Theorem nnlesq 10664

Description: A positive integer is less than or equal to its square. For general integers, see zzlesq 10729. (Contributed by NM, 15-Sep-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nnlesq	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))

Proof of Theorem nnlesq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 8962	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mulridd 8009	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
3		nnge1 8977	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
4		1red 8007	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
5		nnre 8961	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		nngt0 8979	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
7		lemul2 8849	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 · 1) ≤ (𝑁 · 𝑁)))
8	4, 5, 5, 6, 7	syl112anc 1253	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 · 1) ≤ (𝑁 · 𝑁)))
9	3, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 1) ≤ (𝑁 · 𝑁))
10	2, 9	eqbrtrrd 4045	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ (𝑁 · 𝑁))
11		sqval 10618	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
12	1, 11	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
13	10, 12	breqtrrd 4049	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ (𝑁↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4021  (class class class)co 5900  ℂcc 7844  ℝcr 7845  0cc0 7846  1c1 7847   · cmul 7851   < clt 8027   ≤ cle 8028  ℕcn 8954  2c2 9005  ↑cexp 10559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-iord 4387  df-on 4389  df-ilim 4390  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-recs 6334  df-frec 6420  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665  df-inn 8955  df-2 9013  df-n0 9212  df-z 9289  df-uz 9564  df-seqfrec 10485  df-exp 10560

This theorem is referenced by:  zzlesq  10729