MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdeg0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdeg0 25235
Description: Degree of the zero polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdeg0.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdeg0.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdeg0.z 0 = (0g𝑃)
Assertion
Ref Expression
mdeg0 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (𝐷0 ) = -∞)

Proof of Theorem mdeg0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringgrp 19788 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2 mdeg0.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
32mplgrp 21222 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
41, 3sylan2 593 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Grp)
5 eqid 2738 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6 mdeg0.z . . . 4 0 = (0g𝑃)
75, 6grpidcl 18607 . . 3 (𝑃 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑃))
8 mdeg0.d . . . 4 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
9 eqid 2738 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
10 eqid 2738 . . . 4 {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
11 eqid 2738 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
128, 2, 5, 9, 10, 11mdegval 25228 . . 3 ( 0 ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷0 ) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ))
134, 7, 123syl 18 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (𝐷0 ) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ))
14 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝐼𝑉)
151adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
162, 10, 9, 6, 14, 15mpl0 21212 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 0 = ({𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)}))
17 fvex 6787 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) ∈ V
18 fnconstg 6662 . . . . . . . . . 10 ((0g𝑅) ∈ V → ({𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)}) Fn {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
1917, 18mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ({𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)}) Fn {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
2016fneq1d 6526 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ( 0 Fn {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ({𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)}) Fn {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}))
2119, 20mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 0 Fn {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
22 ovex 7308 . . . . . . . . . 10 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
2322rabex 5256 . . . . . . . . 9 {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
2517a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (0g𝑅) ∈ V)
26 fnsuppeq0 8008 . . . . . . . 8 (( 0 Fn {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V ∧ (0g𝑅) ∈ V) → (( 0 supp (0g𝑅)) = ∅ ↔ 0 = ({𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)})))
2721, 24, 25, 26syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (( 0 supp (0g𝑅)) = ∅ ↔ 0 = ({𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)})))
2816, 27mpbird 256 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ( 0 supp (0g𝑅)) = ∅)
2928imaeq2d 5969 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g𝑅))) = ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ∅))
30 ima0 5985 . . . . 5 ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ∅) = ∅
3129, 30eqtrdi 2794 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g𝑅))) = ∅)
3231supeq1d 9205 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < ))
33 xrsup0 13057 . . 3 sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
3432, 33eqtrdi 2794 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) = -∞)
3513, 34eqtrd 2778 1 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (𝐷0 ) = -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432  c0 4256  {csn 4561  cmpt 5157   × cxp 5587  ccnv 5588  cima 5592   Fn wfn 6428  cfv 6433  (class class class)co 7275   supp csupp 7977  m cmap 8615  Fincfn 8733  supcsup 9199  -∞cmnf 11007  *cxr 11008   < clt 11009  cn 11973  0cn0 12233  Basecbs 16912  0gc0g 17150   Σg cgsu 17151  Grpcgrp 18577  Ringcrg 19783  fldccnfld 20597   mPoly cmpl 21109   mDeg cmdg 25215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-ring 19785  df-psr 21112  df-mpl 21114  df-mdeg 25217
This theorem is referenced by:  deg1z  25252
  Copyright terms: Public domain W3C validator