Theorem prmgaplcmlem2 17054

Description: Lemma for prmgaplcm 17062: The least common multiple of all positive integers less than or equal to a number plus an integer greater than 1 and less then or equal to the number are not coprime. (Contributed by AV, 14-Aug-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmgaplcmlem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) gcd 𝐼))

Proof of Theorem prmgaplcmlem2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13551	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘2))
2	1	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘2))
3		breq1 5156	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ↔ 𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼)))
4		breq1 5156	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ∥ 𝐼 ↔ 𝐼 ∥ 𝐼))
5	3, 4	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝑖 ∥ 𝐼) ↔ (𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝐼 ∥ 𝐼)))
6	5	adantl 480	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑖 = 𝐼) → ((𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝑖 ∥ 𝐼) ↔ (𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝐼 ∥ 𝐼)))
7		prmgaplcmlem1 17053	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼))
8		elfzelz 13555	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
9		iddvds 16272	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∥ 𝐼)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∥ 𝐼)
11	10	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ 𝐼)
12	7, 11	jca 510	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝐼 ∥ 𝐼))
13	2, 6, 12	rspcedvd 3610	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝑖 ∥ 𝐼))
14		fzssz 13557	. . . . . 6 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℤ
15		fzfid 13993	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
16		0nelfz1 13574	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∉ (1...𝑁)
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∉ (1...𝑁))
18		lcmfn0cl 16627	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin ∧ 0 ∉ (1...𝑁)) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
19	14, 15, 17, 18	mp3an2i 1463	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
20	19	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
21		eluz2nn 12920	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐼 ∈ ℕ)
22	1, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ)
23	22	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
24	20, 23	nnaddcld 12316	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∈ ℕ)
25		ncoprmgcdgt1b 16652	. . 3 ⊢ ((((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝑖 ∥ 𝐼) ↔ 1 < (((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) gcd 𝐼)))
26	24, 23, 25	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝑖 ∥ 𝐼) ↔ 1 < (((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) gcd 𝐼)))
27	13, 26	mpbid 231	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) gcd 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∉ wnel 3036  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5153  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  Fincfn 8974  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   < clt 11298  ℕcn 12264  2c2 12319  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12874  ...cfz 13538   ∥ cdvds 16256   gcd cgcd 16494  lcmclcmf 16590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-prod 15908  df-dvds 16257  df-gcd 16495  df-lcmf 16592

This theorem is referenced by:  prmgaplcm  17062