Theorem znq 9956

Description: The ratio of an integer and a positive integer is a rational number. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
znq	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)

Proof of Theorem znq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . 3 ⊢ (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 / 𝐵)
2		rspceov 6093	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 / 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐴 / 𝐵) = (𝑥 / 𝑦))
3	1, 2	mp3an3 1363	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐴 / 𝐵) = (𝑥 / 𝑦))
4		elq 9954	. 2 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐴 / 𝐵) = (𝑥 / 𝑦))
5	3, 4	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∃wrex 2521  (class class class)co 6050   / cdiv 8946  ℕcn 9237  ℤcz 9577  ℚcq 9951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-z 9578  df-q 9952

This theorem is referenced by:  qnegcl  9968  qreccl  9974  nnrecq  9977  elpqb  9982  qbtwnre  10616  adddivflid  10652  fldivnn0  10655  divfl0  10656  flhalf  10662  fldivnn0le  10663  flltdivnn0lt  10664  fldiv4p1lem1div2  10665  fldiv4lem1div2uz2  10666  fldiv4lem1div2  10667  intfracq  10682  flqdiv  10683  zmodcl  10706  iexpcyc  11006  facavg  11108  bcval  11111  eirraplem  12463  dvdsmod  12548  divalglemnn  12604  divalgmod  12613  flodddiv4  12622  flodddiv4t2lthalf  12625  bitsdc  12633  bitsp1  12637  bitsp1o  12639  bitsfzolem  12640  bitsfzo  12641  bitsmod  12642  bitscmp  12644  bitsinv1lem  12647  modgcd  12687  qredeu  12794  sqrt2irraplemnn  12876  sqrt2irrap  12877  divnumden  12893  hashdvds  12918  prmdiv  12932  phisum  12938  odzdvds  12943  pcdiv  13000  pcaddlem  13037  pcmptdvds  13043  fldivp1  13046  pcfaclem  13047  pcfac  13048  pcbc  13049  4sqlem5  13080  4sqlem6  13081  4sqlem10  13085  mulgmodid  13878  logbgcd1irraplemap  15834  gausslemma2dlem0d  15925  gausslemma2dlem1a  15931  gausslemma2dlem1cl  15932  gausslemma2dlem1f1o  15933  gausslemma2dlem3  15936  gausslemma2dlem4  15937  gausslemma2dlem5a  15938  gausslemma2dlem5  15939  gausslemma2dlem6  15940  lgseisenlem2  15944  lgseisenlem4  15946  lgseisen  15947  lgsquadlem1  15950  lgsquadlem2  15951  2lgslem1a2  15960  2lgslem1  15964  2lgslem2  15965  ex-fl  16493  ex-ceil  16494