Theorem lencl 11330

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem lencl

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 11328	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2	1	biimpi 120	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 11300	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
5		simprl 535	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
6	4, 5	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7	2, 6	rexlimddv 2673	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  0cc0 8186  ℕ₀cn0 9575  ..^cfzo 10566  ♯chash 11236  Word cword 11326

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-frec 6667  df-1o 6692  df-er 6812  df-en 7029  df-dom 7030  df-fin 7031  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9655  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327

This theorem is used by:  iswrdsymb  11344  wrdfin  11345  wrdffz  11347  wrdsymb  11354  wrdsymb0  11359  wrdlenge1n0  11360  wrdlenge2n0  11362  wrdsymb1  11363  eqwrd  11367  wrdred1  11369  wrdred1hash  11370  lswwrd  11373  ccatcl  11383  ccatlen  11385  ccat0  11386  ccatval1  11387  ccatval2  11388  ccatval3  11389  elfzelfzccat  11390  ccatvalfn  11391  ccatsymb  11392  ccatfv0  11393  ccatval21sw  11395  ccatlid  11396  ccatrid  11397  ccatass  11398  ccatrn  11399  lswccatn0lsw  11401  ccatalpha  11403  ccatws1lenp1bg  11425  wrdlenccats1lenm1g  11426  ccatw2s1leng  11428  ccats1val2  11430  ccat1st1st  11431  lswccats1  11433  lswccats1fst  11434  ccatw2s1p1g  11435  ccat2s1fvwd  11437  fzowrddc  11441  swrdnd  11453  swrdrlen  11455  swrdlen2  11456  swrdfv2  11457  swrdlsw  11463  swrdccat2  11465  pfxid  11480  pfxn0  11482  pfxwrdsymbg  11484  addlenpfx  11485  pfxtrcfv0  11488  pfxeq  11490  pfxtrcfvl  11491  pfxsuffeqwrdeq  11492  pfxccat1  11496  pfxcctswrd  11504  lenrevpfxcctswrd  11506  ccats1pfxeq  11508  ccats1pfxeqrex  11509  ccatopth2  11511  cats1un  11515  wrdind  11516  wrd2ind  11517  swrdccatin1  11519  swrdccatin2  11523  pfxccatin12lem2  11525  pfxccatin12lem3  11526  pfxccatin12  11527  pfxccat3  11528  swrdccat  11529  pfxccatpfx2  11531  pfxccat3a  11532  swrdccat3blem  11533  swrdccat3b  11534  pfxccatid  11535  ccats1pfxeqbi  11536  cats1fvn  11558  cats1fvnd  11559  cats1fvd  11560  wrdupgren  16575  wrdumgren  16585  vdegp1aid  16793  vdegp1bid  16794  wksfval  16801  wlkex  16804  iswlkg  16808  wlkcl  16811  wlkclg  16812  wlkeq  16833  wlkv0  16848  wlklenvclwlk  16852  clwwlkccatlem  16879  umgrclwwlkge2  16881  isclwwlkn  16892  clwwlknonex2lem2  16917  konigsbergssiedgwen  16965  konigsberglem5  16971