Theorem lencl 11164

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem lencl

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 11162	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2	1	biimpi 120	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 11143	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
5		simprl 531	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
6	4, 5	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7	2, 6	rexlimddv 2656	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2512  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  0cc0 8075  ℕ₀cn0 9445  ..^cfzo 10420  ♯chash 11081  Word cword 11160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-ihash 11082  df-word 11161

This theorem is referenced by:  iswrdsymb  11178  wrdfin  11179  wrdffz  11181  wrdsymb  11188  wrdsymb0  11193  wrdlenge1n0  11194  wrdlenge2n0  11196  wrdsymb1  11197  eqwrd  11201  wrdred1  11203  wrdred1hash  11204  lswwrd  11207  ccatcl  11217  ccatlen  11219  ccat0  11220  ccatval1  11221  ccatval2  11222  ccatval3  11223  elfzelfzccat  11224  ccatvalfn  11225  ccatsymb  11226  ccatfv0  11227  ccatval21sw  11229  ccatlid  11230  ccatrid  11231  ccatass  11232  ccatrn  11233  lswccatn0lsw  11235  ccatalpha  11237  ccatws1lenp1bg  11259  wrdlenccats1lenm1g  11260  ccatw2s1leng  11262  ccats1val2  11264  ccat1st1st  11265  lswccats1  11267  lswccats1fst  11268  ccatw2s1p1g  11269  ccat2s1fvwd  11271  fzowrddc  11275  swrdnd  11287  swrdrlen  11289  swrdlen2  11290  swrdfv2  11291  swrdlsw  11297  swrdccat2  11299  pfxid  11314  pfxn0  11316  pfxwrdsymbg  11318  addlenpfx  11319  pfxtrcfv0  11322  pfxeq  11324  pfxtrcfvl  11325  pfxsuffeqwrdeq  11326  pfxccat1  11330  pfxcctswrd  11338  lenrevpfxcctswrd  11340  ccats1pfxeq  11342  ccats1pfxeqrex  11343  ccatopth2  11345  cats1un  11349  wrdind  11350  wrd2ind  11351  swrdccatin1  11353  swrdccatin2  11357  pfxccatin12lem2  11359  pfxccatin12lem3  11360  pfxccatin12  11361  pfxccat3  11362  swrdccat  11363  pfxccatpfx2  11365  pfxccat3a  11366  swrdccat3blem  11367  swrdccat3b  11368  pfxccatid  11369  ccats1pfxeqbi  11370  cats1fvn  11392  cats1fvnd  11393  cats1fvd  11394  wrdupgren  16017  wrdumgren  16027  vdegp1aid  16235  vdegp1bid  16236  wksfval  16243  wlkex  16246  iswlkg  16250  wlkcl  16253  wlkclg  16254  wlkeq  16275  wlkv0  16290  wlklenvclwlk  16294  clwwlkccatlem  16321  umgrclwwlkge2  16323  isclwwlkn  16334  clwwlknonex2lem2  16359  konigsbergssiedgwen  16407  konigsberglem5  16413