Theorem prmgaplcm 17096

Description: Alternate proof of prmgap 17095: in contrast to prmgap 17095, where the gap starts at n! , the factorial of n, the gap starts at the least common multiple of all positive integers less than or equal to n. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
prmgaplcm	⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑛 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)

Distinct variable group:   𝑛,𝑝,𝑞,𝑧

Proof of Theorem prmgaplcm

Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
2		fzssz 13531	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑥) ⊆ ℤ
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (1...𝑥) ⊆ ℤ)
4		fzfi 13985	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑥) ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (1...𝑥) ∈ Fin)
6		0nelfz1 13548	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∉ (1...𝑥)
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 0 ∉ (1...𝑥))
8		lcmfn0cl 16660	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑥) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑥) ∈ Fin ∧ 0 ∉ (1...𝑥)) → (lcm‘(1...𝑥)) ∈ ℕ)
9	3, 5, 7, 8	syl3anc 1390	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (lcm‘(1...𝑥)) ∈ ℕ)
10	9	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (lcm‘(1...𝑥)) ∈ ℕ)
11		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥)))
12	10, 11	fmptd 7095	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥))):ℕ⟶ℕ)
13		nnex 12216	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
14	13, 13	pm3.2i 474	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∈ V ∧ ℕ ∈ V)
15		elmapg 8820	. . . . 5 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥))) ∈ (ℕ ↑m ℕ) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥))):ℕ⟶ℕ))
16	14, 15	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥))) ∈ (ℕ ↑m ℕ) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥))):ℕ⟶ℕ))
17	12, 16	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥))) ∈ (ℕ ↑m ℕ))
18		prmgaplcmlem2 17088	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → 1 < (((lcm‘(1...𝑛)) + 𝑖) gcd 𝑖))
19		eqidd 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → (𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥))))
20		oveq2 7404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (1...𝑥) = (1...𝑛))
21	20	fveq2d 6871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (lcm‘(1...𝑥)) = (lcm‘(1...𝑛)))
22	21	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) ∧ 𝑥 = 𝑛) → (lcm‘(1...𝑥)) = (lcm‘(1...𝑛)))
23		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
24		fzssz 13531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...𝑛) ⊆ ℤ
25		fzfi 13985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...𝑛) ∈ Fin
26	24, 25	pm3.2i 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...𝑛) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑛) ∈ Fin)
27		lcmfcl 16662	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...𝑛) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑛) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑛)) ∈ ℕ0)
28	26, 27	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → (lcm‘(1...𝑛)) ∈ ℕ0)
29	19, 22, 23, 28	fvmptd 6983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥)))‘𝑛) = (lcm‘(1...𝑛)))
30	29	oveq1d 7411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → (((𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥)))‘𝑛) + 𝑖) = ((lcm‘(1...𝑛)) + 𝑖))
31	30	oveq1d 7411	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → ((((𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥)))‘𝑛) + 𝑖) gcd 𝑖) = (((lcm‘(1...𝑛)) + 𝑖) gcd 𝑖))
32	18, 31	breqtrrd 5128	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (2...𝑛)) → 1 < ((((𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥)))‘𝑛) + 𝑖) gcd 𝑖))
33	32	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (2...𝑛)1 < ((((𝑥 ∈ ℕ ↦ (lcm‘(1...𝑥)))‘𝑛) + 𝑖) gcd 𝑖))
34	1, 17, 33	prmgaplem8 17094	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑛 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
35	34	rgen 3078	1 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑛 ≤ (𝑞 − 𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ∉ wnel 3061  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808  Fincfn 8927  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   < clt 11216   ≤ cle 11217   − cmin 11414  ℕcn 12210  2c2 12272  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  ...cfz 13512  ..^cfzo 13659   gcd cgcd 16528  lcmclcmf 16623  ℙcprime 16705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-prod 15934  df-dvds 16287  df-gcd 16529  df-lcmf 16625  df-prm 16706

This theorem is referenced by: (None)