Theorem irrmulap 9739

Description: The product of an irrational with a nonzero rational is irrational. By irrational we mean apart from any rational number. For a similar theorem with not rational in place of irrational, see irrmul 9738. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irrmulap.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
irrmulap.aq	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)
irrmulap.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
irrmulap.b0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
irrmulap.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℚ)

Assertion

Ref	Expression
irrmulap	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) # 𝑄)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐵,𝑞   𝑄,𝑞

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑞)

Proof of Theorem irrmulap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4038	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝑄 / 𝐵) → (𝐴 # 𝑞 ↔ 𝐴 # (𝑄 / 𝐵)))
2		irrmulap.aq	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)
3		irrmulap.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℚ)
4		irrmulap.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
5		irrmulap.b0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
6		qdivcl 9734	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑄 / 𝐵) ∈ ℚ)
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 𝐵) ∈ ℚ)
8	1, 2, 7	rspcdva 2873	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # (𝑄 / 𝐵))
9		qcn 9725	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 / 𝐵) ∈ ℚ → (𝑄 / 𝐵) ∈ ℂ)
10	7, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 𝐵) ∈ ℂ)
11		irrmulap.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	recnd 8072	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13		apsym 8650	. . . 4 ⊢ (((𝑄 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑄 / 𝐵) # 𝐴 ↔ 𝐴 # (𝑄 / 𝐵)))
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 / 𝐵) # 𝐴 ↔ 𝐴 # (𝑄 / 𝐵)))
15	8, 14	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 𝐵) # 𝐴)
16		qcn 9725	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 ∈ ℂ)
17	3, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
18		qcn 9725	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
19	4, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
20		0z 9354	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
21		zq 9717	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℚ
23		qapne 9730	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
24	4, 22, 23	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
25	5, 24	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
26	17, 19, 12, 25	apdivmuld 8857	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 / 𝐵) # 𝐴 ↔ (𝐵 · 𝐴) # 𝑄))
27	19, 12	mulcomd 8065	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
28	27	breq1d 4044	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) # 𝑄 ↔ (𝐴 · 𝐵) # 𝑄))
29	26, 28	bitrd 188	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 / 𝐵) # 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) # 𝑄))
30	15, 29	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) # 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∀wral 2475   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  ℝcr 7895  0cc0 7896   · cmul 7901   # cap 8625   / cdiv 8716  ℤcz 9343  ℚcq 9710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-q 9711

This theorem is referenced by: (None)