Theorem iserex 11295

Description: An infinite series converges, if and only if the series does with initial terms removed. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2ser.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iserex.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
iserex.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
iserex	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iserex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqeq1 10397	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
2	1	eleq1d 2239	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
3	2	bicomd 140	. . 3 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )))
5		simpll 524	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝜑)
6		iserex.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
7		clim2ser.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
8	6, 7	eleqtrdi 2263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9		eluzelz 9489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 9328	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
12		ax-1cn 7860	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
13		npcan 8121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
14	11, 12, 13	sylancl 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
15	14	seqeq1d 10400	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) = seq𝑁( + , 𝐹))
16	5, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) = seq𝑁( + , 𝐹))
17		simplr 525	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18	17, 7	eleqtrrdi 2264	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
19		iserex.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
20	5, 19	sylan 281	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
21		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
22		climdm 11251	. . . . . . . 8 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
23	21, 22	sylib 121	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
24	7, 18, 20, 23	clim2ser 11293	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
25	16, 24	eqbrtrrd 4011	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
26		climrel 11236	. . . . . 6 ⊢ Rel ⇝
27	26	releldmi 4848	. . . . 5 ⊢ (seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
28	25, 27	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
29		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
30	29, 7	eleqtrrdi 2264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
31	30	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
32		simpll 524	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 𝜑)
33	32, 19	sylan 281	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
34	32, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) = seq𝑁( + , 𝐹))
35		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
36		climdm 11251	. . . . . . . 8 ⊢ (seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹)))
37	35, 36	sylib 121	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹)))
38	34, 37	eqbrtrd 4009	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹)))
39	7, 31, 33, 38	clim2ser2 11294	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹)) + (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
40	26	releldmi 4848	. . . . 5 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹)) + (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1))) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
41	39, 40	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
42	28, 41	impbida 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
43	42	ex 114	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )))
44		uzm1 9510	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
45	8, 44	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
46	4, 43, 45	mpjaod 713	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3987  dom cdm 4609  ‘cfv 5196  (class class class)co 5851  ℂcc 7765  1c1 7768   + caddc 7770   − cmin 8083  ℤcz 9205  ℤ_≥cuz 9480  seqcseq 10394   ⇝ cli 11234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885  ax-arch 7886  ax-caucvg 7887

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-2 8930  df-3 8931  df-4 8932  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-rp 9604  df-fz 9959  df-seqfrec 10395  df-exp 10469  df-cj 10799  df-re 10800  df-im 10801  df-rsqrt 10955  df-abs 10956  df-clim 11235

This theorem is referenced by:  isumsplit  11447  isumrpcl  11450  geolim2  11468  cvgratz  11488  cvgratgt0  11489  mertenslemub  11490  mertenslemi1  11491  mertenslem2  11492  mertensabs  11493  eftlcvg  11643  trilpolemisumle  14035  trilpolemeq1  14037  trilpolemlt1  14038  nconstwlpolemgt0  14060