Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrmulc1cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrmulc1cn 32511
Description: The operation multiplying an extended real number by a nonnegative constant is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrmulc1cn.k 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
xrmulc1cn.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
xrmulc1cn.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
xrmulc1cn (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrmulc1cn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 18482 . . . 4 ≤ ∈ TosetRel
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ≤ ∈ TosetRel )
3 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4 xrmulc1cn.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
54adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
65rpxrd 12958 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
73, 6xmulcld 13221 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
87ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
9 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
104adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
1110rpred 12957 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ)
1210rpne0d 12962 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ≠ 0)
13 xreceu 31778 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦)
149, 11, 12, 13syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦)
15 eqcom 2743 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ (𝑥 ·e 𝐶) = 𝑦)
16 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
176adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
18 xmulcom 13185 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
1916, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
2019eqeq1d 2738 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝐶) = 𝑦 ↔ (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
2115, 20bitrid 282 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
2221reubidva 3369 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → (∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
2314, 22mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ*) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶))
2423ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ* ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶))
25 xrmulc1cn.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
2625f1ompt 7059 . . . . 5 (𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ* ↔ (∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶)))
278, 24, 26sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ*)
28 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
29 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
304ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
31 xlemul1 13209 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
3228, 29, 30, 31syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
33 ovex 7390 . . . . . . . . 9 (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V
3425fvmpt2 6959 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V) → (𝐹𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
3528, 33, 34sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
36 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
37 ovex 7390 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ·e 𝐶) ∈ V
3836, 25, 37fvmpt 6948 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝐹𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
3938adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
4035, 39breq12d 5118 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
4132, 40bitr4d 281 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
4241ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
4342ralrimiva 3143 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
44 df-isom 6505 . . . 4 (𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))))
4527, 43, 44sylanbrc 583 . . 3 (𝜑𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*))
46 ledm 18479 . . . 4 * = dom ≤
4746, 46ordthmeolem 23152 . . 3 (( ≤ ∈ TosetRel ∧ ≤ ∈ TosetRel ∧ 𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
482, 2, 45, 47syl3anc 1371 . 2 (𝜑𝐹 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
49 xrmulc1cn.k . . 3 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
5049, 49oveq12i 7369 . 2 (𝐽 Cn 𝐽) = ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ ))
5148, 50eleqtrrdi 2849 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  ∃!wreu 3351  Vcvv 3445   class class class wbr 5105  cmpt 5188  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496   Isom wiso 6497  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  *cxr 11188  cle 11190  +crp 12915   ·e cxmu 13032  ordTopcordt 17381   TosetRel ctsr 18454   Cn ccn 22575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xmul 13035  df-topgen 17325  df-ordt 17383  df-ps 18455  df-tsr 18456  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cn 22578
This theorem is referenced by:  xrge0mulc1cn  32522
  Copyright terms: Public domain W3C validator