Theorem mdeg0 24671

Description: Degree of the zero polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdeg0.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdeg0.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdeg0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mdeg0	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐷‘ 0 ) = -∞)

Proof of Theorem mdeg0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 19295	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		mdeg0.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3	2	mplgrp 20689	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
4	1, 3	sylan2 595	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Grp)
5		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6		mdeg0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
7	5, 6	grpidcl 18123	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑃))
8		mdeg0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
9		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
10		eqid 2798	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
11		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
12	8, 2, 5, 9, 10, 11	mdegval 24664	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷‘ 0 ) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
13	4, 7, 12	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐷‘ 0 ) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
14		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 ∈ 𝑉)
15	1	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
16	2, 10, 9, 6, 14, 15	mpl0 20679	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 = ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}))
17		fvex 6658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
18		fnconstg 6541	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ V → ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
19	17, 18	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
20	16	fneq1d 6416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ( 0 Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)}) Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}))
21	19, 20	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
22		ovex 7168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
23	22	rabex 5199	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
25	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝑅) ∈ V)
26		fnsuppeq0 7841	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 Fn {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) → (( 0 supp (0g‘𝑅)) = ∅ ↔ 0 = ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})))
27	21, 24, 25, 26	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (( 0 supp (0g‘𝑅)) = ∅ ↔ 0 = ({𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g‘𝑅)})))
28	16, 27	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ( 0 supp (0g‘𝑅)) = ∅)
29	28	imaeq2d 5896	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))) = ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ∅))
30		ima0 5912	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ∅) = ∅
31	29, 30	eqtrdi 2849	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))) = ∅)
32	31	supeq1d 8894	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < ))
33		xrsup0 12704	. . 3 ⊢ sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
34	32, 33	eqtrdi 2849	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) = -∞)
35	13, 34	eqtrd 2833	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐷‘ 0 ) = -∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110  Vcvv 3441  ∅c0 4243  {csn 4525   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517  ^◡ccnv 5518   “ cima 5522   Fn wfn 6319  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   supp csupp 7813   ↑_m cmap 8389  Fincfn 8492  supcsup 8888  -∞cmnf 10662  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  Basecbs 16475  0_gc0g 16705   Σ_g cgsu 16706  Grpcgrp 18095  Ringcrg 19290  ℂ_fldccnfld 20091   mPoly cmpl 20591   mDeg cmdg 24654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-subg 18268  df-ring 19292  df-psr 20594  df-mpl 20596  df-mdeg 24656

This theorem is referenced by:  deg1z  24688