MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplcm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplcm 16939
Description: Alternate proof of prmgap 16938: in contrast to prmgap 16938, where the gap starts at n! , the factorial of n, the gap starts at the least common multiple of all positive integers less than or equal to n. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
prmgaplcm βˆ€π‘› ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑛 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™)
Distinct variable group:   𝑛,𝑝,π‘ž,𝑧

Proof of Theorem prmgaplcm
Dummy variables 𝑖 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2 fzssz 13450 . . . . . . . 8 (1...π‘₯) βŠ† β„€
32a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (1...π‘₯) βŠ† β„€)
4 fzfi 13884 . . . . . . . 8 (1...π‘₯) ∈ Fin
54a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (1...π‘₯) ∈ Fin)
6 0nelfz1 13467 . . . . . . . 8 0 βˆ‰ (1...π‘₯)
76a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„• β†’ 0 βˆ‰ (1...π‘₯))
8 lcmfn0cl 16509 . . . . . . 7 (((1...π‘₯) βŠ† β„€ ∧ (1...π‘₯) ∈ Fin ∧ 0 βˆ‰ (1...π‘₯)) β†’ (lcmβ€˜(1...π‘₯)) ∈ β„•)
93, 5, 7, 8syl3anc 1372 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (lcmβ€˜(1...π‘₯)) ∈ β„•)
109adantl 483 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (lcmβ€˜(1...π‘₯)) ∈ β„•)
11 eqid 2737 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯)))
1210, 11fmptd 7067 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))):β„•βŸΆβ„•)
13 nnex 12166 . . . . . 6 β„• ∈ V
1413, 13pm3.2i 472 . . . . 5 (β„• ∈ V ∧ β„• ∈ V)
15 elmapg 8785 . . . . 5 ((β„• ∈ V ∧ β„• ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))) ∈ (β„• ↑m β„•) ↔ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))):β„•βŸΆβ„•))
1614, 15mp1i 13 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))) ∈ (β„• ↑m β„•) ↔ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))):β„•βŸΆβ„•))
1712, 16mpbird 257 . . 3 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))) ∈ (β„• ↑m β„•))
18 prmgaplcmlem2 16931 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ 1 < (((lcmβ€˜(1...𝑛)) + 𝑖) gcd 𝑖))
19 eqidd 2738 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯))))
20 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (1...π‘₯) = (1...𝑛))
2120fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (lcmβ€˜(1...π‘₯)) = (lcmβ€˜(1...𝑛)))
2221adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) ∧ π‘₯ = 𝑛) β†’ (lcmβ€˜(1...π‘₯)) = (lcmβ€˜(1...𝑛)))
23 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
24 fzssz 13450 . . . . . . . . . 10 (1...𝑛) βŠ† β„€
25 fzfi 13884 . . . . . . . . . 10 (1...𝑛) ∈ Fin
2624, 25pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 ((1...𝑛) βŠ† β„€ ∧ (1...𝑛) ∈ Fin)
27 lcmfcl 16511 . . . . . . . . 9 (((1...𝑛) βŠ† β„€ ∧ (1...𝑛) ∈ Fin) β†’ (lcmβ€˜(1...𝑛)) ∈ β„•0)
2826, 27mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ (lcmβ€˜(1...𝑛)) ∈ β„•0)
2919, 22, 23, 28fvmptd 6960 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯)))β€˜π‘›) = (lcmβ€˜(1...𝑛)))
3029oveq1d 7377 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ (((π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯)))β€˜π‘›) + 𝑖) = ((lcmβ€˜(1...𝑛)) + 𝑖))
3130oveq1d 7377 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ ((((π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯)))β€˜π‘›) + 𝑖) gcd 𝑖) = (((lcmβ€˜(1...𝑛)) + 𝑖) gcd 𝑖))
3218, 31breqtrrd 5138 . . . 4 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) β†’ 1 < ((((π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯)))β€˜π‘›) + 𝑖) gcd 𝑖))
3332ralrimiva 3144 . . 3 (𝑛 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘– ∈ (2...𝑛)1 < ((((π‘₯ ∈ β„• ↦ (lcmβ€˜(1...π‘₯)))β€˜π‘›) + 𝑖) gcd 𝑖))
341, 17, 33prmgaplem8 16937 . 2 (𝑛 ∈ β„• β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑛 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™))
3534rgen 3067 1 βˆ€π‘› ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ β„™ βˆƒπ‘ž ∈ β„™ (𝑛 ≀ (π‘ž βˆ’ 𝑝) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ((𝑝 + 1)..^π‘ž)𝑧 βˆ‰ β„™)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ‰ wnel 3050  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  Fincfn 8890  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574   gcd cgcd 16381  lcmclcmf 16472  β„™cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-prod 15796  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-lcmf 16474  df-prm 16555
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator