Theorem lencl 11310

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem lencl

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 11308	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2	1	biimpi 120	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 11280	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
5		simprl 535	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
6	4, 5	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7	2, 6	rexlimddv 2673	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  0cc0 8179  ℕ₀cn0 9565  ..^cfzo 10551  ♯chash 11216  Word cword 11306

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-ihash 11217  df-word 11307

This theorem is used by:  iswrdsymb  11324  wrdfin  11325  wrdffz  11327  wrdsymb  11334  wrdsymb0  11339  wrdlenge1n0  11340  wrdlenge2n0  11342  wrdsymb1  11343  eqwrd  11347  wrdred1  11349  wrdred1hash  11350  lswwrd  11353  ccatcl  11363  ccatlen  11365  ccat0  11366  ccatval1  11367  ccatval2  11368  ccatval3  11369  elfzelfzccat  11370  ccatvalfn  11371  ccatsymb  11372  ccatfv0  11373  ccatval21sw  11375  ccatlid  11376  ccatrid  11377  ccatass  11378  ccatrn  11379  lswccatn0lsw  11381  ccatalpha  11383  ccatws1lenp1bg  11405  wrdlenccats1lenm1g  11406  ccatw2s1leng  11408  ccats1val2  11410  ccat1st1st  11411  lswccats1  11413  lswccats1fst  11414  ccatw2s1p1g  11415  ccat2s1fvwd  11417  fzowrddc  11421  swrdnd  11433  swrdrlen  11435  swrdlen2  11436  swrdfv2  11437  swrdlsw  11443  swrdccat2  11445  pfxid  11460  pfxn0  11462  pfxwrdsymbg  11464  addlenpfx  11465  pfxtrcfv0  11468  pfxeq  11470  pfxtrcfvl  11471  pfxsuffeqwrdeq  11472  pfxccat1  11476  pfxcctswrd  11484  lenrevpfxcctswrd  11486  ccats1pfxeq  11488  ccats1pfxeqrex  11489  ccatopth2  11491  cats1un  11495  wrdind  11496  wrd2ind  11497  swrdccatin1  11499  swrdccatin2  11503  pfxccatin12lem2  11505  pfxccatin12lem3  11506  pfxccatin12  11507  pfxccat3  11508  swrdccat  11509  pfxccatpfx2  11511  pfxccat3a  11512  swrdccat3blem  11513  swrdccat3b  11514  pfxccatid  11515  ccats1pfxeqbi  11516  cats1fvn  11538  cats1fvnd  11539  cats1fvd  11540  wrdupgren  16349  wrdumgren  16359  vdegp1aid  16567  vdegp1bid  16568  wksfval  16575  wlkex  16578  iswlkg  16582  wlkcl  16585  wlkclg  16586  wlkeq  16607  wlkv0  16622  wlklenvclwlk  16626  clwwlkccatlem  16653  umgrclwwlkge2  16655  isclwwlkn  16666  clwwlknonex2lem2  16691  konigsbergssiedgwen  16739  konigsberglem5  16745