Theorem flqcld 10346

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
flqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)

Assertion

Ref	Expression
flqcld	⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
2		flqcl 10342	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5254  ℤcz 9317  ℚcq 9684  ⌊cfl 10337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-q 9685  df-rp 9720  df-fl 10339

This theorem is referenced by:  flqge  10351  flqlt  10352  flid  10353  flqltnz  10356  flqwordi  10357  flqword2  10358  flqaddz  10366  flhalf  10371  flltdivnn0lt  10373  fldiv4p1lem1div2  10374  fldiv4lem1div2uz2  10375  ceiqcl  10378  ceiqge  10380  ceiqm1l  10382  intfracq  10391  flqdiv  10392  modqval  10395  modqvalr  10396  modqcl  10397  flqpmodeq  10398  modq0  10400  modqge0  10403  modqlt  10404  modqdiffl  10406  modqdifz  10407  modqmulnn  10413  modqvalp1  10414  zmodcl  10415  modqcyc  10430  modqadd1  10432  modqmuladd  10437  modqmul1  10448  modqdi  10463  modqsubdir  10464  iexpcyc  10715  facavg  10817  dvdsmod  12004  divalglemnn  12059  divalgmod  12068  flodddiv4t2lthalf  12078  modgcd  12128  hashdvds  12359  prmdiv  12373  odzdvds  12383  fldivp1  12486  pcfac  12488  pcbc  12489  mulgmodid  13231  gausslemma2dlem3  15179  gausslemma2dlem4  15180  gausslemma2dlem5a  15181  gausslemma2dlem5  15182  gausslemma2dlem6  15183  lgseisenlem4  15189  lgseisen  15190  lgsquadlem1  15191