Theorem esummulc2 34417

Description: An extended sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esummulc2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esummulc2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esummulc2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
esummulc2	⊢ (𝜑 → (𝐶 ·e Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 ·e 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esummulc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icossxr 13459	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
2		esummulc2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
3	1, 2	sselid 3943	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
4		iccssxr 13457	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
5		esummulc2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		esummulc2.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7	6	ralrimiva 3163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8		nfcv 2931	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
9	8	esumcl 34365	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
10	5, 7, 9	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
11	4, 10	sselid 3943	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
12		xmulcom 13292	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ·e Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e 𝐶))
13	3, 11, 12	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·e Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e 𝐶))
14	5, 6, 2	esummulc1 34416	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 ·e 𝐶))
15	4, 6	sselid 3943	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
17		xmulcom 13292	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐵))
18	15, 16, 17	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐵))
19	18	esumeq2dv 34373	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 ·e 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 ·e 𝐵))
20	13, 14, 19	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·e Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 ·e 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  (class class class)co 7411  0cc0 11100  +∞cpnf 11240  ℝ^*cxr 11242   ·_e cxmu 13136  [,)cico 13374  [,]cicc 13375  Σ^*cesum 34362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-ordt 17555  df-xrs 17556  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-ps 18622  df-tsr 18623  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-ntr 23146  df-nei 23224  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-haus 23441  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-tsms 24253  df-esum 34363

This theorem is referenced by:  omssubadd  34635