Theorem lgsdirnn0 15163

Description: Variation on lgsdir 15151 valid for all 𝐴, 𝐵 but only for positive 𝑁. (The exact location of the failure of this law is for 𝐴 = 0, 𝐵 < 0, 𝑁 = -1 in which case (0 /_L -1) = 1 but (𝐵 /_L -1) = -1.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdirnn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))

Proof of Theorem lgsdirnn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 /L 𝑁) = (𝐵 /L 𝑁))
2	1	oveq1d 5933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
3	2	eqeq2d 2205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) ↔ (0 /L 𝑁) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁))))
4		id 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ)
5		nn0z 9337	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		lgscl 15130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 /L 𝑁) ∈ ℤ)
7	4, 5, 6	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 /L 𝑁) ∈ ℤ)
8	7	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 /L 𝑁) ∈ ℂ)
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → (𝑥 /L 𝑁) ∈ ℂ)
10	9	mul01d 8412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → ((𝑥 /L 𝑁) · 0) = 0)
11		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → (0 /L 𝑁) = 0)
12	11	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) = ((𝑥 /L 𝑁) · 0))
13	10, 12, 11	3eqtr4rd 2237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
14		0z 9328	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℤ
15	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
16		lgsne0 15154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (0 gcd 𝑁) = 1))
17	14, 15, 16	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((0 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (0 gcd 𝑁) = 1))
18		gcdcom 12110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 0))
19	14, 15, 18	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (0 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 0))
20		nn0gcdid0 12118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 gcd 0) = 𝑁)
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 0) = 𝑁)
22	19, 21	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (0 gcd 𝑁) = 𝑁)
23	22	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((0 gcd 𝑁) = 1 ↔ 𝑁 = 1))
24		lgs1 15160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 /L 1) = 1)
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 /L 1) = 1)
26		oveq2 5926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑥 /L 𝑁) = (𝑥 /L 1))
27	26	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) = 1 ↔ (𝑥 /L 1) = 1))
28	25, 27	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 = 1 → (𝑥 /L 𝑁) = 1))
29	23, 28	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((0 gcd 𝑁) = 1 → (𝑥 /L 𝑁) = 1))
30	17, 29	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((0 /L 𝑁) ≠ 0 → (𝑥 /L 𝑁) = 1))
31	30	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (𝑥 /L 𝑁) = 1)
32	31	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) = (1 · (0 /L 𝑁)))
33	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		lgscl 15130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 /L 𝑁) ∈ ℤ)
35	14, 33, 34	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℤ)
36	35	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℂ)
37	36	mulid2d 8038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (1 · (0 /L 𝑁)) = (0 /L 𝑁))
38	32, 37	eqtr2d 2227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
39	14, 15, 34	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (0 /L 𝑁) ∈ ℤ)
40		zdceq 9392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((0 /L 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (0 /L 𝑁) = 0)
41	39, 14, 40	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → DECID (0 /L 𝑁) = 0)
42		dcne 2375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID (0 /L 𝑁) = 0 ↔ ((0 /L 𝑁) = 0 ∨ (0 /L 𝑁) ≠ 0))
43	41, 42	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((0 /L 𝑁) = 0 ∨ (0 /L 𝑁) ≠ 0))
44	13, 38, 43	mpjaodan 799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
45	44	ralrimiva 2567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ℤ (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
46	45	3ad2ant3 1022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ ℤ (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
47		simp2 1000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
48	3, 46, 47	rspcdva 2869	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 /L 𝑁) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
49	48	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (0 /L 𝑁) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
50	5	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
51	14, 50, 34	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℤ)
52	51	zcnd 9440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℂ)
53	52	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℂ)
54		lgscl 15130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
55	47, 50, 54	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
56	55	zcnd 9440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℂ)
57	56	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℂ)
58	53, 57	mulcomd 8041	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → ((0 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
59	49, 58	eqtr4d 2229	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (0 /L 𝑁) = ((0 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
60		oveq1 5925	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
61		zcn 9322	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
62	61	3ad2ant2 1021	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
63	62	mul02d 8411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 · 𝐵) = 0)
64	60, 63	sylan9eqr 2248	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
65	64	oveq1d 5933	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = (0 /L 𝑁))
66		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
67	66	oveq1d 5933	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 /L 𝑁) = (0 /L 𝑁))
68	67	oveq1d 5933	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = ((0 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
69	59, 65, 68	3eqtr4d 2236	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
70		oveq1 5925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
71	70	oveq1d 5933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
72	71	eqeq2d 2205	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) ↔ (0 /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁))))
73		simp1 999	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
74	72, 46, 73	rspcdva 2869	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
75	74	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → (0 /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
76		oveq2 5926	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
77	73	zcnd 9440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
78	77	mul01d 8412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 0) = 0)
79	76, 78	sylan9eqr 2248	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
80	79	oveq1d 5933	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = (0 /L 𝑁))
81		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
82	81	oveq1d 5933	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 /L 𝑁) = (0 /L 𝑁))
83	82	oveq2d 5934	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
84	75, 80, 83	3eqtr4d 2236	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
85	69, 84	jaodan 798	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
86		neanior 2451	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
87		lgsdir 15151	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
88	5, 87	syl3anl3 1299	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
89	86, 88	sylan2br 288	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
90		zdceq 9392	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 0)
91	73, 14, 90	sylancl 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → DECID 𝐴 = 0)
92		zdceq 9392	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐵 = 0)
93	47, 14, 92	sylancl 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → DECID 𝐵 = 0)
94		dcor 937	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐴 = 0 → (DECID 𝐵 = 0 → DECID (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
95	91, 93, 94	sylc 62	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → DECID (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
96		exmiddc 837	. . 3 ⊢ (DECID (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0) → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0) ∨ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
97	95, 96	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0) ∨ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
98	85, 89, 97	mpjaodan 799	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∀wral 2472  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  0cc0 7872  1c1 7873   · cmul 7877  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317   gcd cgcd 12079   /_L clgs 15113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-proddc 11694  df-dvds 11931  df-gcd 12080  df-prm 12246  df-phi 12349  df-pc 12423  df-lgs 15114

This theorem is referenced by: (None)