Theorem xrmulc1cn 33943

Description: The operation multiplying an extended real number by a nonnegative constant is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrmulc1cn.k	⊢ 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
xrmulc1cn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
xrmulc1cn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
xrmulc1cn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrmulc1cn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letsr 18499	. . . 4 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ≤ ∈ TosetRel )
3		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4		xrmulc1cn.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
6	5	rpxrd 12935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7	3, 6	xmulcld 13201	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
8	7	ralrimiva 3124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
9		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
11	10	rpred 12934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ)
12	10	rpne0d 12939	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ≠ 0)
13		xreceu 32902	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦)
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦)
15		eqcom 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ (𝑥 ·e 𝐶) = 𝑦)
16		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
17	6	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
18		xmulcom 13165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
19	16, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝑥))
20	19	eqeq1d 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ·e 𝐶) = 𝑦 ↔ (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
21	15, 20	bitrid 283	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
22	21	reubidva 3360	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝑦))
23	14, 22	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶))
24	23	ralrimiva 3124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ* ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶))
25		xrmulc1cn.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
26	25	f1ompt 7044	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ↔ (∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* ∃!𝑥 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑥 ·e 𝐶)))
27	8, 24, 26	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ*)
28		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
29		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
30	4	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ+)
31		xlemul1 13189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
32	28, 29, 30, 31	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
33		ovex 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V
34	25	fvmpt2 6940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V) → (𝐹‘𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
35	28, 33, 34	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
36		oveq1 7353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
37		ovex 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ·e 𝐶) ∈ V
38	36, 25, 37	fvmpt 6929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
39	38	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
40	35, 39	breq12d 5102	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝑥 ·e 𝐶) ≤ (𝑦 ·e 𝐶)))
41	32, 40	bitr4d 282	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
42	41	ralrimiva 3124	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
43	42	ralrimiva 3124	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
44		df-isom 6490	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))))
45	27, 43, 44	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*))
46		ledm 18496	. . . 4 ⊢ ℝ* = dom ≤
47	46, 46	ordthmeolem 23716	. . 3 ⊢ (( ≤ ∈ TosetRel ∧ ≤ ∈ TosetRel ∧ 𝐹 Isom ≤ , ≤ (ℝ*, ℝ*)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
48	2, 2, 45, 47	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
49		xrmulc1cn.k	. . 3 ⊢ 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
50	49, 49	oveq12i 7358	. 2 ⊢ (𝐽 Cn 𝐽) = ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ ))
51	48, 50	eleqtrrdi 2842	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃!wreu 3344  Vcvv 3436   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481   Isom wiso 6482  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006  ℝ^*cxr 11145   ≤ cle 11147  ℝ⁺crp 12890   ·_e cxmu 13010  ordTopcordt 17403   TosetRel ctsr 18471   Cn ccn 23139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fi 9295  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xmul 13013  df-topgen 17347  df-ordt 17405  df-ps 18472  df-tsr 18473  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22861  df-cn 23142

This theorem is referenced by:  xrge0mulc1cn  33954