Theorem lswwrd 11062

Description: Extract the last symbol of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lswwrd	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Proof of Theorem lswwrd

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lsw 11061	. 2 ⊢ lastS = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))
2		id 19	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
3		fveq2 5589	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
4	3	oveq1d 5972	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
5	2, 4	fveq12d 5596	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
6		elex 2785	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
7		lencl 11020	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 9513	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
9		peano2zm 9430	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
11		fvexg 5608	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V)
12	10, 11	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V)
13	1, 5, 6, 12	fvmptd3 5686	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  1c1 7946   − cmin 8263  ℤcz 9392  ♯chash 10942  Word cword 11016  lastSclsw 11060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-1o 6515  df-er 6633  df-en 6841  df-dom 6842  df-fin 6843  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-fz 10151  df-fzo 10285  df-ihash 10943  df-word 11017  df-lsw 11061

This theorem is referenced by:  lsw0  11063  lsw1  11065  lswcl  11066  ccatval1lsw  11083  lswccatn0lsw  11090  lswccats1  11118  swrdlsw  11145  pfxfvlsw  11171