Theorem 0zs 28300

Description: Zero is a surreal integer. (Contributed by Scott Fenton, 26-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
0zs	⊢ 0s ∈ ℤs

Proof of Theorem 0zs

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nns 28265	. . 3 ⊢ 1s ∈ ℕs
2		1sno 27760	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
3		subsid 27997	. . . . 5 ⊢ ( 1s ∈ No → ( 1s -s 1s ) = 0s )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( 1s -s 1s ) = 0s
5	4	eqcomi 2738	. . 3 ⊢ 0s = ( 1s -s 1s )
6		rspceov 7402	. . 3 ⊢ (( 1s ∈ ℕs ∧ 1s ∈ ℕs ∧ 0s = ( 1s -s 1s )) → ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs 0s = (𝑛 -s 𝑚))
7	1, 1, 5, 6	mp3an 1463	. 2 ⊢ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs 0s = (𝑛 -s 𝑚)
8		elzs 28296	. 2 ⊢ ( 0s ∈ ℤs ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs 0s = (𝑛 -s 𝑚))
9	7, 8	mpbir 231	1 ⊢ 0s ∈ ℤs

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  (class class class)co 7353   No csur 27568   0_s c0s 27755   1_s c1s 27756   -_s csubs 27950  ℕ_scnns 28231  ℤ_sczs 28290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-nadd 8591  df-no 27571  df-slt 27572  df-bday 27573  df-sle 27674  df-sslt 27711  df-scut 27713  df-0s 27757  df-1s 27758  df-made 27776  df-old 27777  df-left 27779  df-right 27780  df-norec 27869  df-norec2 27880  df-adds 27891  df-negs 27951  df-subs 27952  df-n0s 28232  df-nns 28233  df-zs 28291

This theorem is referenced by:  n0zs  28301  zsoring  28320  exps0  28338