Theorem irrmulap 9887

Description: The product of an irrational with a nonzero rational is irrational. By irrational we mean apart from any rational number. For a similar theorem with not rational in place of irrational, see irrmul 9886. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irrmulap.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
irrmulap.aq	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)
irrmulap.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
irrmulap.b0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
irrmulap.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℚ)

Assertion

Ref	Expression
irrmulap	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) # 𝑄)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐵,𝑞   𝑄,𝑞

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑞)

Proof of Theorem irrmulap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4093	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝑄 / 𝐵) → (𝐴 # 𝑞 ↔ 𝐴 # (𝑄 / 𝐵)))
2		irrmulap.aq	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)
3		irrmulap.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℚ)
4		irrmulap.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
5		irrmulap.b0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
6		qdivcl 9882	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑄 / 𝐵) ∈ ℚ)
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 𝐵) ∈ ℚ)
8	1, 2, 7	rspcdva 2914	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # (𝑄 / 𝐵))
9		qcn 9873	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 / 𝐵) ∈ ℚ → (𝑄 / 𝐵) ∈ ℂ)
10	7, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 𝐵) ∈ ℂ)
11		irrmulap.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	recnd 8213	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13		apsym 8791	. . . 4 ⊢ (((𝑄 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑄 / 𝐵) # 𝐴 ↔ 𝐴 # (𝑄 / 𝐵)))
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 / 𝐵) # 𝐴 ↔ 𝐴 # (𝑄 / 𝐵)))
15	8, 14	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 𝐵) # 𝐴)
16		qcn 9873	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 ∈ ℂ)
17	3, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
18		qcn 9873	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
19	4, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
20		0z 9495	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
21		zq 9865	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℚ
23		qapne 9878	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
24	4, 22, 23	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
25	5, 24	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
26	17, 19, 12, 25	apdivmuld 8998	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 / 𝐵) # 𝐴 ↔ (𝐵 · 𝐴) # 𝑄))
27	19, 12	mulcomd 8206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
28	27	breq1d 4099	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) # 𝑄 ↔ (𝐴 · 𝐵) # 𝑄))
29	26, 28	bitrd 188	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 / 𝐵) # 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) # 𝑄))
30	15, 29	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) # 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2201   ≠ wne 2401  ∀wral 2509   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023  ℂcc 8035  ℝcr 8036  0cc0 8037   · cmul 8042   # cap 8766   / cdiv 8857  ℤcz 9484  ℚcq 9858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-n0 9408  df-z 9485  df-q 9859

This theorem is referenced by: (None)