Theorem 0zs 28307

Description: Zero is a surreal integer. (Contributed by Scott Fenton, 26-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
0zs	⊢ 0s ∈ ℤs

Proof of Theorem 0zs

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nns 28272	. . 3 ⊢ 1s ∈ ℕs
2		1sno 27766	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
3		subsid 28004	. . . . 5 ⊢ ( 1s ∈ No → ( 1s -s 1s ) = 0s )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( 1s -s 1s ) = 0s
5	4	eqcomi 2740	. . 3 ⊢ 0s = ( 1s -s 1s )
6		rspceov 7390	. . 3 ⊢ (( 1s ∈ ℕs ∧ 1s ∈ ℕs ∧ 0s = ( 1s -s 1s )) → ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs 0s = (𝑛 -s 𝑚))
7	1, 1, 5, 6	mp3an 1463	. 2 ⊢ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs 0s = (𝑛 -s 𝑚)
8		elzs 28303	. 2 ⊢ ( 0s ∈ ℤs ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs 0s = (𝑛 -s 𝑚))
9	7, 8	mpbir 231	1 ⊢ 0s ∈ ℤs

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  (class class class)co 7341   No csur 27573   0_s c0s 27761   1_s c1s 27762   -_s csubs 27957  ℕ_scnns 28238  ℤ_sczs 28297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-ot 4580  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-nadd 8576  df-no 27576  df-slt 27577  df-bday 27578  df-sle 27679  df-sslt 27716  df-scut 27718  df-0s 27763  df-1s 27764  df-made 27783  df-old 27784  df-left 27786  df-right 27787  df-norec 27876  df-norec2 27887  df-adds 27898  df-negs 27958  df-subs 27959  df-n0s 28239  df-nns 28240  df-zs 28298

This theorem is referenced by:  n0zs  28308  zsoring  28327  exps0  28345