Theorem esummulc2 34077

Description: An extended sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esummulc2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esummulc2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esummulc2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
esummulc2	⊢ (𝜑 → (𝐶 ·e Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 ·e 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esummulc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icossxr 13478	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
2		esummulc2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
3	1, 2	sselid 3996	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
4		iccssxr 13476	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
5		esummulc2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		esummulc2.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7	6	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8		nfcv 2905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
9	8	esumcl 34025	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
10	5, 7, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
11	4, 10	sselid 3996	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
12		xmulcom 13314	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ·e Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e 𝐶))
13	3, 11, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·e Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e 𝐶))
14	5, 6, 2	esummulc1 34076	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 ·e 𝐶))
15	4, 6	sselid 3996	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
17		xmulcom 13314	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐵))
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐵))
19	18	esumeq2dv 34033	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 ·e 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 ·e 𝐵))
20	13, 14, 19	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·e Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶 ·e 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  (class class class)co 7438  0cc0 11162  +∞cpnf 11299  ℝ^*cxr 11301   ·_e cxmu 13160  [,)cico 13395  [,]cicc 13396  Σ^*cesum 34022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239  ax-pre-sup 11240

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-iin 5002  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-se 5646  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-isom 6578  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-of 7704  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8194  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8753  df-map 8876  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-fsupp 9409  df-fi 9458  df-sup 9489  df-inf 9490  df-oi 9557  df-card 9986  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-div 11928  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-5 12339  df-6 12340  df-7 12341  df-8 12342  df-9 12343  df-n0 12534  df-z 12621  df-dec 12741  df-uz 12886  df-q 12998  df-rp 13042  df-xneg 13161  df-xadd 13162  df-xmul 13163  df-ioo 13397  df-ioc 13398  df-ico 13399  df-icc 13400  df-fz 13554  df-fzo 13701  df-seq 14049  df-hash 14376  df-struct 17190  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-ress 17284  df-plusg 17320  df-mulr 17321  df-tset 17326  df-ple 17327  df-ds 17329  df-rest 17478  df-topn 17479  df-0g 17497  df-gsum 17498  df-topgen 17499  df-ordt 17557  df-xrs 17558  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-acs 17643  df-ps 18633  df-tsr 18634  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-fbas 21388  df-fg 21389  df-top 22925  df-topon 22942  df-topsp 22964  df-bases 22978  df-ntr 23053  df-nei 23131  df-cn 23260  df-cnp 23261  df-haus 23348  df-fil 23879  df-fm 23971  df-flim 23972  df-flf 23973  df-tsms 24160  df-esum 34023

This theorem is referenced by:  omssubadd  34296