Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrmulc1cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrmulc1cn 33208
Description: The operation multiplying an extended real number by a nonnegative constant is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrmulc1cn.k 𝐽 = (ordTopβ€˜ ≀ )
xrmulc1cn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢))
xrmulc1cn.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
xrmulc1cn (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem xrmulc1cn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 18550 . . . 4 ≀ ∈ TosetRel
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ≀ ∈ TosetRel )
3 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
4 xrmulc1cn.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
54adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
65rpxrd 13021 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
73, 6xmulcld 13285 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ Β·e 𝐢) ∈ ℝ*)
87ralrimiva 3144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ* (π‘₯ Β·e 𝐢) ∈ ℝ*)
9 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
104adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
1110rpred 13020 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
1210rpne0d 13025 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ 𝐢 β‰  0)
13 xreceu 32355 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝐢 β‰  0) β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ ℝ* (𝐢 Β·e π‘₯) = 𝑦)
149, 11, 12, 13syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ ℝ* (𝐢 Β·e π‘₯) = 𝑦)
15 eqcom 2737 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (π‘₯ Β·e 𝐢) ↔ (π‘₯ Β·e 𝐢) = 𝑦)
16 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
176adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
18 xmulcom 13249 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ Β·e 𝐢) = (𝐢 Β·e π‘₯))
1916, 17, 18syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ Β·e 𝐢) = (𝐢 Β·e π‘₯))
2019eqeq1d 2732 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ Β·e 𝐢) = 𝑦 ↔ (𝐢 Β·e π‘₯) = 𝑦))
2115, 20bitrid 282 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 = (π‘₯ Β·e 𝐢) ↔ (𝐢 Β·e π‘₯) = 𝑦))
2221reubidva 3390 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ ℝ* 𝑦 = (π‘₯ Β·e 𝐢) ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ ℝ* (𝐢 Β·e π‘₯) = 𝑦))
2314, 22mpbird 256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ ℝ* 𝑦 = (π‘₯ Β·e 𝐢))
2423ralrimiva 3144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* βˆƒ!π‘₯ ∈ ℝ* 𝑦 = (π‘₯ Β·e 𝐢))
25 xrmulc1cn.f . . . . . 6 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢))
2625f1ompt 7111 . . . . 5 (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ* (π‘₯ Β·e 𝐢) ∈ ℝ* ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* βˆƒ!π‘₯ ∈ ℝ* 𝑦 = (π‘₯ Β·e 𝐢)))
278, 24, 26sylanbrc 581 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ*)
28 simplr 765 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
29 simpr 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
304ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
31 xlemul1 13273 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ (π‘₯ Β·e 𝐢) ≀ (𝑦 Β·e 𝐢)))
3228, 29, 30, 31syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ (π‘₯ Β·e 𝐢) ≀ (𝑦 Β·e 𝐢)))
33 ovex 7444 . . . . . . . . 9 (π‘₯ Β·e 𝐢) ∈ V
3425fvmpt2 7008 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ Β·e 𝐢) ∈ V) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (π‘₯ Β·e 𝐢))
3528, 33, 34sylancl 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (π‘₯ Β·e 𝐢))
36 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ Β·e 𝐢) = (𝑦 Β·e 𝐢))
37 ovex 7444 . . . . . . . . . 10 (𝑦 Β·e 𝐢) ∈ V
3836, 25, 37fvmpt 6997 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (𝑦 Β·e 𝐢))
3938adantl 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (𝑦 Β·e 𝐢))
4035, 39breq12d 5160 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (π‘₯ Β·e 𝐢) ≀ (𝑦 Β·e 𝐢)))
4132, 40bitr4d 281 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
4241ralrimiva 3144 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
4342ralrimiva 3144 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ* βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
44 df-isom 6551 . . . 4 (𝐹 Isom ≀ , ≀ (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ* βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
4527, 43, 44sylanbrc 581 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Isom ≀ , ≀ (ℝ*, ℝ*))
46 ledm 18547 . . . 4 ℝ* = dom ≀
4746, 46ordthmeolem 23525 . . 3 (( ≀ ∈ TosetRel ∧ ≀ ∈ TosetRel ∧ 𝐹 Isom ≀ , ≀ (ℝ*, ℝ*)) β†’ 𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) Cn (ordTopβ€˜ ≀ )))
482, 2, 45, 47syl3anc 1369 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) Cn (ordTopβ€˜ ≀ )))
49 xrmulc1cn.k . . 3 𝐽 = (ordTopβ€˜ ≀ )
5049, 49oveq12i 7423 . 2 (𝐽 Cn 𝐽) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) Cn (ordTopβ€˜ ≀ ))
5148, 50eleqtrrdi 2842 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒ!wreu 3372  Vcvv 3472   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542   Isom wiso 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253  β„+crp 12978   Β·e cxmu 13095  ordTopcordt 17449   TosetRel ctsr 18522   Cn ccn 22948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xmul 13098  df-topgen 17393  df-ordt 17451  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cn 22951
This theorem is referenced by:  xrge0mulc1cn  33219
  Copyright terms: Public domain W3C validator