Theorem znfi 14973

Description: The ℤ/nℤ structure is a finite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zntos.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znhash.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znfi	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem znfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9638	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		nnz 9646	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzofig 10852	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0..^𝑁) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	sylancr 418	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) ∈ Fin)
5		nnnn0 9553	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		zntos.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
7		znhash.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
9		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
10	6, 7, 8, 9	znf1o 14969	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→𝐵)
11	5, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→𝐵)
12		nnne0 9315	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
13		ifnefalse 3651	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
14		f1oeq2 5626	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→𝐵 ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐵))
15	12, 13, 14	3syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→𝐵 ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐵))
16	11, 15	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐵)
17		f1oeng 7037	. . . 4 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐵) → (0..^𝑁) ≈ 𝐵)
18	4, 16, 17	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) ≈ 𝐵)
19	18	ensymd 7064	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ≈ (0..^𝑁))
20		enfii 7170	. 2 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ (0..^𝑁)) → 𝐵 ∈ Fin)
21	4, 19, 20	syl2anc 415	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ifcif 3638   class class class wbr 4128   ↾ cres 4774  –1-1-onto→wf1o 5374  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   ≈ cen 7014  Fincfn 7016  0cc0 8173  ℕcn 9287  ℕ₀cn0 9546  ℤcz 9627  ..^cfzo 10532  Basecbs 13335  ℤRHomczrh 14929  ℤ/nℤczn 14931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-addf 8295  ax-mulf 8296

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-tpos 6510  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-map 6918  df-en 7017  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-fl 10688  df-mod 10743  df-seqfrec 10868  df-cj 11590  df-abs 11748  df-dvds 12538  df-struct 13337  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-starv 13429  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-ip 13432  df-tset 13433  df-ple 13434  df-ds 13436  df-unif 13437  df-0g 13595  df-topgen 13597  df-iimas 13607  df-qus 13608  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-mhm 13749  df-grp 13791  df-minusg 13792  df-sbg 13793  df-mulg 13906  df-subg 13956  df-nsg 13957  df-eqg 13958  df-ghm 14027  df-cmn 14072  df-abl 14073  df-mgp 14201  df-rng 14215  df-ur 14246  df-srg 14251  df-ring 14285  df-cring 14286  df-oppr 14356  df-dvdsr 14378  df-rhm 14442  df-subrg 14510  df-lmod 14608  df-lssm 14673  df-lsp 14707  df-sra 14755  df-rgmod 14756  df-lidl 14789  df-rsp 14790  df-2idl 14820  df-bl 14866  df-mopn 14867  df-fg 14869  df-metu 14870  df-cnfld 14877  df-zring 14909  df-zrh 14932  df-zn 14934

This theorem is referenced by:  znhash  14974  znidom  14975  znidomb  14976