Theorem esumdivc 31583

Description: An extended sum divided by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumdivc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumdivc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumdivc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
esumdivc	⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 /𝑒 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumdivc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumdivc.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		esumdivc.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
3		1red 10693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4		esumdivc.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
5	4	rpred 12485	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	4	rpne0d 12490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
7		rexdiv 30737	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (1 /𝑒 𝐶) = (1 / 𝐶))
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 /𝑒 𝐶) = (1 / 𝐶))
9		ioorp 12870	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
10		ioossico 12883	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
11	9, 10	eqsstrri 3929	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞)
12	4	rpreccld 12495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
13	11, 12	sseldi 3892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
14	8, 13	eqeltrd 2852	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 /𝑒 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
15	1, 2, 14	esummulc1 31581	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
16		iccssxr 12875	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
17	2	ralrimiva 3113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
18		nfcv 2919	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
19	18	esumcl 31530	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
20	1, 17, 19	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
21	16, 20	sseldi 3892	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
22		xdivrec 30738	. . 3 ⊢ ((Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
23	21, 5, 6, 22	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
24	16, 2	sseldi 3892	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25	5	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
26	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
27		xdivrec 30738	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 /𝑒 𝐶) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 /𝑒 𝐶) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
29	28	esumeq2dv 31538	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 /𝑒 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
30	15, 23, 29	3eqtr4d 2803	1 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 /𝑒 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  (class class class)co 7156  ℝcr 10587  0cc0 10588  1c1 10589  +∞cpnf 10723  ℝ^*cxr 10725   / cdiv 11348  ℝ⁺crp 12443   ·_e cxmu 12560  (,)cioo 12792  [,)cico 12794  [,]cicc 12795   /_𝑒 cxdiv 30728  Σ^*cesum 31527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-ioo 12796  df-ioc 12797  df-ico 12798  df-icc 12799  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-hash 13754  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-tset 16656  df-ple 16657  df-ds 16659  df-rest 16768  df-topn 16769  df-0g 16787  df-gsum 16788  df-topgen 16789  df-ordt 16846  df-xrs 16847  df-mre 16929  df-mrc 16930  df-acs 16932  df-ps 17890  df-tsr 17891  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-mhm 18036  df-submnd 18037  df-cntz 18528  df-cmn 18989  df-fbas 20177  df-fg 20178  df-top 21608  df-topon 21625  df-topsp 21647  df-bases 21660  df-ntr 21734  df-nei 21812  df-cn 21941  df-cnp 21942  df-haus 22029  df-fil 22560  df-fm 22652  df-flim 22653  df-flf 22654  df-tsms 22841  df-xdiv 30729  df-esum 31528

This theorem is referenced by:  measdivcst  31724  measdivcstALTV  31725