Theorem esumdivc 33735

Description: An extended sum divided by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumdivc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumdivc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumdivc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
esumdivc	⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 /𝑒 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumdivc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumdivc.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		esumdivc.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
3		1red 11253	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4		esumdivc.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
5	4	rpred 13056	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	4	rpne0d 13061	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
7		rexdiv 32670	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (1 /𝑒 𝐶) = (1 / 𝐶))
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 /𝑒 𝐶) = (1 / 𝐶))
9		ioorp 13442	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
10		ioossico 13455	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
11	9, 10	eqsstrri 4017	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞)
12	4	rpreccld 13066	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
13	11, 12	sselid 3980	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
14	8, 13	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 /𝑒 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
15	1, 2, 14	esummulc1 33733	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
16		iccssxr 13447	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
17	2	ralrimiva 3143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
18		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
19	18	esumcl 33682	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
20	1, 17, 19	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
21	16, 20	sselid 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
22		xdivrec 32671	. . 3 ⊢ ((Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
23	21, 5, 6, 22	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
24	16, 2	sselid 3980	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25	5	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
26	6	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
27		xdivrec 32671	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 /𝑒 𝐶) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 /𝑒 𝐶) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
29	28	esumeq2dv 33690	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 /𝑒 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
30	15, 23, 29	3eqtr4d 2778	1 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 /𝑒 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  (class class class)co 7426  ℝcr 11145  0cc0 11146  1c1 11147  +∞cpnf 11283  ℝ^*cxr 11285   / cdiv 11909  ℝ⁺crp 13014   ·_e cxmu 13131  (,)cioo 13364  [,)cico 13366  [,]cicc 13367   /_𝑒 cxdiv 32661  Σ^*cesum 33679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-ordt 17490  df-xrs 17491  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-ps 18565  df-tsr 18566  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-ntr 22944  df-nei 23022  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-tsms 24051  df-xdiv 32662  df-esum 33680

This theorem is referenced by:  measdivcst  33876  measdivcstALTV  33877