Theorem iserex 12088

Description: An infinite series converges, if and only if the series does with initial terms removed. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2ser.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iserex.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
iserex.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
iserex	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iserex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqeq1 10870	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
2	1	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
3	2	bicomd 141	. . 3 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )))
5		simpll 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝜑)
6		iserex.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
7		clim2ser.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
8	6, 7	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9		eluzelz 9914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 9752	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
12		ax-1cn 8266	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
13		npcan 8529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
14	11, 12, 13	sylancl 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
15	14	seqeq1d 10873	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) = seq𝑁( + , 𝐹))
16	5, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) = seq𝑁( + , 𝐹))
17		simplr 533	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18	17, 7	eleqtrrdi 2332	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
19		iserex.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
20	5, 19	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
21		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
22		climdm 12044	. . . . . . . 8 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
23	21, 22	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
24	7, 18, 20, 23	clim2ser 12086	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
25	16, 24	eqbrtrrd 4152	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
26		climrel 12029	. . . . . 6 ⊢ Rel ⇝
27	26	releldmi 5019	. . . . 5 ⊢ (seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
28	25, 27	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
29		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
30	29, 7	eleqtrrdi 2332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
31	30	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
32		simpll 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝜑)
33	32, 19	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
34	32, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) = seq𝑁( + , 𝐹))
35		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
36		climdm 12044	. . . . . . . 8 ⊢ (seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹)))
37	35, 36	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹)))
38	34, 37	eqbrtrd 4150	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹)))
39	7, 31, 33, 38	clim2ser2 12087	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹)) + (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
40	26	releldmi 5019	. . . . 5 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹)) + (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
41	39, 40	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
42	28, 41	impbida 604	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
43	42	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )))
44		uzm1 9936	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
45	8, 44	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
46	4, 43, 45	mpjaod 730	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  dom cdm 4772  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  1c1 8174   + caddc 8176   − cmin 8491  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904  seqcseq 10867   ⇝ cli 12027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-rp 10038  df-fz 10395  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028

This theorem is referenced by:  isumsplit  12241  isumrpcl  12244  geolim2  12262  cvgratz  12282  cvgratgt0  12283  mertenslemub  12284  mertenslemi1  12285  mertenslem2  12286  mertensabs  12287  eftlcvg  12437  log2tlbndlog2  16065  trilpolemisumle  17061  trilpolemeq1  17063  trilpolemlt1  17064  nconstwlpolemgt0  17088