Theorem ccatw2s1leng 11202

Description: The length of the concatenation of a word with two singleton words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 5-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ccatw2s1leng	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 2))

Proof of Theorem ccatw2s1leng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdv 11116	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ Word V)
2	1	3ad2ant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Word V)
3		simp2 1022	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
4	3	elexd 2814	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ V)
5		ccatws1cl 11196	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word V ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V)
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V)
7		simp3 1023	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
8		ccatws1leng 11198	. . 3 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) + 1))
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) + 1))
10		ccatws1leng 11198	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
11	10	3adant3 1041	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
12	11	oveq1d 6026	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) + 1) = (((♯‘𝑊) + 1) + 1))
13		lencl 11104	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
14		nn0cn 9400	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
15		add1p1 9382	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℂ → (((♯‘𝑊) + 1) + 1) = ((♯‘𝑊) + 2))
16	13, 14, 15	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑊) + 1) + 1) = ((♯‘𝑊) + 2))
17	16	3ad2ant1 1042	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((♯‘𝑊) + 1) + 1) = ((♯‘𝑊) + 2))
18	9, 12, 17	3eqtrd 2266	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800  ‘cfv 5322  (class class class)co 6011  ℂcc 8018  1c1 8021   + caddc 8023  2c2 9182  ℕ₀cn0 9390  ♯chash 11025  Word cword 11100   ++ cconcat 11154  ⟨“cs1 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-nul 4211  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-iinf 4682  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltwlin 8133  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-apti 8135  ax-pre-ltadd 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-tr 4184  df-id 4386  df-iord 4459  df-on 4461  df-ilim 4462  df-suc 4464  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-recs 6464  df-frec 6550  df-1o 6575  df-er 6695  df-en 6903  df-dom 6904  df-fin 6905  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-inn 9132  df-2 9190  df-n0 9391  df-z 9468  df-uz 9744  df-fz 10232  df-fzo 10366  df-ihash 11026  df-word 11101  df-concat 11155  df-s1 11180

This theorem is referenced by:  clwwlknonex2  16224