Theorem mdeg0 26035

Description: Degree of the zero polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdeg0.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdeg0.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdeg0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mdeg0	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐷‘ 0 ) = -∞)

Proof of Theorem mdeg0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 20219	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		mdeg0.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3	2	mplgrp 21995	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
4	1, 3	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Grp)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6		mdeg0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
7	5, 6	grpidcl 18941	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑃))
8		mdeg0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
11		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
12	8, 2, 5, 9, 10, 11	mdegval 26028	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷‘ 0 ) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
13	4, 7, 12	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐷‘ 0 ) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
14		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 ∈ 𝑉)
15	1	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
16	2, 10, 9, 6, 14, 15	mpl0 21984	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 = ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}))
17		fvex 6853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
18		fnconstg 6728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ V → ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
19	17, 18	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
20	16	fneq1d 6591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ( 0 Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}))
21	19, 20	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
22		ovex 7400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
23	22	rabex 5280	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
25	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝑅) ∈ V)
26		fnsuppeq0 8142	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) → (( 0 supp (0g‘𝑅)) = ∅ ↔ 0 = ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})))
27	21, 24, 25, 26	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (( 0 supp (0g‘𝑅)) = ∅ ↔ 0 = ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})))
28	16, 27	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ( 0 supp (0g‘𝑅)) = ∅)
29	28	imaeq2d 6025	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))) = ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ∅))
30		ima0 6042	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ∅) = ∅
31	29, 30	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))) = ∅)
32	31	supeq1d 9359	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < ))
33		xrsup0 13275	. . 3 ⊢ sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
34	32, 33	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) = -∞)
35	13, 34	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐷‘ 0 ) = -∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389  Vcvv 3429  ∅c0 4273  {csn 4567   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634   Fn wfn 6493  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   supp csupp 8110   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  supcsup 9353  -∞cmnf 11177  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  Basecbs 17179  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  Grpcgrp 18909  Ringcrg 20214  ℂ_fldccnfld 21352   mPoly cmpl 21886   mDeg cmdg 26018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-subg 19099  df-ring 20216  df-psr 21889  df-mpl 21891  df-mdeg 26020

This theorem is referenced by:  deg1z  26052