Theorem xrmulc1cn 31168

Description: The operation multiplying an extended real number by a nonnegative constant is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrmulc1cn.k	⊢ 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
xrmulc1cn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
xrmulc1cn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
xrmulc1cn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrmulc1cn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letsr 17831	. . . 4 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ≤ ∈ TosetRel )
3		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4		xrmulc1cn.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
5	4	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
6	5	rpxrd 12426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7	3, 6	xmulcld 12689	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
8	7	ralrimiva 3182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
9		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10	4	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
11	10	rpred 12425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ)
12	10	rpne0d 12430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ≠ 0)
13		xreceu 30593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦)
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦)
15		eqcom 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ (𝑥 ·e 𝐶) = 𝑦)
16		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
17	6	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
18		xmulcom 12653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
19	16, 17, 18	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
20	19	eqeq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝐶) = 𝑦 ↔ (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
21	15, 20	syl5bb 285	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
22	21	reubidva 3389	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
23	14, 22	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶))
24	23	ralrimiva 3182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ* ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶))
25		xrmulc1cn.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
26	25	f1ompt 6870	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ↔ (∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶)))
27	8, 24, 26	sylanbrc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ*)
28		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
29		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
30	4	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
31		xlemul1 12677	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
32	28, 29, 30, 31	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
33		ovex 7183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V
34	25	fvmpt2 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V) → (𝐹‘𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
35	28, 33, 34	sylancl 588	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
36		oveq1 7157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
37		ovex 7183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ·e 𝐶) ∈ V
38	36, 25, 37	fvmpt 6763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
39	38	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
40	35, 39	breq12d 5072	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
41	32, 40	bitr4d 284	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
42	41	ralrimiva 3182	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
43	42	ralrimiva 3182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
44		df-isom 6359	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))))
45	27, 43, 44	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*))
46		ledm 17828	. . . 4 ⊢ ℝ* = dom ≤
47	46, 46	ordthmeolem 22403	. . 3 ⊢ (( ≤ ∈ TosetRel ∧ ≤ ∈ TosetRel ∧ 𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
48	2, 2, 45, 47	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
49		xrmulc1cn.k	. . 3 ⊢ 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
50	49, 49	oveq12i 7162	. 2 ⊢ (𝐽 Cn 𝐽) = ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ ))
51	48, 50	eleqtrrdi 2924	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃!wreu 3140  Vcvv 3495   class class class wbr 5059   ↦ cmpt 5139  –1-1-onto→wf1o 6349  ‘cfv 6350   Isom wiso 6351  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531  ℝ^*cxr 10668   ≤ cle 10670  ℝ⁺crp 12383   ·_e cxmu 12500  ordTopcordt 16766   TosetRel ctsr 17803   Cn ccn 21826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fi 8869  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xmul 12503  df-topgen 16711  df-ordt 16768  df-ps 17804  df-tsr 17805  df-top 21496  df-topon 21513  df-bases 21548  df-cn 21829

This theorem is referenced by:  xrge0mulc1cn  31179