Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrmulc1cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrmulc1cn 32016
Description: The operation multiplying an extended real number by a nonnegative constant is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrmulc1cn.k 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
xrmulc1cn.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
xrmulc1cn.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
xrmulc1cn (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrmulc1cn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 18385 . . . 4 ≤ ∈ TosetRel
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ≤ ∈ TosetRel )
3 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4 xrmulc1cn.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
54adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
65rpxrd 12852 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
73, 6xmulcld 13115 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
87ralrimiva 3139 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
9 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
104adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
1110rpred 12851 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ)
1210rpne0d 12856 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ≠ 0)
13 xreceu 31327 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦)
149, 11, 12, 13syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦)
15 eqcom 2743 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ (𝑥 ·e 𝐶) = 𝑦)
16 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
176adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
18 xmulcom 13079 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
1916, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
2019eqeq1d 2738 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝐶) = 𝑦 ↔ (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
2115, 20bitrid 282 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
2221reubidva 3365 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
2314, 22mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶))
2423ralrimiva 3139 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ* ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶))
25 xrmulc1cn.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
2625f1ompt 7024 . . . . 5 (𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ* ↔ (∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶)))
278, 24, 26sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ*)
28 simplr 766 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
29 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
304ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
31 xlemul1 13103 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
3228, 29, 30, 31syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
33 ovex 7349 . . . . . . . . 9 (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V
3425fvmpt2 6925 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V) → (𝐹𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
3528, 33, 34sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
36 oveq1 7323 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
37 ovex 7349 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ·e 𝐶) ∈ V
3836, 25, 37fvmpt 6914 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝐹𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
3938adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
4035, 39breq12d 5099 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
4132, 40bitr4d 281 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
4241ralrimiva 3139 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
4342ralrimiva 3139 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
44 df-isom 6474 . . . 4 (𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))))
4527, 43, 44sylanbrc 583 . . 3 (𝜑𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*))
46 ledm 18382 . . . 4 * = dom ≤
4746, 46ordthmeolem 23032 . . 3 (( ≤ ∈ TosetRel ∧ ≤ ∈ TosetRel ∧ 𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
482, 2, 45, 47syl3anc 1370 . 2 (𝜑𝐹 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
49 xrmulc1cn.k . . 3 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
5049, 49oveq12i 7328 . 2 (𝐽 Cn 𝐽) = ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ ))
5148, 50eleqtrrdi 2848 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  ∃!wreu 3347  Vcvv 3440   class class class wbr 5086  cmpt 5169  1-1-ontowf1o 6464  cfv 6465   Isom wiso 6466  (class class class)co 7316  cr 10949  0cc0 10950  *cxr 11087  cle 11089  +crp 12809   ·e cxmu 12926  ordTopcordt 17284   TosetRel ctsr 18357   Cn ccn 22455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-1o 8345  df-er 8547  df-map 8666  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-fi 9246  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-rp 12810  df-xneg 12927  df-xmul 12929  df-topgen 17228  df-ordt 17286  df-ps 18358  df-tsr 18359  df-top 22123  df-topon 22140  df-bases 22176  df-cn 22458
This theorem is referenced by:  xrge0mulc1cn  32027
  Copyright terms: Public domain W3C validator