Theorem lswccats1 11269

Description: The last symbol of a word concatenated with a singleton word is the symbol of the singleton word. (Contributed by AV, 6-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lswccats1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)) = 𝑆)

Proof of Theorem lswccats1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatws1cl 11258	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩) ∈ Word 𝑉)
2		lswwrd 11209	. . 3 ⊢ ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩) ∈ Word 𝑉 → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)) − 1)))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)) − 1)))
4		lencl 11166	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
6	5	nn0cnd 9501	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
7		1cnd 8238	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → 1 ∈ ℂ)
8		ccatws1leng 11260	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
9	6, 7, 8	mvrraddd 8587	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)) − 1) = (♯‘𝑊))
10	9	fveq2d 5652	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)) − 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘(♯‘𝑊)))
11		ccatws1ls 11268	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑆)
12	3, 10, 11	3eqtrd 2268	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  1c1 8076   − cmin 8392  ℕ₀cn0 9444  ♯chash 11083  Word cword 11162  lastSclsw 11207   ++ cconcat 11216  ⟨“cs1 11241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-ihash 11084  df-word 11163  df-lsw 11208  df-concat 11217  df-s1 11242

This theorem is referenced by:  lswccats1fst  11270  clwwlkext2edg  16346  clwwlknonex2  16363