Theorem coshalfpip 13823

Description: The cosine of π / 2 plus a number. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
coshalfpip	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + 𝐴)) = -(sin‘𝐴))

Proof of Theorem coshalfpip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coshalfpi 13798	. . . . 5 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
2	1	oveq1i 5875	. . . 4 ⊢ ((cos‘(π / 2)) · (cos‘𝐴)) = (0 · (cos‘𝐴))
3		coscl 11683	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
4	3	mul02d 8323	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · (cos‘𝐴)) = 0)
5	2, 4	eqtrid 2220	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(π / 2)) · (cos‘𝐴)) = 0)
6		sinhalfpi 13797	. . . . 5 ⊢ (sin‘(π / 2)) = 1
7	6	oveq1i 5875	. . . 4 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (sin‘𝐴)) = (1 · (sin‘𝐴))
8		sincl 11682	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
9	8	mulid2d 7950	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (sin‘𝐴)) = (sin‘𝐴))
10	7, 9	eqtrid 2220	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(π / 2)) · (sin‘𝐴)) = (sin‘𝐴))
11	5, 10	oveq12d 5883	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘(π / 2)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘(π / 2)) · (sin‘𝐴))) = (0 − (sin‘𝐴)))
12		halfpire 13793	. . . 4 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
13	12	recni 7944	. . 3 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
14		cosadd 11713	. . 3 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘((π / 2) + 𝐴)) = (((cos‘(π / 2)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘(π / 2)) · (sin‘𝐴))))
15	13, 14	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + 𝐴)) = (((cos‘(π / 2)) · (cos‘𝐴)) − ((sin‘(π / 2)) · (sin‘𝐴))))
16		df-neg 8105	. . 3 ⊢ -(sin‘𝐴) = (0 − (sin‘𝐴))
17	16	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘𝐴) = (0 − (sin‘𝐴)))
18	11, 15, 17	3eqtr4d 2218	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + 𝐴)) = -(sin‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  ℂcc 7784  0cc0 7786  1c1 7787   + caddc 7789   · cmul 7791   − cmin 8102  -cneg 8103   / cdiv 8602  2c2 8943  sincsin 11620  cosccos 11621  πcpi 11623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906  ax-pre-suploc 7907  ax-addf 7908  ax-mulf 7909

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-disj 3976  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-of 6073  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-er 6525  df-map 6640  df-pm 6641  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-5 8954  df-6 8955  df-7 8956  df-8 8957  df-9 8958  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-xneg 9743  df-xadd 9744  df-ioo 9863  df-ioc 9864  df-ico 9865  df-icc 9866  df-fz 9980  df-fzo 10113  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-fac 10674  df-bc 10696  df-ihash 10724  df-shft 10792  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-clim 11255  df-sumdc 11330  df-ef 11624  df-sin 11626  df-cos 11627  df-pi 11629  df-rest 12621  df-topgen 12640  df-psmet 13067  df-xmet 13068  df-met 13069  df-bl 13070  df-mopn 13071  df-top 13076  df-topon 13089  df-bases 13121  df-ntr 13176  df-cn 13268  df-cnp 13269  df-tx 13333  df-cncf 13638  df-limced 13705  df-dvap 13706

This theorem is referenced by:  sincosq2sgn  13828  sincosq3sgn  13829  sincosq4sgn  13830