Theorem modqm1p1mod0 10252

Description: If a number modulo a modulus equals the modulus decreased by 1, the first number increased by 1 modulo the modulus equals 0. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqm1p1mod0	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 0))

Proof of Theorem modqm1p1mod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 985	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2		1z 9172	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		zq 9513	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
4	2, 3	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℚ)
5		simp2 983	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℚ)
6	5	adantr 274	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℚ)
7		simpl3 987	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → 0 < 𝑀)
8		modqaddmod 10240	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
9	1, 4, 6, 7, 8	syl22anc 1218	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
10		oveq1 5821	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1) → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
11	10	oveq1d 5829	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (((𝑀 − 1) + 1) mod 𝑀))
12	11	adantl 275	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (((𝑀 − 1) + 1) mod 𝑀))
13		qcn 9521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℂ)
14	5, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
15	14	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℂ)
16		npcan1 8232	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
18	17	oveq1d 5829	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → (((𝑀 − 1) + 1) mod 𝑀) = (𝑀 mod 𝑀))
19		modqid0 10227	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (𝑀 mod 𝑀) = 0)
20	6, 7, 19	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → (𝑀 mod 𝑀) = 0)
21	12, 18, 20	3eqtrd 2191	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = 0)
22	9, 21	eqtr3d 2189	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 0)
23	22	ex 114	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 2125   class class class wbr 3961  (class class class)co 5814  ℂcc 7709  0cc0 7711  1c1 7712   + caddc 7714   < clt 7891   − cmin 8025  ℤcz 9146  ℚcq 9506   mod cmo 10199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-n0 9070  df-z 9147  df-q 9507  df-rp 9539  df-fl 10147  df-mod 10200

This theorem is referenced by: (None)