Theorem mulmoddvds 12426

Description: If an integer is divisible by a positive integer, the product of this integer with another integer modulo the positive integer is 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
mulmoddvds	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐴 → ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑁) = 0))

Proof of Theorem mulmoddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zq 9860	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℚ)
4		simp3 1025	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
5		simp1 1023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
6		nnq 9867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℚ)
8	5	nngt0d 9187	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 0 < 𝑁)
9		modqmulmod 10652	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐴 mod 𝑁) · 𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑁))
10	3, 4, 7, 8, 9	syl22anc 1274	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 mod 𝑁) · 𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑁))
11	10	eqcomd 2237	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑁) = (((𝐴 mod 𝑁) · 𝐵) mod 𝑁))
12	11	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑁) = (((𝐴 mod 𝑁) · 𝐵) mod 𝑁))
13		dvdsval3 12354	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 0))
14	13	3adant3 1043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 0))
15	14	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 𝑁) = 0)
16	15	oveq1d 6033	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 𝑁) · 𝐵) = (0 · 𝐵))
17	16	oveq1d 6033	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → (((𝐴 mod 𝑁) · 𝐵) mod 𝑁) = ((0 · 𝐵) mod 𝑁))
18	4	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
19	18	zcnd 9603	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19	mul02d 8571	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → (0 · 𝐵) = 0)
21	20	oveq1d 6033	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → ((0 · 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
22	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℚ)
23	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → 0 < 𝑁)
24		q0mod 10618	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)
25	22, 23, 24	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → (0 mod 𝑁) = 0)
26	21, 25	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → ((0 · 𝐵) mod 𝑁) = 0)
27	17, 26	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → (((𝐴 mod 𝑁) · 𝐵) mod 𝑁) = 0)
28	12, 27	eqtrd 2264	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑁) = 0)
29	28	ex 115	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐴 → ((𝐴 · 𝐵) mod 𝑁) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  0cc0 8032   · cmul 8037   < clt 8214  ℕcn 9143  ℤcz 9479  ℚcq 9853   mod cmo 10585   ∥ cdvds 12350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-q 9854  df-rp 9889  df-fl 10531  df-mod 10586  df-dvds 12351

This theorem is referenced by: (None)