Theorem sqrt0rlem 11025

Description: Lemma for sqrt0 11026. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt0rlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)) ↔ 𝐴 = 0)

Proof of Theorem sqrt0rlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7957	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqeq0 10596	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
4	3	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) = 0) → 𝐴 = 0)
5	4	adantrr 479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)) → 𝐴 = 0)
6		0re 7970	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		eleq1 2250	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 0 ∈ ℝ))
8	6, 7	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 ∈ ℝ)
9		sq0i 10625	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = 0)
10		0le0 9021	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
11		breq2 4019	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ 0))
12	10, 11	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → 0 ≤ 𝐴)
13	8, 9, 12	jca32 310	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
14	5, 13	impbii 126	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)) ↔ 𝐴 = 0)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  ℂcc 7822  ℝcr 7823  0cc0 7824   ≤ cle 8006  2c2 8983  ↑cexp 10532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-seqfrec 10459  df-exp 10533

This theorem is referenced by:  sqrt0  11026