Theorem sinhalfpip 15479

Description: The sine of π / 2 plus a number. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinhalfpip	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + 𝐴)) = (cos‘𝐴))

Proof of Theorem sinhalfpip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpire 15451	. . . 4 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
2	1	recni 8146	. . 3 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
3		sinadd 12233	. . 3 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((π / 2) + 𝐴)) = (((sin‘(π / 2)) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘(π / 2)) · (sin‘𝐴))))
4	2, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + 𝐴)) = (((sin‘(π / 2)) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘(π / 2)) · (sin‘𝐴))))
5		sinhalfpi 15455	. . . . 5 ⊢ (sin‘(π / 2)) = 1
6	5	oveq1i 6004	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘𝐴)) = (1 · (cos‘𝐴))
7		coscl 12204	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
8	7	mulid2d 8153	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (cos‘𝐴)) = (cos‘𝐴))
9	6, 8	eqtrid 2274	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(π / 2)) · (cos‘𝐴)) = (cos‘𝐴))
10		coshalfpi 15456	. . . . 5 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
11	10	oveq1i 6004	. . . 4 ⊢ ((cos‘(π / 2)) · (sin‘𝐴)) = (0 · (sin‘𝐴))
12		sincl 12203	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
13	12	mul02d 8526	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · (sin‘𝐴)) = 0)
14	11, 13	eqtrid 2274	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(π / 2)) · (sin‘𝐴)) = 0)
15	9, 14	oveq12d 6012	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(π / 2)) · (cos‘𝐴)) + ((cos‘(π / 2)) · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐴) + 0))
16	7	addridd 8283	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) + 0) = (cos‘𝐴))
17	4, 15, 16	3eqtrd 2266	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + 𝐴)) = (cos‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994  ℂcc 7985  0cc0 7987  1c1 7988   + caddc 7990   · cmul 7992   / cdiv 8807  2c2 9149  sincsin 12141  cosccos 12142  πcpi 12144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107  ax-pre-suploc 8108  ax-addf 8109  ax-mulf 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-disj 4059  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-isom 5323  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-of 6208  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-irdg 6506  df-frec 6527  df-1o 6552  df-oadd 6556  df-er 6670  df-map 6787  df-pm 6788  df-en 6878  df-dom 6879  df-fin 6880  df-sup 7139  df-inf 7140  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-5 9160  df-6 9161  df-7 9162  df-8 9163  df-9 9164  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-xneg 9956  df-xadd 9957  df-ioo 10076  df-ioc 10077  df-ico 10078  df-icc 10079  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-fac 10935  df-bc 10957  df-ihash 10985  df-shft 11312  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-clim 11776  df-sumdc 11851  df-ef 12145  df-sin 12147  df-cos 12148  df-pi 12150  df-rest 13260  df-topgen 13279  df-psmet 14492  df-xmet 14493  df-met 14494  df-bl 14495  df-mopn 14496  df-top 14657  df-topon 14670  df-bases 14702  df-ntr 14755  df-cn 14847  df-cnp 14848  df-tx 14912  df-cncf 15230  df-limced 15315  df-dvap 15316

This theorem is referenced by:  sincosq2sgn  15486  sincosq3sgn  15487  sincosq4sgn  15488  cosq23lt0  15492