Theorem lcmflefac 16587

Description: The least common multiple of all positive integers less than or equal to an integer is less than or equal to the factorial of the integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmflefac	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (lcm‘(1...𝑁)) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem lcmflefac

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzssz 13454	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℤ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ⊆ ℤ)
3		fzfid 13908	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
4		0nelfz1 13471	. . . 4 ⊢ 0 ∉ (1...𝑁)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∉ (1...𝑁))
6	2, 3, 5	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin ∧ 0 ∉ (1...𝑁)))
7		nnnn0 12420	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	7	faccld 14219	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
9		elfznn 13481	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
10		elfzuz3 13449	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
12		dvdsfac 16265	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → 𝑚 ∥ (!‘𝑁))
13	9, 11, 12	syl2an2 687	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → 𝑚 ∥ (!‘𝑁))
14	13	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑚 ∈ (1...𝑁)𝑚 ∥ (!‘𝑁))
15	8, 14	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ (1...𝑁)𝑚 ∥ (!‘𝑁)))
16		lcmfledvds 16571	. 2 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin ∧ 0 ∉ (1...𝑁)) → (((!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ (1...𝑁)𝑚 ∥ (!‘𝑁)) → (lcm‘(1...𝑁)) ≤ (!‘𝑁)))
17	6, 15, 16	sylc 65	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (lcm‘(1...𝑁)) ≤ (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  ∀wral 3052   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  0cc0 11038  1c1 11039   ≤ cle 11179  ℕcn 12157  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435  !cfa 14208   ∥ cdvds 16191  lcmclcmf 16528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-prod 15839  df-dvds 16192  df-lcmf 16530

This theorem is referenced by: (None)