Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmflefac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmflefac 15984
 Description: The least common multiple of all positive integers less than or equal to an integer is less than or equal to the factorial of the integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmflefac (𝑁 ∈ ℕ → (lcm‘(1...𝑁)) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem lcmflefac
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssz 12906 . . . 4 (1...𝑁) ⊆ ℤ
21a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ⊆ ℤ)
3 fzfid 13338 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
4 0nelfz1 12923 . . . 4 0 ∉ (1...𝑁)
54a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∉ (1...𝑁))
62, 3, 53jca 1125 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin ∧ 0 ∉ (1...𝑁)))
7 nnnn0 11894 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
87faccld 13642 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
9 elfznn 12933 . . . . 5 (𝑚 ∈ (1...𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
10 elfzuz3 12901 . . . . . 6 (𝑚 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑚))
1110adantl 485 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑚))
12 dvdsfac 15670 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑚)) → 𝑚 ∥ (!‘𝑁))
139, 11, 12syl2an2 685 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → 𝑚 ∥ (!‘𝑁))
1413ralrimiva 3149 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑚 ∈ (1...𝑁)𝑚 ∥ (!‘𝑁))
158, 14jca 515 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ (1...𝑁)𝑚 ∥ (!‘𝑁)))
16 lcmfledvds 15968 . 2 (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin ∧ 0 ∉ (1...𝑁)) → (((!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ (1...𝑁)𝑚 ∥ (!‘𝑁)) → (lcm‘(1...𝑁)) ≤ (!‘𝑁)))
176, 15, 16sylc 65 1 (𝑁 ∈ ℕ → (lcm‘(1...𝑁)) ≤ (!‘𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3091  ∀wral 3106   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8494  0cc0 10528  1c1 10529   ≤ cle 10667  ℕcn 11627  ℤcz 11971  ℤ≥cuz 12233  ...cfz 12887  !cfa 13631   ∥ cdvds 15601  lcmclcmf 15925 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-inf2 9090  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-rp 12380  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-seq 13367  df-exp 13428  df-fac 13632  df-hash 13689  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-prod 15254  df-dvds 15602  df-lcmf 15927 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator