Theorem modqadd2mod 10391

Description: The sum of a number modulo a modulus and another number equals the sum of the two numbers modulo the modulus. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqadd2mod	⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀))

Proof of Theorem modqadd2mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qcn 9651	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
2	1	ad2antlr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℚ)
4		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℚ)
5		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 < 𝑀)
6	3, 4, 5	modqcld 10345	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ)
7		qcn 9651	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
8	6, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
9	2, 8	addcomd 8125	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) = ((𝐴 mod 𝑀) + 𝐵))
10	9	oveq1d 5905	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = (((𝐴 mod 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀))
11		modqaddmod 10380	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑀))
12		qcn 9651	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
13	3, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13, 2	addcomd 8125	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
15	14	oveq1d 5905	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑀) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀))
16	10, 11, 15	3eqtrd 2225	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1363   ∈ wcel 2159   class class class wbr 4017  (class class class)co 5890  ℂcc 7826  0cc0 7828   + caddc 7831   < clt 8009  ℚcq 9636   mod cmo 10339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-pre-mulext 7946  ax-arch 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-div 8647  df-inn 8937  df-n0 9194  df-z 9271  df-q 9637  df-rp 9671  df-fl 10287  df-mod 10340

This theorem is referenced by:  modaddmodup  10404  modaddmodlo  10405  modprm0  12271