MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  posdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem posdif 11136
Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
posdif ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))

Proof of Theorem posdif
StepHypRef Expression
1 resubcl 10953 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
21ancoms 461 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
3 simpl 485 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 ltaddpos 11133 . . 3 (((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < (𝐵𝐴) ↔ 𝐴 < (𝐴 + (𝐵𝐴))))
52, 3, 4syl2anc 586 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐵𝐴) ↔ 𝐴 < (𝐴 + (𝐵𝐴))))
6 recn 10630 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
7 recn 10630 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
8 pncan3 10897 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
96, 7, 8syl2an 597 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
109breq2d 5081 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐴 + (𝐵𝐴)) ↔ 𝐴 < 𝐵))
115, 10bitr2d 282 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1536  wcel 2113   class class class wbr 5069  (class class class)co 7159  cc 10538  cr 10539  0cc0 10540   + caddc 10543   < clt 10678  cmin 10873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-ltxr 10683  df-sub 10875  df-neg 10876
This theorem is referenced by:  posdifi  11193  posdifd  11230  nnsub  11684  nn0sub  11950  znnsub  12031  rpnnen1lem5  12383  difrp  12430  qbtwnre  12595  eluzgtdifelfzo  13102  subfzo0  13162  expnbnd  13596  expmulnbnd  13599  pfxccatin12lem3  14097  eflt  15473  cos01gt0  15547  ndvdsadd  15764  nn0seqcvgd  15917  prmgaplem7  16396  cshwshashlem2  16433  dvcvx  24620  abelthlem7  25029  sinq12gt0  25096  cosq14gt0  25099  cosne0  25117  tanregt0  25126  logdivlti  25206  logcnlem4  25231  scvxcvx  25566  perfectlem2  25809  rplogsumlem2  26064  dchrisum0flblem1  26087  crctcshwlkn0lem3  27593  crctcshwlkn0lem7  27597  mblfinlem3  34935  mblfinlem4  34936  dvasin  34982  geomcau  35038  bfp  35106  perfectALTVlem2  43894
  Copyright terms: Public domain W3C validator