Theorem ccatws1lenp1bg 11323

Description: The length of a word is 𝑁 iff the length of the concatenation of the word with a singleton word is 𝑁 + 1. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ccatws1lenp1bg	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 𝑁))

Proof of Theorem ccatws1lenp1bg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatws1leng 11322	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑌) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
2	1	3adant3 1044	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
3	2	eqeq1d 2241	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ↔ ((♯‘𝑊) + 1) = (𝑁 + 1)))
4		lencl 11228	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5	4	nn0cnd 9555	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
7		nn0cn 9506	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
8	7	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
9		1cnd 8290	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
10	6, 8, 9	addcan2d 8458	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((♯‘𝑊) + 1) = (𝑁 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 𝑁))
11	10	3adant2 1043	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((♯‘𝑊) + 1) = (𝑁 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 𝑁))
12	3, 11	bitrd 188	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑁 + 1) ↔ (♯‘𝑊) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  1c1 8128   + caddc 8130  ℕ₀cn0 9496  ♯chash 11138  Word cword 11224   ++ cconcat 11278  ⟨“cs1 11303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-ihash 11139  df-word 11225  df-concat 11279  df-s1 11304

This theorem is referenced by: (None)