ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqm1p1mod0 GIF version

Theorem modqm1p1mod0 10088
Description: If a number modulo a modulus equals the modulus decreased by 1, the first number increased by 1 modulo the modulus equals 0. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqm1p1mod0 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 0))

Proof of Theorem modqm1p1mod0
StepHypRef Expression
1 simpl1 967 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2 1z 9031 . . . . 5 1 ∈ ℤ
3 zq 9367 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
42, 3mp1i 10 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℚ)
5 simp2 965 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℚ)
65adantr 272 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℚ)
7 simpl3 969 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → 0 < 𝑀)
8 modqaddmod 10076 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
91, 4, 6, 7, 8syl22anc 1200 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
10 oveq1 5747 . . . . . 6 ((𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1) → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
1110oveq1d 5755 . . . . 5 ((𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (((𝑀 − 1) + 1) mod 𝑀))
1211adantl 273 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (((𝑀 − 1) + 1) mod 𝑀))
13 qcn 9375 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℂ)
145, 13syl 14 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
1514adantr 272 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℂ)
16 npcan1 8104 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
1715, 16syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
1817oveq1d 5755 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → (((𝑀 − 1) + 1) mod 𝑀) = (𝑀 mod 𝑀))
19 modqid0 10063 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (𝑀 mod 𝑀) = 0)
206, 7, 19syl2anc 406 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → (𝑀 mod 𝑀) = 0)
2112, 18, 203eqtrd 2152 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = 0)
229, 21eqtr3d 2150 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 0)
2322ex 114 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740  cc 7582  0cc0 7584  1c1 7585   + caddc 7587   < clt 7764  cmin 7897  cz 9005  cq 9360   mod cmo 10035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-q 9361  df-rp 9391  df-fl 9983  df-mod 10036
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator