Theorem irrmulap 9776

Description: The product of an irrational with a nonzero rational is irrational. By irrational we mean apart from any rational number. For a similar theorem with not rational in place of irrational, see irrmul 9775. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irrmulap.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
irrmulap.aq	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)
irrmulap.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
irrmulap.b0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
irrmulap.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℚ)

Assertion

Ref	Expression
irrmulap	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) # 𝑄)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐵,𝑞   𝑄,𝑞

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑞)

Proof of Theorem irrmulap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4051	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝑄 / 𝐵) → (𝐴 # 𝑞 ↔ 𝐴 # (𝑄 / 𝐵)))
2		irrmulap.aq	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℚ 𝐴 # 𝑞)
3		irrmulap.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℚ)
4		irrmulap.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
5		irrmulap.b0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
6		qdivcl 9771	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑄 / 𝐵) ∈ ℚ)
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 𝐵) ∈ ℚ)
8	1, 2, 7	rspcdva 2883	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # (𝑄 / 𝐵))
9		qcn 9762	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 / 𝐵) ∈ ℚ → (𝑄 / 𝐵) ∈ ℂ)
10	7, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 𝐵) ∈ ℂ)
11		irrmulap.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	recnd 8108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13		apsym 8686	. . . 4 ⊢ (((𝑄 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑄 / 𝐵) # 𝐴 ↔ 𝐴 # (𝑄 / 𝐵)))
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 / 𝐵) # 𝐴 ↔ 𝐴 # (𝑄 / 𝐵)))
15	8, 14	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 𝐵) # 𝐴)
16		qcn 9762	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 ∈ ℂ)
17	3, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
18		qcn 9762	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
19	4, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
20		0z 9390	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
21		zq 9754	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℚ
23		qapne 9767	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
24	4, 22, 23	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 # 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
25	5, 24	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
26	17, 19, 12, 25	apdivmuld 8893	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 / 𝐵) # 𝐴 ↔ (𝐵 · 𝐴) # 𝑄))
27	19, 12	mulcomd 8101	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
28	27	breq1d 4057	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) # 𝑄 ↔ (𝐴 · 𝐵) # 𝑄))
29	26, 28	bitrd 188	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 / 𝐵) # 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) # 𝑄))
30	15, 29	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) # 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  ∀wral 2485   class class class wbr 4047  (class class class)co 5951  ℂcc 7930  ℝcr 7931  0cc0 7932   · cmul 7937   # cap 8661   / cdiv 8752  ℤcz 9379  ℚcq 9747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-n0 9303  df-z 9380  df-q 9748

This theorem is referenced by: (None)