Theorem 0zs 28546

Description: Zero is a surreal integer. (Contributed by Scott Fenton, 26-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
0zs	⊢ 0s ∈ ℤs

Proof of Theorem 0zs

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nns 28507	. . 3 ⊢ 1s ∈ ℕs
2		1no 27968	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
3		subsid 28227	. . . . 5 ⊢ ( 1s ∈ No → ( 1s -s 1s ) = 0s )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( 1s -s 1s ) = 0s
5	4	eqcomi 2778	. . 3 ⊢ 0s = ( 1s -s 1s )
6		rspceov 7460	. . 3 ⊢ (( 1s ∈ ℕs ∧ 1s ∈ ℕs ∧ 0s = ( 1s -s 1s )) → ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs 0s = (𝑛 -s 𝑚))
7	1, 1, 5, 6	mp3an 1487	. 2 ⊢ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs 0s = (𝑛 -s 𝑚)
8		elzs 28542	. 2 ⊢ ( 0s ∈ ℤs ↔ ∃𝑛 ∈ ℕs ∃𝑚 ∈ ℕs 0s = (𝑛 -s 𝑚))
9	7, 8	mpbir 234	1 ⊢ 0s ∈ ℤs

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  (class class class)co 7411   No csur 27769   0_s c0s 27963   1_s c1s 27964   -_s csubs 28178  ℕ_scnns 28471  ℤ_sczs 28536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-nadd 8651  df-no 27772  df-lts 27773  df-bday 27774  df-les 27874  df-slts 27916  df-cuts 27918  df-0s 27965  df-1s 27966  df-made 27985  df-old 27986  df-left 27988  df-right 27989  df-norec 28096  df-norec2 28107  df-adds 28118  df-negs 28179  df-subs 28180  df-n0s 28472  df-nns 28473  df-zs 28537

This theorem is referenced by:  n0zs  28547  zsoring  28567  exps0  28585