Theorem znq 9692

Description: The ratio of an integer and a positive integer is a rational number. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
znq	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)

Proof of Theorem znq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . 3 ⊢ (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 / 𝐵)
2		rspceov 5961	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 / 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐴 / 𝐵) = (𝑥 / 𝑦))
3	1, 2	mp3an3 1337	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐴 / 𝐵) = (𝑥 / 𝑦))
4		elq 9690	. 2 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐴 / 𝐵) = (𝑥 / 𝑦))
5	3, 4	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473  (class class class)co 5919   / cdiv 8693  ℕcn 8984  ℤcz 9320  ℚcq 9687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-z 9321  df-q 9688

This theorem is referenced by:  qnegcl  9704  qreccl  9710  nnrecq  9713  elpqb  9718  qbtwnre  10328  adddivflid  10364  fldivnn0  10367  divfl0  10368  flhalf  10374  fldivnn0le  10375  flltdivnn0lt  10376  fldiv4p1lem1div2  10377  fldiv4lem1div2uz2  10378  fldiv4lem1div2  10379  intfracq  10394  flqdiv  10395  zmodcl  10418  iexpcyc  10718  facavg  10820  bcval  10823  eirraplem  11923  dvdsmod  12007  divalglemnn  12062  divalgmod  12071  flodddiv4  12078  flodddiv4t2lthalf  12081  modgcd  12131  qredeu  12238  sqrt2irraplemnn  12320  sqrt2irrap  12321  divnumden  12337  hashdvds  12362  prmdiv  12376  phisum  12381  odzdvds  12386  pcdiv  12443  pcaddlem  12480  pcmptdvds  12486  fldivp1  12489  pcfaclem  12490  pcfac  12491  pcbc  12492  4sqlem5  12523  4sqlem6  12524  4sqlem10  12528  mulgmodid  13234  logbgcd1irraplemap  15142  gausslemma2dlem0d  15209  gausslemma2dlem1a  15215  gausslemma2dlem1cl  15216  gausslemma2dlem1f1o  15217  gausslemma2dlem3  15220  gausslemma2dlem4  15221  gausslemma2dlem5a  15222  gausslemma2dlem5  15223  gausslemma2dlem6  15224  lgseisenlem2  15228  lgseisenlem4  15230  lgseisen  15231  lgsquadlem1  15234  lgsquadlem2  15235  2lgslem1a2  15244  2lgslem1  15248  2lgslem2  15249  ex-fl  15287  ex-ceil  15288