Theorem lencl 11083

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem lencl

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 11081	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2	1	biimpi 120	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 11065	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
5		simprl 529	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
6	4, 5	eqeltrd 2306	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7	2, 6	rexlimddv 2653	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  0cc0 8007  ℕ₀cn0 9377  ..^cfzo 10346  ♯chash 11005  Word cword 11079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-ihash 11006  df-word 11080

This theorem is referenced by:  iswrdsymb  11097  wrdfin  11098  wrdffz  11100  wrdsymb  11107  wrdsymb0  11112  wrdlenge1n0  11113  wrdlenge2n0  11115  wrdsymb1  11116  eqwrd  11120  wrdred1  11122  wrdred1hash  11123  lswwrd  11126  ccatcl  11136  ccatlen  11138  ccat0  11139  ccatval1  11140  ccatval2  11141  ccatval3  11142  elfzelfzccat  11143  ccatvalfn  11144  ccatsymb  11145  ccatfv0  11146  ccatval21sw  11148  ccatlid  11149  ccatrid  11150  ccatass  11151  ccatrn  11152  lswccatn0lsw  11154  ccatws1lenp1bg  11176  ccats1val2  11179  ccat1st1st  11180  lswccats1  11182  lswccats1fst  11183  fzowrddc  11187  swrdnd  11199  swrdrlen  11201  swrdlen2  11202  swrdfv2  11203  swrdlsw  11209  swrdccat2  11211  pfxid  11226  pfxn0  11228  pfxwrdsymbg  11230  addlenpfx  11231  pfxtrcfv0  11234  pfxeq  11236  pfxtrcfvl  11237  pfxsuffeqwrdeq  11238  pfxccat1  11242  pfxcctswrd  11250  lenrevpfxcctswrd  11252  ccats1pfxeq  11254  ccats1pfxeqrex  11255  ccatopth2  11257  cats1un  11261  wrdind  11262  wrd2ind  11263  swrdccatin1  11265  swrdccatin2  11269  pfxccatin12lem2  11271  pfxccatin12lem3  11272  pfxccatin12  11273  pfxccat3  11274  swrdccat  11275  pfxccatpfx2  11277  pfxccat3a  11278  swrdccat3blem  11279  swrdccat3b  11280  pfxccatid  11281  ccats1pfxeqbi  11282  cats1fvn  11304  cats1fvnd  11305  cats1fvd  11306  wrdupgren  15904  wrdumgren  15914  wksfval  16043  wlkex  16046  iswlkg  16050  wlkcl  16053  wlkclg  16054  wlkeq  16075  wlkv0  16090  wlklenvclwlk  16094