Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumdivc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumdivc 33546
Description: An extended sum divided by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumdivc.a (𝜑𝐴𝑉)
esumdivc.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumdivc.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
esumdivc (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 /𝑒 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumdivc
StepHypRef Expression
1 esumdivc.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 esumdivc.b . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
3 1red 11222 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4 esumdivc.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
54rpred 13023 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
64rpne0d 13028 . . . . 5 (𝜑𝐶 ≠ 0)
7 rexdiv 32526 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (1 /𝑒 𝐶) = (1 / 𝐶))
83, 5, 6, 7syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (1 /𝑒 𝐶) = (1 / 𝐶))
9 ioorp 13409 . . . . . 6 (0(,)+∞) = ℝ+
10 ioossico 13422 . . . . . 6 (0(,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
119, 10eqsstrri 4017 . . . . 5 + ⊆ (0[,)+∞)
124rpreccld 13033 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
1311, 12sselid 3980 . . . 4 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
148, 13eqeltrd 2832 . . 3 (𝜑 → (1 /𝑒 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
151, 2, 14esummulc1 33544 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
16 iccssxr 13414 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
172ralrimiva 3145 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
18 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑘𝐴
1918esumcl 33493 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
201, 17, 19syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2116, 20sselid 3980 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
22 xdivrec 32527 . . 3 ((Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (Σ*𝑘𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
2321, 5, 6, 22syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
2416, 2sselid 3980 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
255adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
266adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
27 xdivrec 32527 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 /𝑒 𝐶) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
2824, 25, 26, 27syl3anc 1370 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 /𝑒 𝐶) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
2928esumeq2dv 33501 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴(𝐵 /𝑒 𝐶) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
3015, 23, 293eqtr4d 2781 1 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 /𝑒 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  (class class class)co 7412  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117  +∞cpnf 11252  *cxr 11254   / cdiv 11878  +crp 12981   ·e cxmu 13098  (,)cioo 13331  [,)cico 13333  [,]cicc 13334   /𝑒 cxdiv 32517  Σ*cesum 33490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-ordt 17454  df-xrs 17455  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-ps 18529  df-tsr 18530  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-fbas 21230  df-fg 21231  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-ntr 22844  df-nei 22922  df-cn 23051  df-cnp 23052  df-haus 23139  df-fil 23670  df-fm 23762  df-flim 23763  df-flf 23764  df-tsms 23951  df-xdiv 32518  df-esum 33491
This theorem is referenced by:  measdivcst  33687  measdivcstALTV  33688
  Copyright terms: Public domain W3C validator