Theorem swrdspsleq 11194

Description: Two words have a common subword (starting at the same position with the same length) iff they have the same symbols at each position. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Aug-2018.) (Proof shortened by AV, 7-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdspsleq	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑈,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊

Proof of Theorem swrdspsleq

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdsb0eq 11192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
2	1	3expa 1227	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
3	2	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
4	3	3adantr3 1182	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
5		ral0 3593	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑖 ∈ ∅ (𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)
6		nn0z 9462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		nn0z 9462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		fzon 10359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ (𝑀..^𝑁) = ∅))
9	6, 7, 8	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ (𝑀..^𝑁) = ∅))
10	9	biimpa 296	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
11	10	raleqdv 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → (∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ (𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
12	5, 11	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))
13	12	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑀 → ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
14	13	3ad2ant2 1043	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑁 ≤ 𝑀 → ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
15	14	impcom 125	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))
16	4, 15	2thd 175	. . 3 ⊢ ((𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
17	16	ancoms 268	. 2 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
18		simp1l 1045	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
19		simp2l 1047	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
20	19	nn0zd 9563	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑀 ∈ ℤ)
21		simp2r 1048	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 9563	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑁 ∈ ℤ)
23		swrdclg 11177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
24	18, 20, 22, 23	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
25		simp1r 1046	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
26		swrdclg 11177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
27	25, 20, 22, 26	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
28		eqwrd 11107	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ ((♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗))))
29	24, 27, 28	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ ((♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗))))
30	29	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ ((♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗))))
31		swrdsbslen 11193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))
32	31	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))
33	32	biantrurd 305	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → (∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ((♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗))))
34		zltnle 9488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 𝑀))
35	20, 22, 34	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 𝑀))
36	19	nn0red 9419	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑀 ∈ ℝ)
37	21	nn0red 9419	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑁 ∈ ℝ)
38		ltle 8230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))
39	36, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑀 < 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))
40	35, 39	sylbird 170	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (¬ 𝑁 ≤ 𝑀 → 𝑀 ≤ 𝑁))
41		simpl1l 1072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
42		simpl2l 1074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
43	6, 7	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
44	43	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
45	44	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
46		df-3an 1004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
47	45, 46	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
48		eluz2 9724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
49	47, 48	sylibr 134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
50	42, 49	jca 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
51		simpl3l 1076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))
52		swrdlen2 11189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁 − 𝑀))
53	41, 50, 51, 52	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁 − 𝑀))
54	53	oveq2d 6016	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))) = (0..^(𝑁 − 𝑀)))
55	54	raleqdv 2734	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗)))
56		0zd 9454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 0 ∈ ℤ)
57		zsubcl 9483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
58	7, 6, 57	syl2anr 290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
59	58	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
60	6	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
61	60	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑀 ∈ ℤ)
62		fzoshftral 10439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0 + 𝑀)..^((𝑁 − 𝑀) + 𝑀))[(𝑖 − 𝑀) / 𝑗]((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗)))
63	56, 59, 61, 62	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0 + 𝑀)..^((𝑁 − 𝑀) + 𝑀))[(𝑖 − 𝑀) / 𝑗]((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗)))
64	63	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0 + 𝑀)..^((𝑁 − 𝑀) + 𝑀))[(𝑖 − 𝑀) / 𝑗]((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗)))
