Theorem prmolelcmf 16960

Description: The primorial of a positive integer is less than or equal to the least common multiple of all positive integers less than or equal to the integer. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.) (Revised by AV, 29-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmolelcmf	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Proof of Theorem prmolelcmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmocl 16946	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) ∈ ℕ)
2	1	nnzd 12495	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) ∈ ℤ)
3		fzssz 13426	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℤ
4		fzfid 13880	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
5		0nelfz1 13443	. . . . 5 ⊢ 0 ∉ (1...𝑁)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∉ (1...𝑁))
7		lcmfn0cl 16537	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin ∧ 0 ∉ (1...𝑁)) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
8	3, 4, 6, 7	mp3an2i 1468	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
9	2, 8	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((#p‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ))
10		prmodvdslcmf 16959	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
11		dvdsle 16221	. 2 ⊢ (((#p‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ) → ((#p‘𝑁) ∥ (lcm‘(1...𝑁)) → (#p‘𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
12	9, 10, 11	sylc 65	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3032   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  0cc0 11006  1c1 11007   ≤ cle 11147  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ...cfz 13407   ∥ cdvds 16163  lcmclcmf 16500  #_pcprmo 16943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-prod 15811  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-lcmf 16502  df-prm 16583  df-prmo 16944

This theorem is referenced by: (None)