MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplcmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplcmlem2 17086
Description: Lemma for prmgaplcm 17094: The least common multiple of all positive integers less than or equal to a number plus an integer greater than 1 and less then or equal to the number are not coprime. (Contributed by AV, 14-Aug-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmgaplcmlem2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) gcd 𝐼))

Proof of Theorem prmgaplcmlem2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzuz 13557 . . . 4 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ (ℤ‘2))
21adantl 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ (ℤ‘2))
3 breq1 5151 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ↔ 𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼)))
4 breq1 5151 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝐼𝐼𝐼))
53, 4anbi12d 632 . . . 4 (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝑖𝐼) ↔ (𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝐼𝐼)))
65adantl 481 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑖 = 𝐼) → ((𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝑖𝐼) ↔ (𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝐼𝐼)))
7 prmgaplcmlem1 17085 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼))
8 elfzelz 13561 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
9 iddvds 16304 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼𝐼)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼𝐼)
1110adantl 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼𝐼)
127, 11jca 511 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝐼𝐼))
132, 6, 12rspcedvd 3624 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝑖𝐼))
14 fzssz 13563 . . . . . 6 (1...𝑁) ⊆ ℤ
15 fzfid 14011 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
16 0nelfz1 13580 . . . . . . 7 0 ∉ (1...𝑁)
1716a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∉ (1...𝑁))
18 lcmfn0cl 16660 . . . . . 6 (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin ∧ 0 ∉ (1...𝑁)) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
1914, 15, 17, 18mp3an2i 1465 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
2019adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
21 eluz2nn 12922 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (ℤ‘2) → 𝐼 ∈ ℕ)
221, 21syl 17 . . . . 5 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ)
2322adantl 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
2420, 23nnaddcld 12316 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∈ ℕ)
25 ncoprmgcdgt1b 16685 . . 3 ((((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝑖𝐼) ↔ 1 < (((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) gcd 𝐼)))
2624, 23, 25syl2anc 584 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) ∧ 𝑖𝐼) ↔ 1 < (((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) gcd 𝐼)))
2713, 26mpbid 232 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼) gcd 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wnel 3044  wrex 3068  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cn 12264  2c2 12319  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  cdvds 16287   gcd cgcd 16528  lcmclcmf 16623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-prod 15937  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-lcmf 16625
This theorem is referenced by:  prmgaplcm  17094
  Copyright terms: Public domain W3C validator