MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdeg0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdeg0 25458
Description: Degree of the zero polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdeg0.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdeg0.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdeg0.z 0 = (0g𝑃)
Assertion
Ref Expression
mdeg0 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (𝐷0 ) = -∞)

Proof of Theorem mdeg0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringgrp 19977 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2 mdeg0.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
32mplgrp 21445 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
41, 3sylan2 594 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Grp)
5 eqid 2733 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6 mdeg0.z . . . 4 0 = (0g𝑃)
75, 6grpidcl 18786 . . 3 (𝑃 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑃))
8 mdeg0.d . . . 4 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
9 eqid 2733 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
10 eqid 2733 . . . 4 {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
11 eqid 2733 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
128, 2, 5, 9, 10, 11mdegval 25451 . . 3 ( 0 ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷0 ) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ))
134, 7, 123syl 18 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (𝐷0 ) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ))
14 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝐼𝑉)
151adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
162, 10, 9, 6, 14, 15mpl0 21435 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 0 = ({𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)}))
17 fvex 6859 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) ∈ V
18 fnconstg 6734 . . . . . . . . . 10 ((0g𝑅) ∈ V → ({𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)}) Fn {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
1917, 18mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ({𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)}) Fn {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
2016fneq1d 6599 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ( 0 Fn {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ({𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)}) Fn {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}))
2119, 20mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 0 Fn {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
22 ovex 7394 . . . . . . . . . 10 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
2322rabex 5293 . . . . . . . . 9 {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
2517a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (0g𝑅) ∈ V)
26 fnsuppeq0 8127 . . . . . . . 8 (( 0 Fn {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V ∧ (0g𝑅) ∈ V) → (( 0 supp (0g𝑅)) = ∅ ↔ 0 = ({𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)})))
2721, 24, 25, 26syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (( 0 supp (0g𝑅)) = ∅ ↔ 0 = ({𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)})))
2816, 27mpbird 257 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ( 0 supp (0g𝑅)) = ∅)
2928imaeq2d 6017 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g𝑅))) = ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ∅))
30 ima0 6033 . . . . 5 ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ∅) = ∅
3129, 30eqtrdi 2789 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g𝑅))) = ∅)
3231supeq1d 9390 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < ))
33 xrsup0 13251 . . 3 sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
3432, 33eqtrdi 2789 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) = -∞)
3513, 34eqtrd 2773 1 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (𝐷0 ) = -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3447  c0 4286  {csn 4590  cmpt 5192   × cxp 5635  ccnv 5636  cima 5640   Fn wfn 6495  cfv 6500  (class class class)co 7361   supp csupp 8096  m cmap 8771  Fincfn 8889  supcsup 9384  -∞cmnf 11195  *cxr 11196   < clt 11197  cn 12161  0cn0 12421  Basecbs 17091  0gc0g 17329   Σg cgsu 17330  Grpcgrp 18756  Ringcrg 19972  fldccnfld 20819   mPoly cmpl 21331   mDeg cmdg 25438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-subg 18933  df-ring 19974  df-psr 21334  df-mpl 21336  df-mdeg 25440
This theorem is referenced by:  deg1z  25475
  Copyright terms: Public domain W3C validator