18		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
19	18	esumcl 34709	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
20	1, 17, 19	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
21	16, 20	sselid 3906	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
22		xdivrec 33540	. . 3 ⊢ ((Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 /e 𝐶) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e (1 /e 𝐶)))
23	21, 5, 6, 22	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 /e 𝐶) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e (1 /e 𝐶)))
24	16, 2	sselid 3906	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
26	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
27		xdivrec 33540	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 /e 𝐶) = (𝐵 ·e (1 /e 𝐶)))
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 /e 𝐶) = (𝐵 ·e (1 /e 𝐶)))
29	28	esumeq2dv 34717	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 /e 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 ·e (1 /e 𝐶)))
30	15, 23, 29	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 /e 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 /e 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205  +∞cpnf 11344  ℝ^*cxr 11346   / cdiv 11977  ℝ⁺crp 13124   ·_e cxmu 13244  (,)cioo 13480  [,)cico 13482  [,]cicc 13483   /_e cxdiv 33530  Σ^*cesum 34706

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ioo 13484  df-ioc 13485  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-seq 14149  df-hash 14479  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-topgen 17620  df-ordt 17679  df-xrs 17680  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-ps 18746  df-tsr 18747  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mhm 18984  df-submnd 18985  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-fbas 21681  df-fg 21682  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-ntr 23344  df-nei 23422  df-cn 23551  df-cnp 23552  df-haus 23639  df-fil 24171  df-fm 24263  df-flim 24264  df-flf 24265  df-tsms 24452  df-xdiv 33531  df-esum 34707

This theorem is used by:  measdivcst  34904  measdivcstALTV  34905