Theorem lgsdirnn0 16178

Description: Variation on lgsdir 16166 valid for all 𝐴, 𝐵 but only for positive 𝑁. (The exact location of the failure of this law is for 𝐴 = 0, 𝐵 < 0, 𝑁 = -1 in which case (0 /_L -1) = 1 but (𝐵 /_L -1) = -1.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdirnn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))

Proof of Theorem lgsdirnn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 /L 𝑁) = (𝐵 /L 𝑁))
2	1	oveq1d 6100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
3	2	eqeq2d 2250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) ↔ (0 /L 𝑁) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁))))
4		id 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ)
5		nn0z 9666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		lgscl 16145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 /L 𝑁) ∈ ℤ)
7	4, 5, 6	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 /L 𝑁) ∈ ℤ)
8	7	zcnd 9771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 /L 𝑁) ∈ ℂ)
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → (𝑥 /L 𝑁) ∈ ℂ)
10	9	mul01d 8720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → ((𝑥 /L 𝑁) · 0) = 0)
11		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → (0 /L 𝑁) = 0)
12	11	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) = ((𝑥 /L 𝑁) · 0))
13	10, 12, 11	3eqtr4rd 2282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) = 0) → (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
14		0z 9657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℤ
15	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
16		lgsne0 16169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (0 gcd 𝑁) = 1))
17	14, 15, 16	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((0 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (0 gcd 𝑁) = 1))
18		gcdcom 12752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 0))
19	14, 15, 18	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (0 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 0))
20		nn0gcdid0 12760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 gcd 0) = 𝑁)
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 0) = 𝑁)
22	19, 21	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (0 gcd 𝑁) = 𝑁)
23	22	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((0 gcd 𝑁) = 1 ↔ 𝑁 = 1))
24		lgs1 16175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 /L 1) = 1)
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 /L 1) = 1)
26		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑥 /L 𝑁) = (𝑥 /L 1))
27	26	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑥 /L 𝑁) = 1 ↔ (𝑥 /L 1) = 1))
28	25, 27	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 = 1 → (𝑥 /L 𝑁) = 1))
29	23, 28	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((0 gcd 𝑁) = 1 → (𝑥 /L 𝑁) = 1))
30	17, 29	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((0 /L 𝑁) ≠ 0 → (𝑥 /L 𝑁) = 1))
31	30	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (𝑥 /L 𝑁) = 1)
32	31	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) = (1 · (0 /L 𝑁)))
33	5	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		lgscl 16145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 /L 𝑁) ∈ ℤ)
35	14, 33, 34	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℤ)
36	35	zcnd 9771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℂ)
37	36	mullidd 8344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (1 · (0 /L 𝑁)) = (0 /L 𝑁))
38	32, 37	eqtr2d 2272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (0 /L 𝑁) ≠ 0) → (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
39	14, 15, 34	sylancr 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (0 /L 𝑁) ∈ ℤ)
40		zdceq 9722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((0 /L 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (0 /L 𝑁) = 0)
41	39, 14, 40	sylancl 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → DECID (0 /L 𝑁) = 0)
42		dcne 2431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID (0 /L 𝑁) = 0 ↔ ((0 /L 𝑁) = 0 ∨ (0 /L 𝑁) ≠ 0))
43	41, 42	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((0 /L 𝑁) = 0 ∨ (0 /L 𝑁) ≠ 0))
44	13, 38, 43	mpjaodan 810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
45	44	ralrimiva 2623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ℤ (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
46	45	3ad2ant3 1051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ ℤ (0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
47		simp2 1029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
48	3, 46, 47	rspcdva 2934	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 /L 𝑁) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
49	48	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (0 /L 𝑁) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
50	5	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
51	14, 50, 34	sylancr 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℤ)
52	51	zcnd 9771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℂ)
53	52	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (0 /L 𝑁) ∈ ℂ)
54		lgscl 16145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
55	47, 50, 54	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
56	55	zcnd 9771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℂ)
57	56	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℂ)
58	53, 57	mulcomd 8347	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → ((0 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = ((𝐵 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
59	49, 58	eqtr4d 2274	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (0 /L 𝑁) = ((0 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
60		oveq1 6092	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
61		zcn 9651	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
62	61	3ad2ant2 1050	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
63	62	mul02d 8719	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 · 𝐵) = 0)
64	60, 63	sylan9eqr 2293	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
65	64	oveq1d 6100	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = (0 /L 𝑁))
66		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
67	66	oveq1d 6100	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 /L 𝑁) = (0 /L 𝑁))
68	67	oveq1d 6100	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = ((0 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
69	59, 65, 68	3eqtr4d 2281	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
70		oveq1 6092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
71	70	oveq1d 6100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
72	71	eqeq2d 2250	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0 /L 𝑁) = ((𝑥 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)) ↔ (0 /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁))))
73		simp1 1028	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
74	72, 46, 73	rspcdva 2934	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
75	74	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → (0 /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
76		oveq2 6093	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
77	73	zcnd 9771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
78	77	mul01d 8720	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 · 0) = 0)
79	76, 78	sylan9eqr 2293	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
80	79	oveq1d 6100	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = (0 /L 𝑁))
81		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
82	81	oveq1d 6100	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 /L 𝑁) = (0 /L 𝑁))
83	82	oveq2d 6101	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (0 /L 𝑁)))
84	75, 80, 83	3eqtr4d 2281	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
85	69, 84	jaodan 809	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
86		neanior 2507	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
87		lgsdir 16166	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
88	5, 87	syl3anl3 1328	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
89	86, 88	sylan2br 288	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
90		zdceq 9722	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 = 0)
91	73, 14, 90	sylancl 417	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → DECID 𝐴 = 0)
92		zdceq 9722	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐵 = 0)
93	47, 14, 92	sylancl 417	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → DECID 𝐵 = 0)
94		dcor 948	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐴 = 0 → (DECID 𝐵 = 0 → DECID (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
95	91, 93, 94	sylc 62	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → DECID (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
96		exmiddc 848	. . 3 ⊢ (DECID (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0) → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0) ∨ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
97	95, 96	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0) ∨ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
98	85, 89, 97	mpjaodan 810	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  0cc0 8179  1c1 8180   · cmul 8184  ℕ₀cn0 9565  ℤcz 9646   gcd cgcd 12732   /_L clgs 16128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-fl 10707  df-mod 10762  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-ihash 11217  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-clim 12047  df-proddc 12320  df-dvds 12557  df-gcd 12733  df-prm 12888  df-phi 12991  df-pc 13066  df-lgs 16129

This theorem is used by: (None)