Theorem prmgaplcm 17022

Description: Alternate proof of prmgap 17021: in contrast to prmgap 17021, where the gap starts at n! , the factorial of n, the gap starts at the least common multiple of all positive integers less than or equal to n. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
prmgaplcm	⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑛 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)

Distinct variable group:   𝑛,𝑝,𝑞,𝑧

Proof of Theorem prmgaplcm

Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
2		fzssz 13471	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑥) ⊆ ℤ
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (1...𝑥) ⊆ ℤ)
4		fzfi 13925	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑥) ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (1...𝑥) ∈ Fin)
6		0nelfz1 13488	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∉ (1...𝑥)
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 0 ∉ (1...𝑥))
8		lcmfn0cl 16586	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑥) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑥) ∈ Fin ∧ 0 ∉ (1...𝑥)) → (lcm‘(1...𝑥)) ∈ ℕ)
9	3, 5, 7, 8	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (lcm‘(1...𝑥)) ∈ ℕ)
10	9	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (lcm‘(1...𝑥)) ∈ ℕ)
11		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥)))
12	10, 11	fmptd 7055	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥))):ℕ⟶ℕ)
13		nnex 12171	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
14	13, 13	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∈ V ∧ ℕ ∈ V)
15		elmapg 8776	. . . . 5 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥))) ∈ (ℕ ↑m ℕ) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥))):ℕ⟶ℕ))
16	14, 15	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥))) ∈ (ℕ ↑m ℕ) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥))):ℕ⟶ℕ))
17	12, 16	mpbird 258	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥))) ∈ (ℕ ↑m ℕ))
18		prmgaplcmlem2 17014	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → 1 < (((lcm‘(1...𝑛)) + 𝑖) gcd 𝑖))
19		eqidd 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → (𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥))))
20		oveq2 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (1...𝑥) = (1...𝑛))
21	20	fveq2d 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (lcm‘(1...𝑥)) = (lcm‘(1...𝑛)))
22	21	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) ∧ 𝑥 = 𝑛) → (lcm‘(1...𝑥)) = (lcm‘(1...𝑛)))
23		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
24		fzssz 13471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...𝑛) ⊆ ℤ
25		fzfi 13925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...𝑛) ∈ Fin
26	24, 25	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...𝑛) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑛) ∈ Fin)
27		lcmfcl 16588	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...𝑛) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑛) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑛)) ∈ ℕ0)
28	26, 27	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → (lcm‘(1...𝑛)) ∈ ℕ0)
29	19, 22, 23, 28	fvmptd 6943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥)))‘𝑛) = (lcm‘(1...𝑛)))
30	29	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → (((𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥)))‘𝑛) + 𝑖) = ((lcm‘(1...𝑛)) + 𝑖))
31	30	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → ((((𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥)))‘𝑛) + 𝑖) gcd 𝑖) = (((lcm‘(1...𝑛)) + 𝑖) gcd 𝑖))
32	18, 31	breqtrrd 5100	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → 1 < ((((𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥)))‘𝑛) + 𝑖) gcd 𝑖))
33	32	ralrimiva 3131	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (2...𝑛)1 < ((((𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥)))‘𝑛) + 𝑖) gcd 𝑖))
34	1, 17, 33	prmgaplem8 17020	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑛 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
35	34	rgen 3055	1 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑛 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∉ wnel 3038  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599   gcd cgcd 16454  lcmclcmf 16549  ℙcprime 16631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-prod 15860  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-lcmf 16551  df-prm 16632

This theorem is referenced by: (None)