Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrmulc1cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrmulc1cn 31319
 Description: The operation multiplying an extended real number by a nonnegative constant is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrmulc1cn.k 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
xrmulc1cn.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
xrmulc1cn.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
xrmulc1cn (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrmulc1cn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 17836 . . . 4 ≤ ∈ TosetRel
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ≤ ∈ TosetRel )
3 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4 xrmulc1cn.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
54adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
65rpxrd 12427 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
73, 6xmulcld 12690 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
87ralrimiva 3149 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
9 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
104adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
1110rpred 12426 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ)
1210rpne0d 12431 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ≠ 0)
13 xreceu 30638 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦)
149, 11, 12, 13syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦)
15 eqcom 2805 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ (𝑥 ·e 𝐶) = 𝑦)
16 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
176adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
18 xmulcom 12654 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
1916, 17, 18syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
2019eqeq1d 2800 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝐶) = 𝑦 ↔ (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
2115, 20syl5bb 286 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
2221reubidva 3341 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
2314, 22mpbird 260 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶))
2423ralrimiva 3149 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ* ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶))
25 xrmulc1cn.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
2625f1ompt 6857 . . . . 5 (𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ* ↔ (∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶)))
278, 24, 26sylanbrc 586 . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ*)
28 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
29 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
304ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
31 xlemul1 12678 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
3228, 29, 30, 31syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
33 ovex 7173 . . . . . . . . 9 (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V
3425fvmpt2 6761 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V) → (𝐹𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
3528, 33, 34sylancl 589 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
36 oveq1 7147 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
37 ovex 7173 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ·e 𝐶) ∈ V
3836, 25, 37fvmpt 6750 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝐹𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
3938adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
4035, 39breq12d 5044 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
4132, 40bitr4d 285 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
4241ralrimiva 3149 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
4342ralrimiva 3149 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
44 df-isom 6336 . . . 4 (𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))))
4527, 43, 44sylanbrc 586 . . 3 (𝜑𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*))
46 ledm 17833 . . . 4 * = dom ≤
4746, 46ordthmeolem 22420 . . 3 (( ≤ ∈ TosetRel ∧ ≤ ∈ TosetRel ∧ 𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
482, 2, 45, 47syl3anc 1368 . 2 (𝜑𝐹 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
49 xrmulc1cn.k . . 3 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
5049, 49oveq12i 7152 . 2 (𝐽 Cn 𝐽) = ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ ))
5148, 50eleqtrrdi 2901 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃!wreu 3108  Vcvv 3441   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111  –1-1-onto→wf1o 6326  ‘cfv 6327   Isom wiso 6328  (class class class)co 7140  ℝcr 10532  0cc0 10533  ℝ*cxr 10670   ≤ cle 10672  ℝ+crp 12384   ·e cxmu 12501  ordTopcordt 16771   TosetRel ctsr 17808   Cn ccn 21843 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fi 8866  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-div 11294  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xmul 12504  df-topgen 16716  df-ordt 16773  df-ps 17809  df-tsr 17810  df-top 21513  df-topon 21530  df-bases 21565  df-cn 21846 This theorem is referenced by:  xrge0mulc1cn  31330
 Copyright terms: Public domain W3C validator