Theorem xrmulc1cn 33205

Description: The operation multiplying an extended real number by a nonnegative constant is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrmulc1cn.k	⊢ 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
xrmulc1cn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
xrmulc1cn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
xrmulc1cn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrmulc1cn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letsr 18551	. . . 4 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ≤ ∈ TosetRel )
3		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4		xrmulc1cn.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
6	5	rpxrd 13022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7	3, 6	xmulcld 13286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
8	7	ralrimiva 3145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
9		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
11	10	rpred 13021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ)
12	10	rpne0d 13026	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ≠ 0)
13		xreceu 32352	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦)
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦)
15		eqcom 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ (𝑥 ·e 𝐶) = 𝑦)
16		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
17	6	adantlr 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
18		xmulcom 13250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
19	16, 17, 18	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
20	19	eqeq1d 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝐶) = 𝑦 ↔ (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
21	15, 20	bitrid 282	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
22	21	reubidva 3391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
23	14, 22	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶))
24	23	ralrimiva 3145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ* ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶))
25		xrmulc1cn.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
26	25	f1ompt 7113	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ↔ (∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶)))
27	8, 24, 26	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ*)
28		simplr 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
29		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
30	4	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
31		xlemul1 13274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
32	28, 29, 30, 31	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
33		ovex 7445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V
34	25	fvmpt2 7010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V) → (𝐹‘𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
35	28, 33, 34	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
36		oveq1 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
37		ovex 7445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ·e 𝐶) ∈ V
38	36, 25, 37	fvmpt 6999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
39	38	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
40	35, 39	breq12d 5162	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
41	32, 40	bitr4d 281	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
42	41	ralrimiva 3145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
43	42	ralrimiva 3145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
44		df-isom 6553	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))))
45	27, 43, 44	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*))
46		ledm 18548	. . . 4 ⊢ ℝ* = dom ≤
47	46, 46	ordthmeolem 23526	. . 3 ⊢ (( ≤ ∈ TosetRel ∧ ≤ ∈ TosetRel ∧ 𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
48	2, 2, 45, 47	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
49		xrmulc1cn.k	. . 3 ⊢ 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
50	49, 49	oveq12i 7424	. 2 ⊢ (𝐽 Cn 𝐽) = ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ ))
51	48, 50	eleqtrrdi 2843	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃!wreu 3373  Vcvv 3473   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  –1-1-onto→wf1o 6543  ‘cfv 6544   Isom wiso 6545  (class class class)co 7412  ℝcr 11112  0cc0 11113  ℝ^*cxr 11252   ≤ cle 11254  ℝ⁺crp 12979   ·_e cxmu 13096  ordTopcordt 17450   TosetRel ctsr 18523   Cn ccn 22949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9409  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xmul 13099  df-topgen 17394  df-ordt 17452  df-ps 18524  df-tsr 18525  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-cn 22952

This theorem is referenced by:  xrge0mulc1cn  33216