Theorem esumdivc 31951

Description: An extended sum divided by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumdivc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumdivc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumdivc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
esumdivc	⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 /𝑒 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumdivc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumdivc.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		esumdivc.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
3		1red 10907	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4		esumdivc.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
5	4	rpred 12701	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	4	rpne0d 12706	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
7		rexdiv 31102	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (1 /𝑒 𝐶) = (1 / 𝐶))
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 /𝑒 𝐶) = (1 / 𝐶))
9		ioorp 13086	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
10		ioossico 13099	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
11	9, 10	eqsstrri 3952	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞)
12	4	rpreccld 12711	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
13	11, 12	sselid 3915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
14	8, 13	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 /𝑒 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
15	1, 2, 14	esummulc1 31949	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
16		iccssxr 13091	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
17	2	ralrimiva 3107	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
18		nfcv 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
19	18	esumcl 31898	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
20	1, 17, 19	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
21	16, 20	sselid 3915	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
22		xdivrec 31103	. . 3 ⊢ ((Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
23	21, 5, 6, 22	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
24	16, 2	sselid 3915	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
26	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
27		xdivrec 31103	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 /𝑒 𝐶) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 /𝑒 𝐶) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
29	28	esumeq2dv 31906	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 /𝑒 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
30	15, 23, 29	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 /𝑒 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   / cdiv 11562  ℝ⁺crp 12659   ·_e cxmu 12776  (,)cioo 13008  [,)cico 13010  [,]cicc 13011   /_𝑒 cxdiv 31093  Σ^*cesum 31895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-ordt 17129  df-xrs 17130  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-ps 18199  df-tsr 18200  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-ntr 22079  df-nei 22157  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-tsms 23186  df-xdiv 31094  df-esum 31896

This theorem is referenced by:  measdivcst  32092  measdivcstALTV  32093