Theorem modqlt 10476

Description: The modulo operation is less than its second argument. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)

Proof of Theorem modqlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qcn 9754	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant1 1020	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		qcn 9754	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant2 1021	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		qre 9745	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant2 1021	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		simp3 1001	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
8	6, 7	gt0ap0d 8701	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 # 0)
9	2, 4, 8	divcanap2d 8864	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
10	9	oveq1d 5958	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
11	7	gt0ne0d 8584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
12		qdivcl 9763	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
13	11, 12	syld3an3 1294	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
14		qcn 9754	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
15	13, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
16	13	flqcld 10418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
17	16	zcnd 9495	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
18	4, 15, 17	subdid 8485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 · ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = ((𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
19		modqval 10467	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
20	10, 18, 19	3eqtr4rd 2248	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐵 · ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
21		qfraclt1 10421	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
22	13, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
23	4, 8	dividapd 8858	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
24	22, 23	breqtrrd 4071	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < (𝐵 / 𝐵))
25		qre 9745	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
26	13, 25	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
27	16	zred 9494	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
28	26, 27	resubcld 8452	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℝ)
29		ltmuldiv2 8947	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) < 𝐵 ↔ ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < (𝐵 / 𝐵)))
30	28, 6, 6, 7, 29	syl112anc 1253	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐵 · ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) < 𝐵 ↔ ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < (𝐵 / 𝐵)))
31	24, 30	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 · ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) < 𝐵)
32	20, 31	eqbrtrd 4065	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375   class class class wbr 4043  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  ℂcc 7922  ℝcr 7923  0cc0 7924  1c1 7925   · cmul 7929   < clt 8106   − cmin 8242   / cdiv 8744  ℚcq 9739  ⌊cfl 10409   mod cmo 10465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-n0 9295  df-z 9372  df-q 9740  df-rp 9775  df-fl 10411  df-mod 10466

This theorem is referenced by:  modqelico  10477  zmodfz  10489  modqid2  10494  modqabs  10500  modqmuladdim  10510  modaddmodup  10530  modqsubdir  10536  divalglemnn  12200  divalgmod  12209  bitsmod  12238  bitsinv1lem  12243  bezoutlemnewy  12288  bezoutlemstep  12289  eucalglt  12350  odzdvds  12539  fldivp1  12642  4sqlem6  12677  4sqlem12  12696  lgseisenlem1  15518