Theorem lcmflefac 16585

Description: The least common multiple of all positive integers less than or equal to an integer is less than or equal to the factorial of the integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmflefac	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (lcm‘(1...𝑁)) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem lcmflefac

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzssz 13503	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℤ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ⊆ ℤ)
3		fzfid 13938	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
4		0nelfz1 13520	. . . 4 ⊢ 0 ∉ (1...𝑁)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∉ (1...𝑁))
6	2, 3, 5	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin ∧ 0 ∉ (1...𝑁)))
7		nnnn0 12479	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	7	faccld 14244	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
9		elfznn 13530	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
10		elfzuz3 13498	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
11	10	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
12		dvdsfac 16269	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → 𝑚 ∥ (!‘𝑁))
13	9, 11, 12	syl2an2 685	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → 𝑚 ∥ (!‘𝑁))
14	13	ralrimiva 3147	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑚 ∈ (1...𝑁)𝑚 ∥ (!‘𝑁))
15	8, 14	jca 513	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ (1...𝑁)𝑚 ∥ (!‘𝑁)))
16		lcmfledvds 16569	. 2 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin ∧ 0 ∉ (1...𝑁)) → (((!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ (1...𝑁)𝑚 ∥ (!‘𝑁)) → (lcm‘(1...𝑁)) ≤ (!‘𝑁)))
17	6, 15, 16	sylc 65	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (lcm‘(1...𝑁)) ≤ (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   ∉ wnel 3047  ∀wral 3062   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  0cc0 11110  1c1 11111   ≤ cle 11249  ℕcn 12212  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822  ...cfz 13484  !cfa 14233   ∥ cdvds 16197  lcmclcmf 16526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-prod 15850  df-dvds 16198  df-lcmf 16528

This theorem is referenced by: (None)