Theorem 0fz1 13559

Description: Two ways to say a finite 1-based sequence is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
0fz1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 Fn (1...𝑁)) → (𝐹 = ∅ ↔ 𝑁 = 0))

Proof of Theorem 0fz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fn0 6652	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
2		fndmu 6628	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn (1...𝑁) ∧ 𝐹 Fn ∅) → (1...𝑁) = ∅)
3	1, 2	sylan2br 604	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn (1...𝑁) ∧ 𝐹 = ∅) → (1...𝑁) = ∅)
4	3	ex 416	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn (1...𝑁) → (𝐹 = ∅ → (1...𝑁) = ∅))
5		fneq2 6613	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) = ∅ → (𝐹 Fn (1...𝑁) ↔ 𝐹 Fn ∅))
6	5, 1	bitrdi 289	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) = ∅ → (𝐹 Fn (1...𝑁) ↔ 𝐹 = ∅))
7	6	biimpcd 251	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn (1...𝑁) → ((1...𝑁) = ∅ → 𝐹 = ∅))
8	4, 7	impbid 214	. 2 ⊢ (𝐹 Fn (1...𝑁) → (𝐹 = ∅ ↔ (1...𝑁) = ∅))
9		fz1n 13557	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1...𝑁) = ∅ ↔ 𝑁 = 0))
10	8, 9	sylan9bbr 518	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 Fn (1...𝑁)) → (𝐹 = ∅ ↔ 𝑁 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∅c0 4286   Fn wfn 6516  (class class class)co 7396  0cc0 11084  1c1 11085  ℕ₀cn0 12491  ...cfz 13522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-fz 13523

This theorem is referenced by: (None)