Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrmulc1cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrmulc1cn 33891
Description: The operation multiplying an extended real number by a nonnegative constant is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrmulc1cn.k 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
xrmulc1cn.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
xrmulc1cn.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
xrmulc1cn (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrmulc1cn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 18651 . . . 4 ≤ ∈ TosetRel
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ≤ ∈ TosetRel )
3 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4 xrmulc1cn.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
54adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
65rpxrd 13076 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
73, 6xmulcld 13341 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
87ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
9 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
104adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
1110rpred 13075 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ)
1210rpne0d 13080 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ≠ 0)
13 xreceu 32889 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦)
149, 11, 12, 13syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦)
15 eqcom 2742 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ (𝑥 ·e 𝐶) = 𝑦)
16 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
176adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
18 xmulcom 13305 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
1916, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
2019eqeq1d 2737 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝐶) = 𝑦 ↔ (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
2115, 20bitrid 283 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
2221reubidva 3394 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
2314, 22mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶))
2423ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ* ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶))
25 xrmulc1cn.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
2625f1ompt 7131 . . . . 5 (𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ* ↔ (∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶)))
278, 24, 26sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ*)
28 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
29 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
304ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
31 xlemul1 13329 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
3228, 29, 30, 31syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
33 ovex 7464 . . . . . . . . 9 (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V
3425fvmpt2 7027 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V) → (𝐹𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
3528, 33, 34sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
36 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
37 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ·e 𝐶) ∈ V
3836, 25, 37fvmpt 7016 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝐹𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
3938adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
4035, 39breq12d 5161 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
4132, 40bitr4d 282 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
4241ralrimiva 3144 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
4342ralrimiva 3144 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
44 df-isom 6572 . . . 4 (𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))))
4527, 43, 44sylanbrc 583 . . 3 (𝜑𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*))
46 ledm 18648 . . . 4 * = dom ≤
4746, 46ordthmeolem 23825 . . 3 (( ≤ ∈ TosetRel ∧ ≤ ∈ TosetRel ∧ 𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
482, 2, 45, 47syl3anc 1370 . 2 (𝜑𝐹 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
49 xrmulc1cn.k . . 3 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
5049, 49oveq12i 7443 . 2 (𝐽 Cn 𝐽) = ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ ))
5148, 50eleqtrrdi 2850 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  ∃!wreu 3376  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cmpt 5231  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563   Isom wiso 6564  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  *cxr 11292  cle 11294  +crp 13032   ·e cxmu 13151  ordTopcordt 17546   TosetRel ctsr 18623   Cn ccn 23248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xmul 13154  df-topgen 17490  df-ordt 17548  df-ps 18624  df-tsr 18625  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cn 23251
This theorem is referenced by:  xrge0mulc1cn  33902
  Copyright terms: Public domain W3C validator