Theorem lencl 11110

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem lencl

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 11108	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2	1	biimpi 120	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 11092	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
5		simprl 529	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
6	4, 5	eqeltrd 2306	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7	2, 6	rexlimddv 2653	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  0cc0 8025  ℕ₀cn0 9395  ..^cfzo 10370  ♯chash 11030  Word cword 11106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-ihash 11031  df-word 11107

This theorem is referenced by:  iswrdsymb  11124  wrdfin  11125  wrdffz  11127  wrdsymb  11134  wrdsymb0  11139  wrdlenge1n0  11140  wrdlenge2n0  11142  wrdsymb1  11143  eqwrd  11147  wrdred1  11149  wrdred1hash  11150  lswwrd  11153  ccatcl  11163  ccatlen  11165  ccat0  11166  ccatval1  11167  ccatval2  11168  ccatval3  11169  elfzelfzccat  11170  ccatvalfn  11171  ccatsymb  11172  ccatfv0  11173  ccatval21sw  11175  ccatlid  11176  ccatrid  11177  ccatass  11178  ccatrn  11179  lswccatn0lsw  11181  ccatalpha  11183  ccatws1lenp1bg  11205  wrdlenccats1lenm1g  11206  ccatw2s1leng  11208  ccats1val2  11210  ccat1st1st  11211  lswccats1  11213  lswccats1fst  11214  ccatw2s1p1g  11215  ccat2s1fvwd  11217  fzowrddc  11221  swrdnd  11233  swrdrlen  11235  swrdlen2  11236  swrdfv2  11237  swrdlsw  11243  swrdccat2  11245  pfxid  11260  pfxn0  11262  pfxwrdsymbg  11264  addlenpfx  11265  pfxtrcfv0  11268  pfxeq  11270  pfxtrcfvl  11271  pfxsuffeqwrdeq  11272  pfxccat1  11276  pfxcctswrd  11284  lenrevpfxcctswrd  11286  ccats1pfxeq  11288  ccats1pfxeqrex  11289  ccatopth2  11291  cats1un  11295  wrdind  11296  wrd2ind  11297  swrdccatin1  11299  swrdccatin2  11303  pfxccatin12lem2  11305  pfxccatin12lem3  11306  pfxccatin12  11307  pfxccat3  11308  swrdccat  11309  pfxccatpfx2  11311  pfxccat3a  11312  swrdccat3blem  11313  swrdccat3b  11314  pfxccatid  11315  ccats1pfxeqbi  11316  cats1fvn  11338  cats1fvnd  11339  cats1fvd  11340  wrdupgren  15940  wrdumgren  15950  vdegp1aid  16125  vdegp1bid  16126  wksfval  16133  wlkex  16136  iswlkg  16140  wlkcl  16143  wlkclg  16144  wlkeq  16165  wlkv0  16180  wlklenvclwlk  16184  clwwlkccatlem  16209  umgrclwwlkge2  16211  isclwwlkn  16222  clwwlknonex2lem2  16247