Theorem modqm1p1mod0 10761

Description: If a number modulo a modulus equals the modulus decreased by 1, the first number increased by 1 modulo the modulus equals 0. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqm1p1mod0	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 0))

Proof of Theorem modqm1p1mod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1027	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2		1z 9620	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		zq 9976	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
4	2, 3	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℚ)
5		simp2 1025	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℚ)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℚ)
7		simpl3 1029	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → 0 < 𝑀)
8		modqaddmod 10749	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
9	1, 4, 6, 7, 8	syl22anc 1275	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
10		oveq1 6065	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1) → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
11	10	oveq1d 6073	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (((𝑀 − 1) + 1) mod 𝑀))
12	11	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (((𝑀 − 1) + 1) mod 𝑀))
13		qcn 9984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℂ)
14	5, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
15	14	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℂ)
16		npcan1 8668	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
18	17	oveq1d 6073	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → (((𝑀 − 1) + 1) mod 𝑀) = (𝑀 mod 𝑀))
19		modqid0 10736	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (𝑀 mod 𝑀) = 0)
20	6, 7, 19	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → (𝑀 mod 𝑀) = 0)
21	12, 18, 20	3eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = 0)
22	9, 21	eqtr3d 2269	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 0)
23	22	ex 115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   − cmin 8460  ℤcz 9594  ℚcq 9969   mod cmo 10708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-q 9970  df-rp 10005  df-fl 10654  df-mod 10709

This theorem is referenced by: (None)