Theorem lcmflefac 16546

Description: The least common multiple of all positive integers less than or equal to an integer is less than or equal to the factorial of the integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmflefac	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (lcm‘(1...𝑁)) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem lcmflefac

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzssz 13417	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℤ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ⊆ ℤ)
3		fzfid 13868	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
4		0nelfz1 13434	. . . 4 ⊢ 0 ∉ (1...𝑁)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∉ (1...𝑁))
6	2, 3, 5	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin ∧ 0 ∉ (1...𝑁)))
7		nnnn0 12379	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	7	faccld 14179	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
9		elfznn 13444	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
10		elfzuz3 13412	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
12		dvdsfac 16224	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → 𝑚 ∥ (!‘𝑁))
13	9, 11, 12	syl2an2 686	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → 𝑚 ∥ (!‘𝑁))
14	13	ralrimiva 3121	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑚 ∈ (1...𝑁)𝑚 ∥ (!‘𝑁))
15	8, 14	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ (1...𝑁)𝑚 ∥ (!‘𝑁)))
16		lcmfledvds 16530	. 2 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin ∧ 0 ∉ (1...𝑁)) → (((!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ (1...𝑁)𝑚 ∥ (!‘𝑁)) → (lcm‘(1...𝑁)) ≤ (!‘𝑁)))
17	6, 15, 16	sylc 65	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (lcm‘(1...𝑁)) ≤ (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3029  ∀wral 3044   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5088  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  Fincfn 8863  0cc0 10997  1c1 10998   ≤ cle 11138  ℕcn 12116  ℤcz 12459  ℤ_≥cuz 12723  ...cfz 13398  !cfa 14168   ∥ cdvds 16150  lcmclcmf 16487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-inf2 9525  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-se 5567  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-sup 9320  df-inf 9321  df-oi 9390  df-card 9823  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-rp 12882  df-fz 13399  df-fzo 13546  df-seq 13897  df-exp 13957  df-fac 14169  df-hash 14226  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15382  df-prod 15798  df-dvds 16151  df-lcmf 16489

This theorem is referenced by: (None)