Theorem mulmoddvds 12557

Description: If an integer is divisible by a positive integer, the product of this integer with another integer modulo the positive integer is 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
mulmoddvds	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐴 → ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑁) = 0))

Proof of Theorem mulmoddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zq 9964	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℚ)
4		simp3 1026	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
5		simp1 1024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
6		nnq 9971	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℚ)
8	5	nngt0d 9286	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 0 < 𝑁)
9		modqmulmod 10758	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐴 mod 𝑁) · 𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑁))
10	3, 4, 7, 8, 9	syl22anc 1275	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 𝑁) · 𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑁))
11	10	eqcomd 2240	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑁) = (((𝐴 mod 𝑁) · 𝐵) mod 𝑁))
12	11	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑁) = (((𝐴 mod 𝑁) · 𝐵) mod 𝑁))
13		dvdsval3 12485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 0))
14	13	3adant3 1044	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 0))
15	14	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 𝑁) = 0)
16	15	oveq1d 6067	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 𝑁) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
17	16	oveq1d 6067	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → (((𝐴 mod 𝑁) · 𝐵) mod 𝑁) = ((0 · 𝐵) mod 𝑁))
18	4	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
19	18	zcnd 9707	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19	mul02d 8670	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → (0 · 𝐵) = 0)
21	20	oveq1d 6067	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → ((0 · 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
22	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℚ)
23	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → 0 < 𝑁)
24		q0mod 10724	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)
25	22, 23, 24	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → (0 mod 𝑁) = 0)
26	21, 25	eqtrd 2267	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → ((0 · 𝐵) mod 𝑁) = 0)
27	17, 26	eqtrd 2267	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → (((𝐴 mod 𝑁) · 𝐵) mod 𝑁) = 0)
28	12, 27	eqtrd 2267	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑁) = 0)
29	28	ex 115	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐴 → ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑁) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  0cc0 8132   · cmul 8137   < clt 8313  ℕcn 9242  ℤcz 9582  ℚcq 9957   mod cmo 10691   ∥ cdvds 12481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-n0 9502  df-z 9583  df-q 9958  df-rp 9993  df-fl 10637  df-mod 10692  df-dvds 12482

This theorem is referenced by: (None)