Theorem modqeqmodmin 10389

Description: A rational number equals the difference of the rational number and a modulus modulo the modulus. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqeqmodmin	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (𝐴 mod 𝑀) = ((𝐴 − 𝑀) mod 𝑀))

Proof of Theorem modqeqmodmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqid0 10345	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (𝑀 mod 𝑀) = 0)
2	1	3adant1 1015	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (𝑀 mod 𝑀) = 0)
3		modqge0 10327	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝑀))
4	2, 3	eqbrtrd 4024	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (𝑀 mod 𝑀) ≤ (𝐴 mod 𝑀))
5		simp1 997	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℚ)
6		simp2 998	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℚ)
7		simp3 999	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
8		modqsubdir 10388	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝑀 mod 𝑀) ≤ (𝐴 mod 𝑀) ↔ ((𝐴 − 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) − (𝑀 mod 𝑀))))
9	5, 6, 6, 7, 8	syl22anc 1239	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝑀 mod 𝑀) ≤ (𝐴 mod 𝑀) ↔ ((𝐴 − 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) − (𝑀 mod 𝑀))))
10	4, 9	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 − 𝑀) mod 𝑀) = ((𝐴 mod 𝑀) − (𝑀 mod 𝑀)))
11	2	eqcomd 2183	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 = (𝑀 mod 𝑀))
12	11	oveq2d 5888	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) − 0) = ((𝐴 mod 𝑀) − (𝑀 mod 𝑀)))
13		modqcl 10321	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ)
14		qcn 9630	. . . 4 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
15	13, 14	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
16	15	subid1d 8253	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) − 0) = (𝐴 mod 𝑀))
17	10, 12, 16	3eqtr2rd 2217	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (𝐴 mod 𝑀) = ((𝐴 − 𝑀) mod 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4002  (class class class)co 5872  ℂcc 7806  0cc0 7808   < clt 7988   ≤ cle 7989   − cmin 8124  ℚcq 9615   mod cmo 10317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926  ax-arch 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-n0 9173  df-z 9250  df-q 9616  df-rp 9650  df-fl 10265  df-mod 10318

This theorem is referenced by: (None)