Theorem irrmulap 9926

Description: The product of an irrational with a nonzero rational is irrational. By irrational we mean apart from any rational number. For a similar theorem with not rational in place of irrational, see irrmul 9925. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irrmulap.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
irrmulap.aq	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)
irrmulap.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
irrmulap.b0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
irrmulap.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℚ)

Assertion

Ref	Expression
irrmulap	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) # 𝑄)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐵,𝑞   𝑄,𝑞

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑞)

Proof of Theorem irrmulap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4097	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝑄 / 𝐵) → (𝐴 # 𝑞 ↔ 𝐴 # (𝑄 / 𝐵)))
2		irrmulap.aq	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)
3		irrmulap.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℚ)
4		irrmulap.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
5		irrmulap.b0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
6		qdivcl 9921	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑄 / 𝐵) ∈ ℚ)
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 𝐵) ∈ ℚ)
8	1, 2, 7	rspcdva 2916	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # (𝑄 / 𝐵))
9		qcn 9912	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 / 𝐵) ∈ ℚ → (𝑄 / 𝐵) ∈ ℂ)
10	7, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 𝐵) ∈ ℂ)
11		irrmulap.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	recnd 8250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13		apsym 8828	. . . 4 ⊢ (((𝑄 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑄 / 𝐵) # 𝐴 ↔ 𝐴 # (𝑄 / 𝐵)))
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 / 𝐵) # 𝐴 ↔ 𝐴 # (𝑄 / 𝐵)))
15	8, 14	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 𝐵) # 𝐴)
16		qcn 9912	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 ∈ ℂ)
17	3, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
18		qcn 9912	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
19	4, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
20		0z 9534	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
21		zq 9904	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℚ
23		qapne 9917	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
24	4, 22, 23	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
25	5, 24	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
26	17, 19, 12, 25	apdivmuld 9035	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 / 𝐵) # 𝐴 ↔ (𝐵 · 𝐴) # 𝑄))
27	19, 12	mulcomd 8243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
28	27	breq1d 4103	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) # 𝑄 ↔ (𝐴 · 𝐵) # 𝑄))
29	26, 28	bitrd 188	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 / 𝐵) # 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) # 𝑄))
30	15, 29	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) # 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  ∀wral 2511   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  ℝcr 8074  0cc0 8075   · cmul 8080   # cap 8803   / cdiv 8894  ℤcz 9523  ℚcq 9897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-q 9898

This theorem is referenced by: (None)