Theorem lgsdinn0 13743

Description: Variation on lgsdi 13732 valid for all 𝑀, 𝑁 but only for positive 𝐴. (The exact location of the failure of this law is for 𝐴 = -1, 𝑀 = 0, and some 𝑁 in which case (-1 /_L 0) = 1 but (-1 /_L 𝑁) = -1 when -1 is not a quadratic residue mod 𝑁.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdinn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))

Proof of Theorem lgsdinn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 /L 𝑥) = (𝐴 /L 𝑁))
2	1	oveq1d 5868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
3	2	eqeq2d 2182	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) ↔ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0))))
4		sq1 10569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1↑2) = 1
5	4	eqeq2i 2181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ (𝐴↑2) = 1)
6		nn0re 9144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
7		nn0ge0 9160	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
8		1re 7919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		0le1 8400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ≤ 1
10		sq11 10548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
11	8, 9, 10	mpanr12 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
12	6, 7, 11	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
13	12	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) = (1↑2) ↔ 𝐴 = 1))
14	5, 13	bitr3id 193	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) = 1 ↔ 𝐴 = 1))
15	14	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐴 = 1)
16	15	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 𝑥) = (1 /L 𝑥))
17		1lgs 13738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (1 /L 𝑥) = 1)
18	17	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (1 /L 𝑥) = 1)
19	16, 18	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 𝑥) = 1)
20	19	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = (1 · (𝐴 /L 0)))
21		nn0z 9232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
22	21	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
23		0z 9223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℤ
24		lgscl 13709	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) ∈ ℤ)
25	22, 23, 24	sylancl 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 0) ∈ ℤ)
26	25	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 0) ∈ ℂ)
27	26	mulid2d 7938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (1 · (𝐴 /L 0)) = (𝐴 /L 0))
28	20, 27	eqtr2d 2204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
29		lgscl 13709	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℤ)
30	21, 29	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℤ)
31	30	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℂ)
32	31	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → (𝐴 /L 𝑥) ∈ ℂ)
33	32	mul01d 8312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → ((𝐴 /L 𝑥) · 0) = 0)
34	21	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
35		lgs0 13708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
36	34, 35	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
37		ifnefalse 3537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴↑2) ≠ 1 → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) = 0)
38	36, 37	sylan9eq 2223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → (𝐴 /L 0) = 0)
39	38	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = ((𝐴 /L 𝑥) · 0))
40	33, 39, 38	3eqtr4rd 2214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝐴↑2) ≠ 1) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
41		zsqcl 10546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
42	34, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
43		1z 9238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
44		zdceq 9287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐴↑2) = 1)
45	42, 43, 44	sylancl 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → DECID (𝐴↑2) = 1)
46		dcne 2351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID (𝐴↑2) = 1 ↔ ((𝐴↑2) = 1 ∨ (𝐴↑2) ≠ 1))
47	45, 46	sylib 121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) = 1 ∨ (𝐴↑2) ≠ 1))
48	28, 40, 47	mpjaodan 793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
49	48	ralrimiva 2543	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ℤ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
50	49	3ad2ant1 1013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∀𝑥 ∈ ℤ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)))
51		simp3 994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
52	3, 50, 51	rspcdva 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
53	52	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
54	21	3ad2ant1 1013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
55	54, 23, 24	sylancl 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) ∈ ℤ)
56	55	zcnd 9335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) ∈ ℂ)
57	56	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 0) ∈ ℂ)
58		lgscl 13709	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
59	54, 51, 58	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
60	59	zcnd 9335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
61	60	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
62	57, 61	mulcomd 7941	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝐴 /L 0) · (𝐴 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 0)))
63	53, 62	eqtr4d 2206	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 0) · (𝐴 /L 𝑁)))
64		oveq1 5860	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
65	51	zcnd 9335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
66	65	mul02d 8311	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · 𝑁) = 0)
67	64, 66	sylan9eqr 2225	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑁) = 0)
68	67	oveq2d 5869	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = (𝐴 /L 0))
69		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
70	69	oveq2d 5869	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L 𝑀) = (𝐴 /L 0))
71	70	oveq1d 5868	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 0) · (𝐴 /L 𝑁)))
72	63, 68, 71	3eqtr4d 2213	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
73		oveq2 5861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐴 /L 𝑥) = (𝐴 /L 𝑀))
74	73	oveq1d 5868	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
75	74	eqeq2d 2182	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑥) · (𝐴 /L 0)) ↔ (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0))))
76		simp2 993	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
77	75, 50, 76	rspcdva 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
78	77	adantr 274	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L 0) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
79		oveq2 5861	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
80	76	zcnd 9335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
81	80	mul01d 8312	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 0) = 0)
82	79, 81	sylan9eqr 2225	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 · 𝑁) = 0)
83	82	oveq2d 5869	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = (𝐴 /L 0))
84		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
85	84	oveq2d 5869	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L 𝑁) = (𝐴 /L 0))
86	85	oveq2d 5869	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 0)))
87	78, 83, 86	3eqtr4d 2213	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
88	72, 87	jaodan 792	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
89		neanior 2427	. . 3 ⊢ ((𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0) ↔ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
90		lgsdi 13732	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
91	21, 90	syl3anl1 1281	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
92	89, 91	sylan2br 286	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))
93		zdceq 9287	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 0)
94	76, 23, 93	sylancl 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 0)
95		zdceq 9287	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
96	51, 23, 95	sylancl 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
97		dcor 930	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑀 = 0 → (DECID 𝑁 = 0 → DECID (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)))
98	94, 96, 97	sylc 62	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
99		exmiddc 831	. . 3 ⊢ (DECID (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)))
100	98, 99	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)))
101	88, 92, 100	mpjaodan 793	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑀) · (𝐴 /L 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703  DECID wdc 829   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  ∀wral 2448  ifcif 3526   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   · cmul 7779   ≤ cle 7955  2c2 8929  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212  ↑cexp 10475   /_L clgs 13692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-xor 1371  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-prm 12062  df-phi 12165  df-pc 12239  df-lgs 13693

This theorem is referenced by: (None)