Theorem lencl 11121

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem lencl

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 11119	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2	1	biimpi 120	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 11100	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
5		simprl 531	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
6	4, 5	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7	2, 6	rexlimddv 2655	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  0cc0 8032  ℕ₀cn0 9402  ..^cfzo 10377  ♯chash 11038  Word cword 11117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-ihash 11039  df-word 11118

This theorem is referenced by:  iswrdsymb  11135  wrdfin  11136  wrdffz  11138  wrdsymb  11145  wrdsymb0  11150  wrdlenge1n0  11151  wrdlenge2n0  11153  wrdsymb1  11154  eqwrd  11158  wrdred1  11160  wrdred1hash  11161  lswwrd  11164  ccatcl  11174  ccatlen  11176  ccat0  11177  ccatval1  11178  ccatval2  11179  ccatval3  11180  elfzelfzccat  11181  ccatvalfn  11182  ccatsymb  11183  ccatfv0  11184  ccatval21sw  11186  ccatlid  11187  ccatrid  11188  ccatass  11189  ccatrn  11190  lswccatn0lsw  11192  ccatalpha  11194  ccatws1lenp1bg  11216  wrdlenccats1lenm1g  11217  ccatw2s1leng  11219  ccats1val2  11221  ccat1st1st  11222  lswccats1  11224  lswccats1fst  11225  ccatw2s1p1g  11226  ccat2s1fvwd  11228  fzowrddc  11232  swrdnd  11244  swrdrlen  11246  swrdlen2  11247  swrdfv2  11248  swrdlsw  11254  swrdccat2  11256  pfxid  11271  pfxn0  11273  pfxwrdsymbg  11275  addlenpfx  11276  pfxtrcfv0  11279  pfxeq  11281  pfxtrcfvl  11282  pfxsuffeqwrdeq  11283  pfxccat1  11287  pfxcctswrd  11295  lenrevpfxcctswrd  11297  ccats1pfxeq  11299  ccats1pfxeqrex  11300  ccatopth2  11302  cats1un  11306  wrdind  11307  wrd2ind  11308  swrdccatin1  11310  swrdccatin2  11314  pfxccatin12lem2  11316  pfxccatin12lem3  11317  pfxccatin12  11318  pfxccat3  11319  swrdccat  11320  pfxccatpfx2  11322  pfxccat3a  11323  swrdccat3blem  11324  swrdccat3b  11325  pfxccatid  11326  ccats1pfxeqbi  11327  cats1fvn  11349  cats1fvnd  11350  cats1fvd  11351  wrdupgren  15953  wrdumgren  15963  vdegp1aid  16171  vdegp1bid  16172  wksfval  16179  wlkex  16182  iswlkg  16186  wlkcl  16189  wlkclg  16190  wlkeq  16211  wlkv0  16226  wlklenvclwlk  16230  clwwlkccatlem  16257  umgrclwwlkge2  16259  isclwwlkn  16270  clwwlknonex2lem2  16295