Theorem sqrt0rlem 11031

Description: Lemma for sqrt0 11032. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt0rlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)) ↔ 𝐴 = 0)

Proof of Theorem sqrt0rlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7963	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqeq0 10602	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
4	3	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) = 0) → 𝐴 = 0)
5	4	adantrr 479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)) → 𝐴 = 0)
6		0re 7976	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		eleq1 2252	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 0 ∈ ℝ))
8	6, 7	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 ∈ ℝ)
9		sq0i 10631	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = 0)
10		0le0 9027	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
11		breq2 4022	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ 0))
12	10, 11	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → 0 ≤ 𝐴)
13	8, 9, 12	jca32 310	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
14	5, 13	impbii 126	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)) ↔ 𝐴 = 0)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  ℂcc 7828  ℝcr 7829  0cc0 7830   ≤ cle 8012  2c2 8989  ↑cexp 10538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-seqfrec 10465  df-exp 10539

This theorem is referenced by:  sqrt0  11032