Theorem posdif 11708

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
posdif	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem posdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubcl 11525	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
2	1	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
3		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltaddpos 11705	. . 3 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < (𝐵 − 𝐴) ↔ 𝐴 < (𝐴 + (𝐵 − 𝐴))))
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐵 − 𝐴) ↔ 𝐴 < (𝐴 + (𝐵 − 𝐴))))
6		recn 11199	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
7		recn 11199	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
8		pncan3 11469	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
9	6, 7, 8	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) = 𝐵)
10	9	breq2d 5153	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) ↔ 𝐴 < 𝐵))
11	5, 10	bitr2d 280	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112   < clt 11249   − cmin 11445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-neg 11448

This theorem is referenced by:  posdifi  11765  posdifd  11802  nnsub  12257  nn0sub  12523  znnsub  12609  rpnnen1lem5  12966  difrp  13015  qbtwnre  13181  eluzgtdifelfzo  13697  subfzo0  13757  expnbnd  14198  expmulnbnd  14201  pfxccatin12lem3  14686  eflt  16065  cos01gt0  16139  ndvdsadd  16358  nn0seqcvgd  16512  prmgaplem7  16997  cshwshashlem2  17037  dvcvx  25904  abelthlem7  26326  sinq12gt0  26393  cosq14gt0  26396  cosne0  26414  tanregt0  26424  logdivlti  26505  logcnlem4  26530  scvxcvx  26869  perfectlem2  27114  rplogsumlem2  27369  dchrisum0flblem1  27392  crctcshwlkn0lem3  29571  crctcshwlkn0lem7  29575  mblfinlem3  37038  mblfinlem4  37039  dvasin  37083  geomcau  37138  bfp  37203  perfectALTVlem2  46943