ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lgsdirnn0 GIF version

Theorem lgsdirnn0 14451
Description: Variation on lgsdir 14439 valid for all ๐ด, ๐ต but only for positive ๐‘. (The exact location of the failure of this law is for ๐ด = 0, ๐ต < 0, ๐‘ = -1 in which case (0 /L -1) = 1 but (๐ต /L -1) = -1.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
lgsdirnn0 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))

Proof of Theorem lgsdirnn0
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5882 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = (๐ต /L ๐‘))
21oveq1d 5890 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
32eqeq2d 2189 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) โ†” (0 /L ๐‘) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘))))
4 id 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
5 nn0z 9273 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6 lgscl 14418 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
74, 5, 6syl2anr 290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
87zcnd 9376 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
98adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
109mul01d 8350 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท 0) = 0)
11 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = 0)
1211oveq2d 5891 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท 0))
1310, 12, 113eqtr4rd 2221 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
14 0z 9264 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 โˆˆ โ„ค
155adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
16 lgsne0 14442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 /L ๐‘) โ‰  0 โ†” (0 gcd ๐‘) = 1))
1714, 15, 16sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 /L ๐‘) โ‰  0 โ†” (0 gcd ๐‘) = 1))
18 gcdcom 11974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 gcd ๐‘) = (๐‘ gcd 0))
1914, 15, 18sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 gcd ๐‘) = (๐‘ gcd 0))
20 nn0gcdid0 11982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ gcd 0) = ๐‘)
2120adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ gcd 0) = ๐‘)
2219, 21eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 gcd ๐‘) = ๐‘)
2322eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 gcd ๐‘) = 1 โ†” ๐‘ = 1))
24 lgs1 14448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฅ /L 1) = 1)
2524adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ /L 1) = 1)
26 oveq2 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ = 1 โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = (๐‘ฅ /L 1))
2726eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ = 1 โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) = 1 โ†” (๐‘ฅ /L 1) = 1))
2825, 27syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ = 1 โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = 1))
2923, 28sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 gcd ๐‘) = 1 โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = 1))
3017, 29sylbid 150 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 /L ๐‘) โ‰  0 โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = 1))
3130imp 124 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = 1)
3231oveq1d 5890 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) = (1 ยท (0 /L ๐‘)))
335ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
34 lgscl 14418 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
3514, 33, 34sylancr 414 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
3635zcnd 9376 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
3736mulid2d 7976 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (1 ยท (0 /L ๐‘)) = (0 /L ๐‘))
3832, 37eqtr2d 2211 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง (0 /L ๐‘) โ‰  0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
3914, 15, 34sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
40 zdceq 9328 . . . . . . . . . . . 12 (((0 /L ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID (0 /L ๐‘) = 0)
4139, 14, 40sylancl 413 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID (0 /L ๐‘) = 0)
42 dcne 2358 . . . . . . . . . . 11 (DECID (0 /L ๐‘) = 0 โ†” ((0 /L ๐‘) = 0 โˆจ (0 /L ๐‘) โ‰  0))
4341, 42sylib 122 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((0 /L ๐‘) = 0 โˆจ (0 /L ๐‘) โ‰  0))
4413, 38, 43mpjaodan 798 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
4544ralrimiva 2550 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
46453ad2ant3 1020 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
47 simp2 998 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
483, 46, 47rspcdva 2847 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
4948adantr 276 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
5053ad2ant3 1020 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
5114, 50, 34sylancr 414 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5251zcnd 9376 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5352adantr 276 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
54 lgscl 14418 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5547, 50, 54syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5655zcnd 9376 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5756adantr 276 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5853, 57mulcomd 7979 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((0 /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)) = ((๐ต /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
5949, 58eqtr4d 2213 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((0 /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
60 oveq1 5882 . . . . . 6 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (0 ยท ๐ต))
61 zcn 9258 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
62613ad2ant2 1019 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
6362mul02d 8349 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
6460, 63sylan9eqr 2232 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 0)
6564oveq1d 5890 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = (0 /L ๐‘))
66 simpr 110 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ๐ด = 0)
6766oveq1d 5890 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ด /L ๐‘) = (0 /L ๐‘))
6867oveq1d 5890 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)) = ((0 /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
6959, 65, 683eqtr4d 2220 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
70 oveq1 5882 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ /L ๐‘) = (๐ด /L ๐‘))
7170oveq1d 5890 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
7271eqeq2d 2189 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((0 /L ๐‘) = ((๐‘ฅ /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)) โ†” (0 /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘))))
73 simp1 997 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
7472, 46, 73rspcdva 2847 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
7574adantr 276 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (0 /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
76 oveq2 5883 . . . . . 6 (๐ต = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ด ยท 0))
7773zcnd 9376 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7877mul01d 8350 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
7976, 78sylan9eqr 2232 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 0)
8079oveq1d 5890 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = (0 /L ๐‘))
81 simpr 110 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ต = 0)
8281oveq1d 5890 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ต /L ๐‘) = (0 /L ๐‘))
8382oveq2d 5891 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (0 /L ๐‘)))
8475, 80, 833eqtr4d 2220 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
8569, 84jaodan 797 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
86 neanior 2434 . . 3 ((๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0) โ†” ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0))
87 lgsdir 14439 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
885, 87syl3anl3 1288 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
8986, 88sylan2br 288 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
90 zdceq 9328 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐ด = 0)
9173, 14, 90sylancl 413 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ DECID ๐ด = 0)
92 zdceq 9328 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐ต = 0)
9347, 14, 92sylancl 413 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ DECID ๐ต = 0)
94 dcor 935 . . . 4 (DECID ๐ด = 0 โ†’ (DECID ๐ต = 0 โ†’ DECID (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)))
9591, 93, 94sylc 62 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ DECID (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0))
96 exmiddc 836 . . 3 (DECID (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0) โ†’ ((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0) โˆจ ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)))
9795, 96syl 14 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0) โˆจ ยฌ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0)))
9885, 89, 97mpjaodan 798 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708  DECID wdc 834   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347  โˆ€wral 2455  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  0cc0 7811  1c1 7812   ยท cmul 7816  โ„•0cn0 9176  โ„คcz 9253   gcd cgcd 11943   /L clgs 14401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-5 8981  df-6 8982  df-7 8983  df-8 8984  df-9 8985  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-proddc 11559  df-dvds 11795  df-gcd 11944  df-prm 12108  df-phi 12211  df-pc 12285  df-lgs 14402
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator