Theorem lcmflefac 16205

Description: The least common multiple of all positive integers less than or equal to an integer is less than or equal to the factorial of the integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmflefac	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (lcm‘(1...𝑁)) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem lcmflefac

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzssz 13114	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℤ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ⊆ ℤ)
3		fzfid 13546	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
4		0nelfz1 13131	. . . 4 ⊢ 0 ∉ (1...𝑁)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∉ (1...𝑁))
6	2, 3, 5	3jca 1130	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin ∧ 0 ∉ (1...𝑁)))
7		nnnn0 12097	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	7	faccld 13850	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
9		elfznn 13141	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
10		elfzuz3 13109	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
11	10	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
12		dvdsfac 15887	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → 𝑚 ∥ (!‘𝑁))
13	9, 11, 12	syl2an2 686	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → 𝑚 ∥ (!‘𝑁))
14	13	ralrimiva 3105	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑚 ∈ (1...𝑁)𝑚 ∥ (!‘𝑁))
15	8, 14	jca 515	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ (1...𝑁)𝑚 ∥ (!‘𝑁)))
16		lcmfledvds 16189	. 2 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin ∧ 0 ∉ (1...𝑁)) → (((!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ (1...𝑁)𝑚 ∥ (!‘𝑁)) → (lcm‘(1...𝑁)) ≤ (!‘𝑁)))
17	6, 15, 16	sylc 65	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (lcm‘(1...𝑁)) ≤ (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   ∈ wcel 2110   ∉ wnel 3046  ∀wral 3061   ⊆ wss 3866   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Fincfn 8626  0cc0 10729  1c1 10730   ≤ cle 10868  ℕcn 11830  ℤcz 12176  ℤ_≥cuz 12438  ...cfz 13095  !cfa 13839   ∥ cdvds 15815  lcmclcmf 16146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-prod 15468  df-dvds 15816  df-lcmf 16148

This theorem is referenced by: (None)