Theorem prmgaplcmlem2 17014

Description: Lemma for prmgaplcm 17022: The least common multiple of all positive integers less than or equal to a number plus an integer greater than 1 and less than or equal to the number are not coprime. (Contributed by AV, 14-Aug-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmgaplcmlem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) gcd 𝐼))

Proof of Theorem prmgaplcmlem2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13465	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘2))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘2))
3		breq1 5089	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ↔ 𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼)))
4		breq1 5089	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ∥ 𝐼 ↔ 𝐼 ∥ 𝐼))
5	3, 4	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝑖 ∥ 𝐼) ↔ (𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝐼 ∥ 𝐼)))
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑖 = 𝐼) → ((𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝑖 ∥ 𝐼) ↔ (𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝐼 ∥ 𝐼)))
7		prmgaplcmlem1 17013	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼))
8		elfzelz 13469	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
9		iddvds 16229	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∥ 𝐼)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∥ 𝐼)
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ 𝐼)
12	7, 11	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝐼 ∥ 𝐼))
13	2, 6, 12	rspcedvd 3567	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝑖 ∥ 𝐼))
14		fzssz 13471	. . . . . 6 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℤ
15		fzfid 13926	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
16		0nelfz1 13488	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∉ (1...𝑁)
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∉ (1...𝑁))
18		lcmfn0cl 16586	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin ∧ 0 ∉ (1...𝑁)) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
19	14, 15, 17, 18	mp3an2i 1469	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
21		eluz2nn 12829	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐼 ∈ ℕ)
22	1, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ)
23	22	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
24	20, 23	nnaddcld 12220	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∈ ℕ)
25		ncoprmgcdgt1b 16611	. . 3 ⊢ ((((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝑖 ∥ 𝐼) ↔ 1 < (((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) gcd 𝐼)))
26	24, 23, 25	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝑖 ∥ 𝐼) ↔ 1 < (((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) gcd 𝐼)))
27	13, 26	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) gcd 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170  ℕcn 12165  2c2 12227  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452   ∥ cdvds 16212   gcd cgcd 16454  lcmclcmf 16549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-prod 15860  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-lcmf 16551

This theorem is referenced by:  prmgaplcm  17022