ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqm1p1mod0 GIF version

Theorem modqm1p1mod0 9671
Description: If a number modulo a modulus equals the modulus decreased by 1, the first number increased by 1 modulo the modulus equals 0. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqm1p1mod0 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 0))

Proof of Theorem modqm1p1mod0
StepHypRef Expression
1 simpl1 942 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2 1z 8672 . . . . 5 1 ∈ ℤ
3 zq 9006 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
42, 3mp1i 10 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℚ)
5 simp2 940 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℚ)
65adantr 270 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℚ)
7 simpl3 944 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → 0 < 𝑀)
8 modqaddmod 9659 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
91, 4, 6, 7, 8syl22anc 1171 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
10 oveq1 5598 . . . . . 6 ((𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1) → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
1110oveq1d 5606 . . . . 5 ((𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (((𝑀 − 1) + 1) mod 𝑀))
1211adantl 271 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (((𝑀 − 1) + 1) mod 𝑀))
13 qcn 9014 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℚ → 𝑀 ∈ ℂ)
145, 13syl 14 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
1514adantr 270 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℂ)
16 npcan1 7759 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
1715, 16syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
1817oveq1d 5606 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → (((𝑀 − 1) + 1) mod 𝑀) = (𝑀 mod 𝑀))
19 modqid0 9646 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (𝑀 mod 𝑀) = 0)
206, 7, 19syl2anc 403 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → (𝑀 mod 𝑀) = 0)
2112, 18, 203eqtrd 2119 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = 0)
229, 21eqtr3d 2117 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1)) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 0)
2322ex 113 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝑀 − 1) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3811  (class class class)co 5591  cc 7251  0cc0 7253  1c1 7254   + caddc 7256   < clt 7425  cmin 7556  cz 8646  cq 8999   mod cmo 9618
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366  ax-arch 7367
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647  df-q 9000  df-rp 9030  df-fl 9566  df-mod 9619
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator