Theorem mulmoddvds 11356

Description: If an integer is divisible by a positive integer, the product of this integer with another integer modulo the positive integer is 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
mulmoddvds	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐴 → ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑁) = 0))

Proof of Theorem mulmoddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 950	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zq 9268	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℚ)
4		simp3 951	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
5		simp1 949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
6		nnq 9275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℚ)
8	5	nngt0d 8622	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 0 < 𝑁)
9		modqmulmod 10003	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐴 mod 𝑁) · 𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑁))
10	3, 4, 7, 8, 9	syl22anc 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 𝑁) · 𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑁))
11	10	eqcomd 2105	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑁) = (((𝐴 mod 𝑁) · 𝐵) mod 𝑁))
12	11	adantr 272	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑁) = (((𝐴 mod 𝑁) · 𝐵) mod 𝑁))
13		dvdsval3 11292	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 0))
14	13	3adant3 969	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 0))
15	14	biimpa 292	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 𝑁) = 0)
16	15	oveq1d 5721	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 𝑁) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
17	16	oveq1d 5721	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → (((𝐴 mod 𝑁) · 𝐵) mod 𝑁) = ((0 · 𝐵) mod 𝑁))
18	4	adantr 272	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
19	18	zcnd 9026	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19	mul02d 8021	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → (0 · 𝐵) = 0)
21	20	oveq1d 5721	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → ((0 · 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
22	7	adantr 272	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℚ)
23	8	adantr 272	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → 0 < 𝑁)
24		q0mod 9969	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)
25	22, 23, 24	syl2anc 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → (0 mod 𝑁) = 0)
26	21, 25	eqtrd 2132	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → ((0 · 𝐵) mod 𝑁) = 0)
27	17, 26	eqtrd 2132	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → (((𝐴 mod 𝑁) · 𝐵) mod 𝑁) = 0)
28	12, 27	eqtrd 2132	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑁) = 0)
29	28	ex 114	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐴 → ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑁) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 930   = wceq 1299   ∈ wcel 1448   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706  0cc0 7500   · cmul 7505   < clt 7672  ℕcn 8578  ℤcz 8906  ℚcq 9261   mod cmo 9936   ∥ cdvds 11288

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-q 9262  df-rp 9292  df-fl 9884  df-mod 9937  df-dvds 11289

This theorem is referenced by: (None)