MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplcm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplcm 17028
Description: Alternate proof of prmgap 17027: in contrast to prmgap 17027, where the gap starts at n! , the factorial of n, the gap starts at the least common multiple of all positive integers less than or equal to n. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
prmgaplcm βˆ€π‘› ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑛 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™)
Distinct variable group:   𝑛,𝑝,π‘ž,𝑧

Proof of Theorem prmgaplcm
Dummy variables 𝑖 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2 fzssz 13535 . . . . . . . 8 (1...π‘₯) βŠ† β„€
32a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (1...π‘₯) βŠ† β„€)
4 fzfi 13969 . . . . . . . 8 (1...π‘₯) ∈ Fin
54a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (1...π‘₯) ∈ Fin)
6 0nelfz1 13552 . . . . . . . 8 0 βˆ‰ (1...π‘₯)
76a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„• β†’ 0 βˆ‰ (1...π‘₯))
8 lcmfn0cl 16596 . . . . . . 7 (((1...π‘₯) βŠ† β„€ ∧ (1...π‘₯) ∈ Fin ∧ 0 βˆ‰ (1...π‘₯)) β†’ (lcmβ€˜(1...π‘₯)) ∈ β„•)
93, 5, 7, 8syl3anc 1368 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (lcmβ€˜(1...π‘₯)) ∈ β„•)
109adantl 480 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (lcmβ€˜(1...π‘₯)) ∈ β„•)
11 eqid 2725 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯)))
1210, 11fmptd 7119 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))):β„•βŸΆβ„•)
13 nnex 12248 . . . . . 6 β„• ∈ V
1413, 13pm3.2i 469 . . . . 5 (β„• ∈ V ∧ β„• ∈ V)
15 elmapg 8856 . . . . 5 ((β„• ∈ V ∧ β„• ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))) ∈ (β„• ↑m β„•) ↔ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))):β„•βŸΆβ„•))
1614, 15mp1i 13 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))) ∈ (β„• ↑m β„•) ↔ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))):β„•βŸΆβ„•))
1712, 16mpbird 256 . . 3 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))) ∈ (β„• ↑m β„•))
18 prmgaplcmlem2 17020 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ 1 < (((lcmβ€˜(1...𝑛)) + 𝑖) gcd 𝑖))
19 eqidd 2726 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))))
20 oveq2 7424 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (1...π‘₯) = (1...𝑛))
2120fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (lcmβ€˜(1...π‘₯)) = (lcmβ€˜(1...𝑛)))
2221adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) ∧ π‘₯ = 𝑛) β†’ (lcmβ€˜(1...π‘₯)) = (lcmβ€˜(1...𝑛)))
23 simpl 481 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
24 fzssz 13535 . . . . . . . . . 10 (1...𝑛) βŠ† β„€
25 fzfi 13969 . . . . . . . . . 10 (1...𝑛) ∈ Fin
2624, 25pm3.2i 469 . . . . . . . . 9 ((1...𝑛) βŠ† β„€ ∧ (1...𝑛) ∈ Fin)
27 lcmfcl 16598 . . . . . . . . 9 (((1...𝑛) βŠ† β„€ ∧ (1...𝑛) ∈ Fin) β†’ (lcmβ€˜(1...𝑛)) ∈ β„•0)
2826, 27mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ (lcmβ€˜(1...𝑛)) ∈ β„•0)
2919, 22, 23, 28fvmptd 7007 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯)))β€˜π‘›) = (lcmβ€˜(1...𝑛)))
3029oveq1d 7431 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ (((π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯)))β€˜π‘›) + 𝑖) = ((lcmβ€˜(1...𝑛)) + 𝑖))
3130oveq1d 7431 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ ((((π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯)))β€˜π‘›) + 𝑖) gcd 𝑖) = (((lcmβ€˜(1...𝑛)) + 𝑖) gcd 𝑖))
3218, 31breqtrrd 5171 . . . 4 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ 1 < ((((π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯)))β€˜π‘›) + 𝑖) gcd 𝑖))
3332ralrimiva 3136 . . 3 (𝑛 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘– ∈ (2...𝑛)1 < ((((π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯)))β€˜π‘›) + 𝑖) gcd 𝑖))
341, 17, 33prmgaplem8 17026 . 2 (𝑛 ∈ β„• β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑛 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™))
3534rgen 3053 1 βˆ€π‘› ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑛 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ‰ wnel 3036  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ↑m cmap 8843  Fincfn 8962  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474  β„•cn 12242  2c2 12297  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588  ...cfz 13516  ..^cfzo 13659   gcd cgcd 16468  lcmclcmf 16559  β„™cprime 16641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-prod 15882  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-lcmf 16561  df-prm 16642
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator