Theorem qbtwnz 9566

Description: There is a unique greatest integer less than or equal to a rational number. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qbtwnz	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem qbtwnz

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 9019	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		zq 9020	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℚ)
3		simpl 107	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℚ)
4		qlelttric 9559	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑗 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑗))
5	2, 3, 4	syl2an2 559	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑗))
6	1, 5	exbtwnzlemex 9564	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
7	6, 1	exbtwnz 9565	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∨ wo 662   ∈ wcel 1436  ∃!wreu 2357   class class class wbr 3814  (class class class)co 5594  1c1 7272   + caddc 7274   < clt 7443   ≤ cle 7444  ℤcz 8660  ℚcq 9013

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384  ax-arch 7385

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056  df-inn 8335  df-n0 8584  df-z 8661  df-q 9014  df-rp 9044

This theorem is referenced by:  flqcl  9583  flqlelt  9586  flqbi  9600