Theorem prmgaplcmlem2 17072

Description: Lemma for prmgaplcm 17080: The least common multiple of all positive integers less than or equal to a number plus an integer greater than 1 and less then or equal to the number are not coprime. (Contributed by AV, 14-Aug-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmgaplcmlem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) gcd 𝐼))

Proof of Theorem prmgaplcmlem2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13537	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘2))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘2))
3		breq1 5122	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ↔ 𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼)))
4		breq1 5122	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ∥ 𝐼 ↔ 𝐼 ∥ 𝐼))
5	3, 4	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝑖 ∥ 𝐼) ↔ (𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝐼 ∥ 𝐼)))
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑖 = 𝐼) → ((𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝑖 ∥ 𝐼) ↔ (𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝐼 ∥ 𝐼)))
7		prmgaplcmlem1 17071	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼))
8		elfzelz 13541	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
9		iddvds 16289	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∥ 𝐼)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∥ 𝐼)
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ 𝐼)
12	7, 11	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝐼 ∥ 𝐼))
13	2, 6, 12	rspcedvd 3603	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝑖 ∥ 𝐼))
14		fzssz 13543	. . . . . 6 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℤ
15		fzfid 13991	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
16		0nelfz1 13560	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∉ (1...𝑁)
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∉ (1...𝑁))
18		lcmfn0cl 16645	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin ∧ 0 ∉ (1...𝑁)) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
19	14, 15, 17, 18	mp3an2i 1468	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
21		eluz2nn 12898	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐼 ∈ ℕ)
22	1, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ)
23	22	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
24	20, 23	nnaddcld 12292	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∈ ℕ)
25		ncoprmgcdgt1b 16670	. . 3 ⊢ ((((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝑖 ∥ 𝐼) ↔ 1 < (((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) gcd 𝐼)))
26	24, 23, 25	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝑖 ∥ 𝐼) ↔ 1 < (((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) gcd 𝐼)))
27	13, 26	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) gcd 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3036  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Fincfn 8959  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   < clt 11269  ℕcn 12240  2c2 12295  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ...cfz 13524   ∥ cdvds 16272   gcd cgcd 16513  lcmclcmf 16608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-prod 15920  df-dvds 16273  df-gcd 16514  df-lcmf 16610

This theorem is referenced by:  prmgaplcm  17080