Theorem lswwrd 11015

Description: Extract the last symbol of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lswwrd	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Proof of Theorem lswwrd

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lsw 11014	. 2 ⊢ lastS = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))
2		id 19	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
3		fveq2 5570	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
4	3	oveq1d 5949	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
5	2, 4	fveq12d 5577	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
6		elex 2782	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
7		lencl 10973	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 9475	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
9		peano2zm 9392	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
11		fvexg 5589	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V)
12	10, 11	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V)
13	1, 5, 6, 12	fvmptd3 5667	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  1c1 7908   − cmin 8225  ℤcz 9354  ♯chash 10901  Word cword 10969  lastSclsw 11013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-frec 6467  df-1o 6492  df-er 6610  df-en 6818  df-dom 6819  df-fin 6820  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-inn 9019  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-fz 10113  df-fzo 10247  df-ihash 10902  df-word 10970  df-lsw 11014

This theorem is referenced by:  lsw0  11016  lsw1  11018  lswcl  11019  ccatval1lsw  11035  lswccatn0lsw  11042