Theorem lgsdirnn0 14019

Description: Variation on lgsdir 14007 valid for all 𝐴, 𝐵 but only for positive 𝑁. (The exact location of the failure of this law is for 𝐴 = 0, 𝐵 < 0, 𝑁 = -1 in which case (0 /_L -1) = 1 but (𝐵 /_L -1) = -1.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdirnn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))

Proof of Theorem lgsdirnn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 /L 𝑁) = (𝐵 /L 𝑁))
2	1	oveq1d 5880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
3	2	eqeq2d 2187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) ↔ (0 /L 𝑁) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁))))
4		id 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ)
5		nn0z 9246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		lgscl 13986	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 /L 𝑁) ∈ ℤ)
7	4, 5, 6	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 /L 𝑁) ∈ ℤ)
8	7	zcnd 9349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 /L 𝑁) ∈ ℂ)
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → (𝑥 /L 𝑁) ∈ ℂ)
10	9	mul01d 8324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → ((𝑥 /L 𝑁) · 0) = 0)
11		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → (0 /L 𝑁) = 0)
12	11	oveq2d 5881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) = ((𝑥 /L 𝑁) · 0))
13	10, 12, 11	3eqtr4rd 2219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
14		0z 9237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℤ
15	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
16		lgsne0 14010	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (0 gcd 𝑁) = 1))
17	14, 15, 16	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((0 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (0 gcd 𝑁) = 1))
18		gcdcom 11941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 0))
19	14, 15, 18	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (0 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 0))
20		nn0gcdid0 11949	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 gcd 0) = 𝑁)
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 0) = 𝑁)
22	19, 21	eqtrd 2208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (0 gcd 𝑁) = 𝑁)
23	22	eqeq1d 2184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((0 gcd 𝑁) = 1 ↔ 𝑁 = 1))
24		lgs1 14016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 /L 1) = 1)
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 /L 1) = 1)
26		oveq2 5873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑥 /L 𝑁) = (𝑥 /L 1))
27	26	eqeq1d 2184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) = 1 ↔ (𝑥 /L 1) = 1))
28	25, 27	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 = 1 → (𝑥 /L 𝑁) = 1))
29	23, 28	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((0 gcd 𝑁) = 1 → (𝑥 /L 𝑁) = 1))
30	17, 29	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((0 /L 𝑁) ≠ 0 → (𝑥 /L 𝑁) = 1))
31	30	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (𝑥 /L 𝑁) = 1)
32	31	oveq1d 5880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) = (1 · (0 /L 𝑁)))
33	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		lgscl 13986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 /L 𝑁) ∈ ℤ)
35	14, 33, 34	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℤ)
36	35	zcnd 9349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℂ)
37	36	mulid2d 7950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (1 · (0 /L 𝑁)) = (0 /L 𝑁))
38	32, 37	eqtr2d 2209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
39	14, 15, 34	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (0 /L 𝑁) ∈ ℤ)
40		zdceq 9301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((0 /L 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (0 /L 𝑁) = 0)
41	39, 14, 40	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → DECID (0 /L 𝑁) = 0)
42		dcne 2356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID (0 /L 𝑁) = 0 ↔ ((0 /L 𝑁) = 0 ∨ (0 /L 𝑁) ≠ 0))
43	41, 42	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((0 /L 𝑁) = 0 ∨ (0 /L 𝑁) ≠ 0))
44	13, 38, 43	mpjaodan 798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
45	44	ralrimiva 2548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ℤ (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
46	45	3ad2ant3 1020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ ℤ (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
47		simp2 998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
48	3, 46, 47	rspcdva 2844	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 /L 𝑁) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
49	48	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (0 /L 𝑁) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
50	5	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
51	14, 50, 34	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℤ)
52	51	zcnd 9349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℂ)
53	52	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℂ)
54		lgscl 13986	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
55	47, 50, 54	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
56	55	zcnd 9349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℂ)
57	56	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℂ)
58	53, 57	mulcomd 7953	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → ((0 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
59	49, 58	eqtr4d 2211	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (0 /L 𝑁) = ((0 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
60		oveq1 5872	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
61		zcn 9231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
62	61	3ad2ant2 1019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
63	62	mul02d 8323	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 · 𝐵) = 0)
64	60, 63	sylan9eqr 2230	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
65	64	oveq1d 5880	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = (0 /L 𝑁))
66		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
67	66	oveq1d 5880	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 /L 𝑁) = (0 /L 𝑁))
68	67	oveq1d 5880	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = ((0 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
69	59, 65, 68	3eqtr4d 2218	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
70		oveq1 5872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
71	70	oveq1d 5880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
72	71	eqeq2d 2187	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) ↔ (0 /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁))))
73		simp1 997	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
74	72, 46, 73	rspcdva 2844	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
75	74	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → (0 /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
76		oveq2 5873	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
77	73	zcnd 9349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
78	77	mul01d 8324	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 0) = 0)
79	76, 78	sylan9eqr 2230	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
80	79	oveq1d 5880	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = (0 /L 𝑁))
81		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
82	81	oveq1d 5880	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 /L 𝑁) = (0 /L 𝑁))
83	82	oveq2d 5881	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
84	75, 80, 83	3eqtr4d 2218	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
85	69, 84	jaodan 797	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
86		neanior 2432	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
87		lgsdir 14007	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
88	5, 87	syl3anl3 1288	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
89	86, 88	sylan2br 288	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
90		zdceq 9301	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 0)
91	73, 14, 90	sylancl 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → DECID 𝐴 = 0)
92		zdceq 9301	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐵 = 0)
93	47, 14, 92	sylancl 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → DECID 𝐵 = 0)
94		dcor 935	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐴 = 0 → (DECID 𝐵 = 0 → DECID (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
95	91, 93, 94	sylc 62	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → DECID (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
96		exmiddc 836	. . 3 ⊢ (DECID (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0) → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0) ∨ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
97	95, 96	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0) ∨ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
98	85, 89, 97	mpjaodan 798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2345  ∀wral 2453  (class class class)co 5865  ℂcc 7784  0cc0 7786  1c1 7787   · cmul 7791  ℕ₀cn0 9149  ℤcz 9226   gcd cgcd 11910   /_L clgs 13969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-oadd 6411  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-5 8954  df-6 8955  df-7 8956  df-8 8957  df-9 8958  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-fz 9980  df-fzo 10113  df-fl 10240  df-mod 10293  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-ihash 10724  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-clim 11255  df-proddc 11527  df-dvds 11763  df-gcd 11911  df-prm 12075  df-phi 12178  df-pc 12252  df-lgs 13970

This theorem is referenced by: (None)