Theorem lencl 11256

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem lencl

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 11254	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2	1	biimpi 120	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 11230	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
5		simprl 531	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
6	4, 5	eqeltrd 2311	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7	2, 6	rexlimddv 2667	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  0cc0 8143  ℕ₀cn0 9516  ..^cfzo 10501  ♯chash 11166  Word cword 11252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-inn 9258  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-fz 10365  df-fzo 10502  df-ihash 11167  df-word 11253

This theorem is referenced by:  iswrdsymb  11270  wrdfin  11271  wrdffz  11273  wrdsymb  11280  wrdsymb0  11285  wrdlenge1n0  11286  wrdlenge2n0  11288  wrdsymb1  11289  eqwrd  11293  wrdred1  11295  wrdred1hash  11296  lswwrd  11299  ccatcl  11309  ccatlen  11311  ccat0  11312  ccatval1  11313  ccatval2  11314  ccatval3  11315  elfzelfzccat  11316  ccatvalfn  11317  ccatsymb  11318  ccatfv0  11319  ccatval21sw  11321  ccatlid  11322  ccatrid  11323  ccatass  11324  ccatrn  11325  lswccatn0lsw  11327  ccatalpha  11329  ccatws1lenp1bg  11351  wrdlenccats1lenm1g  11352  ccatw2s1leng  11354  ccats1val2  11356  ccat1st1st  11357  lswccats1  11359  lswccats1fst  11360  ccatw2s1p1g  11361  ccat2s1fvwd  11363  fzowrddc  11367  swrdnd  11379  swrdrlen  11381  swrdlen2  11382  swrdfv2  11383  swrdlsw  11389  swrdccat2  11391  pfxid  11406  pfxn0  11408  pfxwrdsymbg  11410  addlenpfx  11411  pfxtrcfv0  11414  pfxeq  11416  pfxtrcfvl  11417  pfxsuffeqwrdeq  11418  pfxccat1  11422  pfxcctswrd  11430  lenrevpfxcctswrd  11432  ccats1pfxeq  11434  ccats1pfxeqrex  11435  ccatopth2  11437  cats1un  11441  wrdind  11442  wrd2ind  11443  swrdccatin1  11445  swrdccatin2  11449  pfxccatin12lem2  11451  pfxccatin12lem3  11452  pfxccatin12  11453  pfxccat3  11454  swrdccat  11455  pfxccatpfx2  11457  pfxccat3a  11458  swrdccat3blem  11459  swrdccat3b  11460  pfxccatid  11461  ccats1pfxeqbi  11462  cats1fvn  11484  cats1fvnd  11485  cats1fvd  11486  wrdupgren  16221  wrdumgren  16231  vdegp1aid  16439  vdegp1bid  16440  wksfval  16447  wlkex  16450  iswlkg  16454  wlkcl  16457  wlkclg  16458  wlkeq  16479  wlkv0  16494  wlklenvclwlk  16498  clwwlkccatlem  16525  umgrclwwlkge2  16527  isclwwlkn  16538  clwwlknonex2lem2  16563  konigsbergssiedgwen  16611  konigsberglem5  16617