Theorem znq 9857

Description: The ratio of an integer and a positive integer is a rational number. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
znq	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)

Proof of Theorem znq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 ⊢ (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 / 𝐵)
2		rspceov 6060	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 / 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐴 / 𝐵) = (𝑥 / 𝑦))
3	1, 2	mp3an3 1362	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐴 / 𝐵) = (𝑥 / 𝑦))
4		elq 9855	. 2 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐴 / 𝐵) = (𝑥 / 𝑦))
5	3, 4	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511  (class class class)co 6017   / cdiv 8851  ℕcn 9142  ℤcz 9478  ℚcq 9852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-z 9479  df-q 9853

This theorem is referenced by:  qnegcl  9869  qreccl  9875  nnrecq  9878  elpqb  9883  qbtwnre  10515  adddivflid  10551  fldivnn0  10554  divfl0  10555  flhalf  10561  fldivnn0le  10562  flltdivnn0lt  10563  fldiv4p1lem1div2  10564  fldiv4lem1div2uz2  10565  fldiv4lem1div2  10566  intfracq  10581  flqdiv  10582  zmodcl  10605  iexpcyc  10905  facavg  11007  bcval  11010  eirraplem  12337  dvdsmod  12422  divalglemnn  12478  divalgmod  12487  flodddiv4  12496  flodddiv4t2lthalf  12499  bitsdc  12507  bitsp1  12511  bitsp1o  12513  bitsfzolem  12514  bitsfzo  12515  bitsmod  12516  bitscmp  12518  bitsinv1lem  12521  modgcd  12561  qredeu  12668  sqrt2irraplemnn  12750  sqrt2irrap  12751  divnumden  12767  hashdvds  12792  prmdiv  12806  phisum  12812  odzdvds  12817  pcdiv  12874  pcaddlem  12911  pcmptdvds  12917  fldivp1  12920  pcfaclem  12921  pcfac  12922  pcbc  12923  4sqlem5  12954  4sqlem6  12955  4sqlem10  12959  mulgmodid  13747  logbgcd1irraplemap  15692  gausslemma2dlem0d  15780  gausslemma2dlem1a  15786  gausslemma2dlem1cl  15787  gausslemma2dlem1f1o  15788  gausslemma2dlem3  15791  gausslemma2dlem4  15792  gausslemma2dlem5a  15793  gausslemma2dlem5  15794  gausslemma2dlem6  15795  lgseisenlem2  15799  lgseisenlem4  15801  lgseisen  15802  lgsquadlem1  15805  lgsquadlem2  15806  2lgslem1a2  15815  2lgslem1  15819  2lgslem2  15820  ex-fl  16321  ex-ceil  16322