Theorem absid 10504

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absid	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 107	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 7516	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		absval 10434	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
5	1	cjred 10405	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∗‘𝐴) = 𝐴)
6	5	oveq2d 5668	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = (𝐴 · 𝐴))
7	2	sqvald 10083	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
8	6, 7	eqtr4d 2123	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = (𝐴↑2))
9	8	fveq2d 5309	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (√‘(𝐴↑2)))
10		sqrtsq 10477	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
11	4, 9, 10	3eqtrd 2124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1289   ∈ wcel 1438   class class class wbr 3845  ‘cfv 5015  (class class class)co 5652  ℂcc 7348  ℝcr 7349  0cc0 7350   · cmul 7355   ≤ cle 7523  2c2 8473  ↑cexp 9954  ∗ccj 10273  √csqrt 10429  abscabs 10430

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955  df-cj 10276  df-re 10277  df-im 10278  df-rsqrt 10431  df-abs 10432

This theorem is referenced by:  abs1  10505  absnid  10506  leabs  10507  qabsor  10508  sqabs  10515  nn0abscl  10518  ltabs  10520  abslt  10521  absle  10522  absidm  10531  abssubge0  10535  fzomaxdiflem  10545  absidi  10559  absidd  10600  geo2lim  10910  geoihalfsum  10916  ege2le3  10961  eirraplem  11064  6gcd4e2  11262  lcmgcdnn  11342  ex-gcd  11658