Theorem esummulc2 32036

Description: An extended sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esummulc2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esummulc2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esummulc2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
esummulc2	⊢ (𝜑 → (𝐶 ·e Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 ·e 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esummulc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icossxr 13152	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
2		esummulc2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
3	1, 2	sselid 3919	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
4		iccssxr 13150	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
5		esummulc2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		esummulc2.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7	6	ralrimiva 3113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8		nfcv 2907	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
9	8	esumcl 31984	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
10	5, 7, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
11	4, 10	sselid 3919	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
12		xmulcom 12988	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ·e Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e 𝐶))
13	3, 11, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·e Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e 𝐶))
14	5, 6, 2	esummulc1 32035	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 ·e 𝐶))
15	4, 6	sselid 3919	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
17		xmulcom 12988	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐵))
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐵))
19	18	esumeq2dv 31992	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 ·e 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 ·e 𝐵))
20	13, 14, 19	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·e Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 ·e 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  (class class class)co 7268  0cc0 10859  +∞cpnf 10994  ℝ^*cxr 10996   ·_e cxmu 12835  [,)cico 13069  [,]cicc 13070  Σ^*cesum 31981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-pre-sup 10937

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-isom 6436  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-supp 7966  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-er 8486  df-map 8605  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-fsupp 9117  df-fi 9158  df-sup 9189  df-inf 9190  df-oi 9257  df-card 9685  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-4 12026  df-5 12027  df-6 12028  df-7 12029  df-8 12030  df-9 12031  df-n0 12222  df-z 12308  df-dec 12426  df-uz 12571  df-q 12677  df-rp 12719  df-xneg 12836  df-xadd 12837  df-xmul 12838  df-ioo 13071  df-ioc 13072  df-ico 13073  df-icc 13074  df-fz 13228  df-fzo 13371  df-seq 13710  df-hash 14033  df-struct 16836  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-ress 16930  df-plusg 16963  df-mulr 16964  df-tset 16969  df-ple 16970  df-ds 16972  df-rest 17121  df-topn 17122  df-0g 17140  df-gsum 17141  df-topgen 17142  df-ordt 17200  df-xrs 17201  df-mre 17283  df-mrc 17284  df-acs 17286  df-ps 18272  df-tsr 18273  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-mhm 18418  df-submnd 18419  df-cntz 18911  df-cmn 19376  df-fbas 20582  df-fg 20583  df-top 22031  df-topon 22048  df-topsp 22070  df-bases 22084  df-ntr 22159  df-nei 22237  df-cn 22366  df-cnp 22367  df-haus 22454  df-fil 22985  df-fm 23077  df-flim 23078  df-flf 23079  df-tsms 23266  df-esum 31982

This theorem is referenced by:  omssubadd  32253