65		nn0cn 9375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
66		nn0cn 9375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
67		addlid 8281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (0 + 𝑀) = 𝑀)
68	67	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (0 + 𝑀) = 𝑀)
69		npcan 8351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
70	68, 69	oveq12d 6018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((0 + 𝑀)..^((𝑁 − 𝑀) + 𝑀)) = (𝑀..^𝑁))
71	65, 66, 70	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 + 𝑀)..^((𝑁 − 𝑀) + 𝑀)) = (𝑀..^𝑁))
72	71	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((0 + 𝑀)..^((𝑁 − 𝑀) + 𝑀)) = (𝑀..^𝑁))
73	72	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((0 + 𝑀)..^((𝑁 − 𝑀) + 𝑀)) = (𝑀..^𝑁))
74	73	raleqdv 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ ((0 + 𝑀)..^((𝑁 − 𝑀) + 𝑀))[(𝑖 − 𝑀) / 𝑗]((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)[(𝑖 − 𝑀) / 𝑗]((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗)))
75		elfzoelz 10339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
76	75	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
77	20	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
78	76, 77	zsubcld 9570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑖 − 𝑀) ∈ ℤ)
79	78	elexd 2813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑖 − 𝑀) ∈ V)
80		sbceqg 3140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 − 𝑀) ∈ V → ([(𝑖 − 𝑀) / 𝑗]((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ⦋(𝑖 − 𝑀) / 𝑗⦌((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ⦋(𝑖 − 𝑀) / 𝑗⦌((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗)))
81		csbfvg 5668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 − 𝑀) ∈ V → ⦋(𝑖 − 𝑀) / 𝑗⦌((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖 − 𝑀)))
82		csbfvg 5668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 − 𝑀) ∈ V → ⦋(𝑖 − 𝑀) / 𝑗⦌((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖 − 𝑀)))
83	81, 82	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 − 𝑀) ∈ V → (⦋(𝑖 − 𝑀) / 𝑗⦌((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ⦋(𝑖 − 𝑀) / 𝑗⦌((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖 − 𝑀)) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖 − 𝑀))))
84	80, 83	bitrd 188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 − 𝑀) ∈ V → ([(𝑖 − 𝑀) / 𝑗]((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖 − 𝑀)) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖 − 𝑀))))
85	79, 84	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ([(𝑖 − 𝑀) / 𝑗]((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖 − 𝑀)) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖 − 𝑀))))
86	41, 50, 51	3jca 1201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)))
87		swrdfv2 11190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖 − 𝑀)) = (𝑊‘𝑖))
88	86, 87	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖 − 𝑀)) = (𝑊‘𝑖))
89		simpl1r 1073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
90		simpl3r 1077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))
91	89, 50, 90	3jca 1201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))
92		swrdfv2 11190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖 − 𝑀)) = (𝑈‘𝑖))
93	91, 92	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖 − 𝑀)) = (𝑈‘𝑖))
94	88, 93	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖 − 𝑀)) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖 − 𝑀)) ↔ (𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
95	85, 94	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ([(𝑖 − 𝑀) / 𝑗]((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ (𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
96	95	ralbidva 2526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)[(𝑖 − 𝑀) / 𝑗]((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
97	74, 96	bitrd 188	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (∀𝑖 ∈ ((0 + 𝑀)..^((𝑁 − 𝑀) + 𝑀))[(𝑖 − 𝑀) / 𝑗]((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
98	55, 64, 97	3bitrd 214	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
99	98	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑀 ≤ 𝑁 → (∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))))
100	40, 99	syld 45	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (¬ 𝑁 ≤ 𝑀 → (∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))))
101	100	impcom 125	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → (∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
102	30, 33, 101	3bitr2d 216	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑁 ≤ 𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
103	102	ancoms 268	. 2 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
104	44	simprd 114	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑁 ∈ ℤ)
105		zdcle 9519	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ≤ 𝑀)
106	104, 61, 105	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → DECID 𝑁 ≤ 𝑀)
107		exmiddc 841	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 ≤ 𝑀 → (𝑁 ≤ 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 ≤ 𝑀))
108	106, 107	syl 14	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑁 ≤ 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 ≤ 𝑀))
109	17, 103, 108	mpjaodan 803	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713  DECID wdc 839   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  Vcvv 2799  [wsbc 3028  ⦋csb 3124  ∅c0 3491  ⟨cop 3669   class class class wbr 4082  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℂcc 7993  ℝcr 7994  0cc0 7995   + caddc 7998   < clt 8177   ≤ cle 8178   − cmin 8313  ℕ₀cn0 9365  ℤcz 9442  ℤ_≥cuz 9718  ..^cfzo 10334  ♯chash 10992  Word cword 11066   substr csubstr 11172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-ihash 10993  df-word 11067  df-substr 11173

This theorem is referenced by:  pfxsuffeqwrdeq  11225