Theorem esumdivc 33076

Description: An extended sum divided by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumdivc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumdivc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumdivc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
esumdivc	⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 /𝑒 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumdivc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumdivc.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		esumdivc.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
3		1red 11214	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4		esumdivc.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
5	4	rpred 13015	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	4	rpne0d 13020	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
7		rexdiv 32087	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (1 /𝑒 𝐶) = (1 / 𝐶))
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 /𝑒 𝐶) = (1 / 𝐶))
9		ioorp 13401	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
10		ioossico 13414	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
11	9, 10	eqsstrri 4017	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞)
12	4	rpreccld 13025	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
13	11, 12	sselid 3980	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
14	8, 13	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 /𝑒 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
15	1, 2, 14	esummulc1 33074	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
16		iccssxr 13406	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
17	2	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
18		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
19	18	esumcl 33023	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
20	1, 17, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
21	16, 20	sselid 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
22		xdivrec 32088	. . 3 ⊢ ((Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
23	21, 5, 6, 22	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
24	16, 2	sselid 3980	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
26	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
27		xdivrec 32088	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 /𝑒 𝐶) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 /𝑒 𝐶) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
29	28	esumeq2dv 33031	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 /𝑒 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
30	15, 23, 29	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 /𝑒 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110  +∞cpnf 11244  ℝ^*cxr 11246   / cdiv 11870  ℝ⁺crp 12973   ·_e cxmu 13090  (,)cioo 13323  [,)cico 13325  [,]cicc 13326   /_𝑒 cxdiv 32078  Σ^*cesum 33020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-ordt 17446  df-xrs 17447  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-ps 18518  df-tsr 18519  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-ntr 22523  df-nei 22601  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-tsms 23630  df-xdiv 32079  df-esum 33021

This theorem is referenced by:  measdivcst  33217  measdivcstALTV  33218