Theorem xrmulc1cn 33927

Description: The operation multiplying an extended real number by a nonnegative constant is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrmulc1cn.k	⊢ 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
xrmulc1cn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
xrmulc1cn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
xrmulc1cn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrmulc1cn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letsr 18559	. . . 4 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ≤ ∈ TosetRel )
3		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4		xrmulc1cn.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
6	5	rpxrd 13003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7	3, 6	xmulcld 13269	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
8	7	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
9		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
11	10	rpred 13002	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ)
12	10	rpne0d 13007	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ≠ 0)
13		xreceu 32849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦)
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦)
15		eqcom 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ (𝑥 ·e 𝐶) = 𝑦)
16		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
17	6	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
18		xmulcom 13233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
19	16, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
20	19	eqeq1d 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝐶) = 𝑦 ↔ (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
21	15, 20	bitrid 283	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
22	21	reubidva 3372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
23	14, 22	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶))
24	23	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ* ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶))
25		xrmulc1cn.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
26	25	f1ompt 7086	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ↔ (∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶)))
27	8, 24, 26	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ*)
28		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
29		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
30	4	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
31		xlemul1 13257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
32	28, 29, 30, 31	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
33		ovex 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V
34	25	fvmpt2 6982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V) → (𝐹‘𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
35	28, 33, 34	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
36		oveq1 7397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
37		ovex 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ·e 𝐶) ∈ V
38	36, 25, 37	fvmpt 6971	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
39	38	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
40	35, 39	breq12d 5123	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
41	32, 40	bitr4d 282	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
42	41	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
43	42	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
44		df-isom 6523	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))))
45	27, 43, 44	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*))
46		ledm 18556	. . . 4 ⊢ ℝ* = dom ≤
47	46, 46	ordthmeolem 23695	. . 3 ⊢ (( ≤ ∈ TosetRel ∧ ≤ ∈ TosetRel ∧ 𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
48	2, 2, 45, 47	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
49		xrmulc1cn.k	. . 3 ⊢ 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
50	49, 49	oveq12i 7402	. 2 ⊢ (𝐽 Cn 𝐽) = ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ ))
51	48, 50	eleqtrrdi 2840	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃!wreu 3354  Vcvv 3450   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514   Isom wiso 6515  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  ℝ^*cxr 11214   ≤ cle 11216  ℝ⁺crp 12958   ·_e cxmu 13078  ordTopcordt 17469   TosetRel ctsr 18531   Cn ccn 23118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9369  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xmul 13081  df-topgen 17413  df-ordt 17471  df-ps 18532  df-tsr 18533  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-cn 23121

This theorem is referenced by:  xrge0mulc1cn  33938