ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flqcld GIF version

Theorem flqcld 10206
Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
flqcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
Assertion
Ref Expression
flqcld (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flqcld
StepHypRef Expression
1 flqcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
2 flqcl 10202 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
31, 2syl 14 1 (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2135  cfv 5185  cz 9185  cq 9551  cfl 10197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4097  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511  ax-cnex 7838  ax-resscn 7839  ax-1cn 7840  ax-1re 7841  ax-icn 7842  ax-addcl 7843  ax-addrcl 7844  ax-mulcl 7845  ax-mulrcl 7846  ax-addcom 7847  ax-mulcom 7848  ax-addass 7849  ax-mulass 7850  ax-distr 7851  ax-i2m1 7852  ax-0lt1 7853  ax-1rid 7854  ax-0id 7855  ax-rnegex 7856  ax-precex 7857  ax-cnre 7858  ax-pre-ltirr 7859  ax-pre-ltwlin 7860  ax-pre-lttrn 7861  ax-pre-apti 7862  ax-pre-ltadd 7863  ax-pre-mulgt0 7864  ax-pre-mulext 7865  ax-arch 7866
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-csb 3044  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-int 3822  df-iun 3865  df-br 3980  df-opab 4041  df-mpt 4042  df-id 4268  df-po 4271  df-iso 4272  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-rn 4612  df-res 4613  df-ima 4614  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fn 5188  df-f 5189  df-fv 5193  df-riota 5795  df-ov 5842  df-oprab 5843  df-mpo 5844  df-1st 6103  df-2nd 6104  df-pnf 7929  df-mnf 7930  df-xr 7931  df-ltxr 7932  df-le 7933  df-sub 8065  df-neg 8066  df-reap 8467  df-ap 8474  df-div 8563  df-inn 8852  df-n0 9109  df-z 9186  df-q 9552  df-rp 9584  df-fl 10199
This theorem is referenced by:  flqge  10211  flqlt  10212  flid  10213  flqltnz  10216  flqwordi  10217  flqword2  10218  flqaddz  10226  flhalf  10231  flltdivnn0lt  10233  fldiv4p1lem1div2  10234  ceiqcl  10236  ceiqge  10238  ceiqm1l  10240  intfracq  10249  flqdiv  10250  modqval  10253  modqvalr  10254  modqcl  10255  flqpmodeq  10256  modq0  10258  modqge0  10261  modqlt  10262  modqdiffl  10264  modqdifz  10265  modqmulnn  10271  modqvalp1  10272  zmodcl  10273  modqcyc  10288  modqadd1  10290  modqmuladd  10295  modqmul1  10306  modqdi  10321  modqsubdir  10322  iexpcyc  10553  facavg  10653  dvdsmod  11794  divalglemnn  11849  divalgmod  11858  flodddiv4t2lthalf  11868  modgcd  11918  hashdvds  12147  prmdiv  12161  odzdvds  12171  fldivp1  12272  pcfac  12274  pcbc  12275
  Copyright terms: Public domain W3C validator