Theorem modqvalr 10691

Description: The value of the modulo operation (multiplication in reversed order). (Contributed by Jim Kingdon, 16-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqvalr	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵)))

Proof of Theorem modqvalr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqval 10690	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
2		qcn 9969	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	3ad2ant2 1046	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		simp3 1026	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
5	4	gt0ne0d 8788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
6		qdivcl 9978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
7	5, 6	syld3an3 1319	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
8	7	flqcld 10641	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
9	8	zcnd 9704	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
10	3, 9	mulcomd 8297	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵))
11	10	oveq2d 6068	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = (𝐴 − ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵)))
12	1, 11	eqtrd 2267	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  ℂcc 8127  0cc0 8129   · cmul 8134   < clt 8310   − cmin 8446   / cdiv 8948  ℚcq 9954  ⌊cfl 10632   mod cmo 10688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-q 9955  df-rp 9990  df-fl 10634  df-mod 10689

This theorem is referenced by:  flqpmodeq  10693  modqvalp1  10709  divalglemnn  12608