Theorem lencl 11324

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem lencl

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 11322	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2	1	biimpi 120	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 11294	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
5		simprl 535	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
6	4, 5	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7	2, 6	rexlimddv 2673	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  0cc0 8180  ℕ₀cn0 9568  ..^cfzo 10560  ♯chash 11230  Word cword 11320

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-ihash 11231  df-word 11321

This theorem is used by:  iswrdsymb  11338  wrdfin  11339  wrdffz  11341  wrdsymb  11348  wrdsymb0  11353  wrdlenge1n0  11354  wrdlenge2n0  11356  wrdsymb1  11357  eqwrd  11361  wrdred1  11363  wrdred1hash  11364  lswwrd  11367  ccatcl  11377  ccatlen  11379  ccat0  11380  ccatval1  11381  ccatval2  11382  ccatval3  11383  elfzelfzccat  11384  ccatvalfn  11385  ccatsymb  11386  ccatfv0  11387  ccatval21sw  11389  ccatlid  11390  ccatrid  11391  ccatass  11392  ccatrn  11393  lswccatn0lsw  11395  ccatalpha  11397  ccatws1lenp1bg  11419  wrdlenccats1lenm1g  11420  ccatw2s1leng  11422  ccats1val2  11424  ccat1st1st  11425  lswccats1  11427  lswccats1fst  11428  ccatw2s1p1g  11429  ccat2s1fvwd  11431  fzowrddc  11435  swrdnd  11447  swrdrlen  11449  swrdlen2  11450  swrdfv2  11451  swrdlsw  11457  swrdccat2  11459  pfxid  11474  pfxn0  11476  pfxwrdsymbg  11478  addlenpfx  11479  pfxtrcfv0  11482  pfxeq  11484  pfxtrcfvl  11485  pfxsuffeqwrdeq  11486  pfxccat1  11490  pfxcctswrd  11498  lenrevpfxcctswrd  11500  ccats1pfxeq  11502  ccats1pfxeqrex  11503  ccatopth2  11505  cats1un  11509  wrdind  11510  wrd2ind  11511  swrdccatin1  11513  swrdccatin2  11517  pfxccatin12lem2  11519  pfxccatin12lem3  11520  pfxccatin12  11521  pfxccat3  11522  swrdccat  11523  pfxccatpfx2  11525  pfxccat3a  11526  swrdccat3blem  11527  swrdccat3b  11528  pfxccatid  11529  ccats1pfxeqbi  11530  cats1fvn  11552  cats1fvnd  11553  cats1fvd  11554  wrdupgren  16508  wrdumgren  16518  vdegp1aid  16726  vdegp1bid  16727  wksfval  16734  wlkex  16737  iswlkg  16741  wlkcl  16744  wlkclg  16745  wlkeq  16766  wlkv0  16781  wlklenvclwlk  16785  clwwlkccatlem  16812  umgrclwwlkge2  16814  isclwwlkn  16825  clwwlknonex2lem2  16850  konigsbergssiedgwen  16898  konigsberglem5  16904