Theorem xrmulc1cn 34036

Description: The operation multiplying an extended real number by a nonnegative constant is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrmulc1cn.k	⊢ 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
xrmulc1cn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
xrmulc1cn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
xrmulc1cn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrmulc1cn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letsr 18514	. . . 4 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ≤ ∈ TosetRel )
3		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4		xrmulc1cn.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
6	5	rpxrd 12948	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7	3, 6	xmulcld 13215	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
8	7	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
9		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
11	10	rpred 12947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ)
12	10	rpne0d 12952	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ≠ 0)
13		xreceu 32952	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦)
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦)
15		eqcom 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ (𝑥 ·e 𝐶) = 𝑦)
16		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
17	6	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
18		xmulcom 13179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
19	16, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
20	19	eqeq1d 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝐶) = 𝑦 ↔ (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
21	15, 20	bitrid 283	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
22	21	reubidva 3362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
23	14, 22	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶))
24	23	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ* ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶))
25		xrmulc1cn.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
26	25	f1ompt 7054	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ↔ (∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶)))
27	8, 24, 26	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ*)
28		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
29		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
30	4	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
31		xlemul1 13203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
32	28, 29, 30, 31	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
33		ovex 7389	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V
34	25	fvmpt2 6950	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V) → (𝐹‘𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
35	28, 33, 34	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
36		oveq1 7363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
37		ovex 7389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ·e 𝐶) ∈ V
38	36, 25, 37	fvmpt 6939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
39	38	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
40	35, 39	breq12d 5109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
41	32, 40	bitr4d 282	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
42	41	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
43	42	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
44		df-isom 6499	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))))
45	27, 43, 44	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*))
46		ledm 18511	. . . 4 ⊢ ℝ* = dom ≤
47	46, 46	ordthmeolem 23743	. . 3 ⊢ (( ≤ ∈ TosetRel ∧ ≤ ∈ TosetRel ∧ 𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
48	2, 2, 45, 47	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
49		xrmulc1cn.k	. . 3 ⊢ 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
50	49, 49	oveq12i 7368	. 2 ⊢ (𝐽 Cn 𝐽) = ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ ))
51	48, 50	eleqtrrdi 2845	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃!wreu 3346  Vcvv 3438   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490   Isom wiso 6491  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024  ℝ^*cxr 11163   ≤ cle 11165  ℝ⁺crp 12903   ·_e cxmu 13023  ordTopcordt 17418   TosetRel ctsr 18486   Cn ccn 23166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fi 9312  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xmul 13026  df-topgen 17361  df-ordt 17420  df-ps 18487  df-tsr 18488  df-top 22836  df-topon 22853  df-bases 22888  df-cn 23169

This theorem is referenced by:  xrge0mulc1cn  34047