MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdeg0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdeg0 24656
Description: Degree of the zero polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdeg0.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdeg0.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdeg0.z 0 = (0g𝑃)
Assertion
Ref Expression
mdeg0 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (𝐷0 ) = -∞)

Proof of Theorem mdeg0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringgrp 19294 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2 mdeg0.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
32mplgrp 20222 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
41, 3sylan2 594 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Grp)
5 eqid 2819 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6 mdeg0.z . . . 4 0 = (0g𝑃)
75, 6grpidcl 18123 . . 3 (𝑃 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑃))
8 mdeg0.d . . . 4 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
9 eqid 2819 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
10 eqid 2819 . . . 4 {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
11 eqid 2819 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
128, 2, 5, 9, 10, 11mdegval 24649 . . 3 ( 0 ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷0 ) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ))
134, 7, 123syl 18 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (𝐷0 ) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ))
14 simpl 485 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝐼𝑉)
151adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
162, 10, 9, 6, 14, 15mpl0 20213 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 0 = ({𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)}))
17 fvex 6676 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) ∈ V
18 fnconstg 6560 . . . . . . . . . 10 ((0g𝑅) ∈ V → ({𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)}) Fn {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
1917, 18mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ({𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)}) Fn {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
2016fneq1d 6439 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ( 0 Fn {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ({𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)}) Fn {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}))
2119, 20mpbird 259 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 0 Fn {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
22 ovex 7181 . . . . . . . . . 10 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
2322rabex 5226 . . . . . . . . 9 {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
2517a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (0g𝑅) ∈ V)
26 fnsuppeq0 7850 . . . . . . . 8 (( 0 Fn {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V ∧ (0g𝑅) ∈ V) → (( 0 supp (0g𝑅)) = ∅ ↔ 0 = ({𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)})))
2721, 24, 25, 26syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (( 0 supp (0g𝑅)) = ∅ ↔ 0 = ({𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)})))
2816, 27mpbird 259 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ( 0 supp (0g𝑅)) = ∅)
2928imaeq2d 5922 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g𝑅))) = ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ∅))
30 ima0 5938 . . . . 5 ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ∅) = ∅
3129, 30syl6eq 2870 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g𝑅))) = ∅)
3231supeq1d 8902 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < ))
33 xrsup0 12708 . . 3 sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
3432, 33syl6eq 2870 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ ( 0 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) = -∞)
3513, 34eqtrd 2854 1 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (𝐷0 ) = -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108  {crab 3140  Vcvv 3493  c0 4289  {csn 4559  cmpt 5137   × cxp 5546  ccnv 5547  cima 5551   Fn wfn 6343  cfv 6348  (class class class)co 7148   supp csupp 7822  m cmap 8398  Fincfn 8501  supcsup 8896  -∞cmnf 10665  *cxr 10666   < clt 10667  cn 11630  0cn0 11889  Basecbs 16475  0gc0g 16705   Σg cgsu 16706  Grpcgrp 18095  Ringcrg 19289   mPoly cmpl 20125  fldccnfld 20537   mDeg cmdg 24639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-subg 18268  df-ring 19291  df-psr 20128  df-mpl 20130  df-mdeg 24641
This theorem is referenced by:  deg1z  24673
  Copyright terms: Public domain W3C validator