Theorem sqrt0rlem 10567

Description: Lemma for sqrt0 10568. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt0rlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)) ↔ 𝐴 = 0)

Proof of Theorem sqrt0rlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7572	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqeq0 10149	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
4	3	biimpa 291	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) = 0) → 𝐴 = 0)
5	4	adantrr 464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)) → 𝐴 = 0)
6		0re 7585	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		eleq1 2157	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 0 ∈ ℝ))
8	6, 7	mpbiri 167	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 ∈ ℝ)
9		sq0i 10177	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = 0)
10		0le0 8609	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
11		breq2 3871	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ 0))
12	10, 11	mpbiri 167	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → 0 ≤ 𝐴)
13	8, 9, 12	jca32 304	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
14	5, 13	impbii 125	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)) ↔ 𝐴 = 0)

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1296   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  ℂcc 7445  ℝcr 7446  0cc0 7447   ≤ cle 7620  2c2 8571  ↑cexp 10085

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-frec 6194  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-iseq 10002  df-seq3 10003  df-exp 10086

This theorem is referenced by:  sqrt0  10568