Theorem coshalfpip 14514

Description: The cosine of π / 2 plus a number. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
coshalfpip	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + 𝐴)) = -(sin‘𝐴))

Proof of Theorem coshalfpip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coshalfpi 14489	. . . . 5 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
2	1	oveq1i 5898	. . . 4 ⊢ ((cos‘(π / 2)) · (cos‘𝐴)) = (0 · (cos‘𝐴))
3		coscl 11728	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
4	3	mul02d 8362	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · (cos‘𝐴)) = 0)
5	2, 4	eqtrid 2232	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(π / 2)) · (cos‘𝐴)) = 0)
6		sinhalfpi 14488	. . . . 5 ⊢ (sin‘(π / 2)) = 1
7	6	oveq1i 5898	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (sin‘𝐴)) = (1 · (sin‘𝐴))
8		sincl 11727	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
9	8	mulid2d 7989	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (sin‘𝐴)) = (sin‘𝐴))
10	7, 9	eqtrid 2232	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(π / 2)) · (sin‘𝐴)) = (sin‘𝐴))
11	5, 10	oveq12d 5906	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘(π / 2)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘(π / 2)) · (sin‘𝐴))) = (0 − (sin‘𝐴)))
12		halfpire 14484	. . . 4 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
13	12	recni 7982	. . 3 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
14		cosadd 11758	. . 3 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘((π / 2) + 𝐴)) = (((cos‘(π / 2)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘(π / 2)) · (sin‘𝐴))))
15	13, 14	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + 𝐴)) = (((cos‘(π / 2)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘(π / 2)) · (sin‘𝐴))))
16		df-neg 8144	. . 3 ⊢ -(sin‘𝐴) = (0 − (sin‘𝐴))
17	16	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘𝐴) = (0 − (sin‘𝐴)))
18	11, 15, 17	3eqtr4d 2230	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + 𝐴)) = -(sin‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  ℂcc 7822  0cc0 7824  1c1 7825   + caddc 7827   · cmul 7829   − cmin 8141  -cneg 8142   / cdiv 8642  2c2 8983  sincsin 11665  cosccos 11666  πcpi 11668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944  ax-pre-suploc 7945  ax-addf 7946  ax-mulf 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-disj 3993  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-of 6096  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-map 6663  df-pm 6664  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-sup 6996  df-inf 6997  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-7 8996  df-8 8997  df-9 8998  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-xneg 9785  df-xadd 9786  df-ioo 9905  df-ioc 9906  df-ico 9907  df-icc 9908  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-fac 10719  df-bc 10741  df-ihash 10769  df-shft 10837  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300  df-sumdc 11375  df-ef 11669  df-sin 11671  df-cos 11672  df-pi 11674  df-rest 12707  df-topgen 12726  df-psmet 13704  df-xmet 13705  df-met 13706  df-bl 13707  df-mopn 13708  df-top 13769  df-topon 13782  df-bases 13814  df-ntr 13867  df-cn 13959  df-cnp 13960  df-tx 14024  df-cncf 14329  df-limced 14396  df-dvap 14397

This theorem is referenced by:  sincosq2sgn  14519  sincosq3sgn  14520  sincosq4sgn  14521