Theorem flqcld 10369

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
flqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)

Assertion

Ref	Expression
flqcld	⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
2		flqcl 10365	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  ℤcz 9328  ℚcq 9695  ⌊cfl 10360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-n0 9252  df-z 9329  df-q 9696  df-rp 9731  df-fl 10362

This theorem is referenced by:  flqge  10374  flqlt  10375  flid  10376  flqltnz  10379  flqwordi  10380  flqword2  10381  flqaddz  10389  flhalf  10394  flltdivnn0lt  10396  fldiv4p1lem1div2  10397  fldiv4lem1div2uz2  10398  ceiqcl  10401  ceiqge  10403  ceiqm1l  10405  intfracq  10414  flqdiv  10415  modqval  10418  modqvalr  10419  modqcl  10420  flqpmodeq  10421  modq0  10423  modqge0  10426  modqlt  10427  modqdiffl  10429  modqdifz  10430  modqmulnn  10436  modqvalp1  10437  zmodcl  10438  modqcyc  10453  modqadd1  10455  modqmuladd  10460  modqmul1  10471  modqdi  10486  modqsubdir  10487  iexpcyc  10738  facavg  10840  dvdsmod  12029  divalglemnn  12085  divalgmod  12094  flodddiv4t2lthalf  12106  bitsdc  12114  bitsp1  12118  bitsmod  12123  bitscmp  12125  modgcd  12168  hashdvds  12399  prmdiv  12413  odzdvds  12424  fldivp1  12527  pcfac  12529  pcbc  12530  mulgmodid  13301  gausslemma2dlem3  15314  gausslemma2dlem4  15315  gausslemma2dlem5a  15316  gausslemma2dlem5  15317  gausslemma2dlem6  15318  lgseisenlem4  15324  lgseisen  15325  lgsquadlem1  15328  lgsquadlem2  15329  2lgslem1  15342  2lgslem2  15343