MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplcm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplcm 17002
Description: Alternate proof of prmgap 17001: in contrast to prmgap 17001, where the gap starts at n! , the factorial of n, the gap starts at the least common multiple of all positive integers less than or equal to n. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
prmgaplcm βˆ€π‘› ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑛 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™)
Distinct variable group:   𝑛,𝑝,π‘ž,𝑧

Proof of Theorem prmgaplcm
Dummy variables 𝑖 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2 fzssz 13509 . . . . . . . 8 (1...π‘₯) βŠ† β„€
32a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (1...π‘₯) βŠ† β„€)
4 fzfi 13943 . . . . . . . 8 (1...π‘₯) ∈ Fin
54a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (1...π‘₯) ∈ Fin)
6 0nelfz1 13526 . . . . . . . 8 0 βˆ‰ (1...π‘₯)
76a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„• β†’ 0 βˆ‰ (1...π‘₯))
8 lcmfn0cl 16570 . . . . . . 7 (((1...π‘₯) βŠ† β„€ ∧ (1...π‘₯) ∈ Fin ∧ 0 βˆ‰ (1...π‘₯)) β†’ (lcmβ€˜(1...π‘₯)) ∈ β„•)
93, 5, 7, 8syl3anc 1368 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (lcmβ€˜(1...π‘₯)) ∈ β„•)
109adantl 481 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (lcmβ€˜(1...π‘₯)) ∈ β„•)
11 eqid 2726 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯)))
1210, 11fmptd 7109 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))):β„•βŸΆβ„•)
13 nnex 12222 . . . . . 6 β„• ∈ V
1413, 13pm3.2i 470 . . . . 5 (β„• ∈ V ∧ β„• ∈ V)
15 elmapg 8835 . . . . 5 ((β„• ∈ V ∧ β„• ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))) ∈ (β„• ↑m β„•) ↔ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))):β„•βŸΆβ„•))
1614, 15mp1i 13 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))) ∈ (β„• ↑m β„•) ↔ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))):β„•βŸΆβ„•))
1712, 16mpbird 257 . . 3 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))) ∈ (β„• ↑m β„•))
18 prmgaplcmlem2 16994 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ 1 < (((lcmβ€˜(1...𝑛)) + 𝑖) gcd 𝑖))
19 eqidd 2727 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))))
20 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (1...π‘₯) = (1...𝑛))
2120fveq2d 6889 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (lcmβ€˜(1...π‘₯)) = (lcmβ€˜(1...𝑛)))
2221adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) ∧ π‘₯ = 𝑛) β†’ (lcmβ€˜(1...π‘₯)) = (lcmβ€˜(1...𝑛)))
23 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
24 fzssz 13509 . . . . . . . . . 10 (1...𝑛) βŠ† β„€
25 fzfi 13943 . . . . . . . . . 10 (1...𝑛) ∈ Fin
2624, 25pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 ((1...𝑛) βŠ† β„€ ∧ (1...𝑛) ∈ Fin)
27 lcmfcl 16572 . . . . . . . . 9 (((1...𝑛) βŠ† β„€ ∧ (1...𝑛) ∈ Fin) β†’ (lcmβ€˜(1...𝑛)) ∈ β„•0)
2826, 27mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ (lcmβ€˜(1...𝑛)) ∈ β„•0)
2919, 22, 23, 28fvmptd 6999 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯)))β€˜π‘›) = (lcmβ€˜(1...𝑛)))
3029oveq1d 7420 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ (((π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯)))β€˜π‘›) + 𝑖) = ((lcmβ€˜(1...𝑛)) + 𝑖))
3130oveq1d 7420 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ ((((π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯)))β€˜π‘›) + 𝑖) gcd 𝑖) = (((lcmβ€˜(1...𝑛)) + 𝑖) gcd 𝑖))
3218, 31breqtrrd 5169 . . . 4 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ 1 < ((((π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯)))β€˜π‘›) + 𝑖) gcd 𝑖))
3332ralrimiva 3140 . . 3 (𝑛 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘– ∈ (2...𝑛)1 < ((((π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯)))β€˜π‘›) + 𝑖) gcd 𝑖))
341, 17, 33prmgaplem8 17000 . 2 (𝑛 ∈ β„• β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑛 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™))
3534rgen 3057 1 βˆ€π‘› ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑛 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ‰ wnel 3040  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633   gcd cgcd 16442  lcmclcmf 16533  β„™cprime 16615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-prod 15856  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-lcmf 16535  df-prm 16616
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator