Theorem exps0 28406

Description: Surreal exponentiation to zero. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
exps0	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 0s ) = 1s )

Proof of Theorem exps0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zs 28367	. . 3 ⊢ 0s ∈ ℤs
2		expsval 28404	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 0s ∈ ℤs) → (𝐴↑s 0s ) = if( 0s = 0s , 1s , if( 0s <s 0s , (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 0s ), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘ 0s ))))))
3	1, 2	mpan2 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 0s ) = if( 0s = 0s , 1s , if( 0s <s 0s , (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 0s ), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘ 0s ))))))
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ 0s = 0s
5	4	iftruei 4487	. 2 ⊢ if( 0s = 0s , 1s , if( 0s <s 0s , (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 0s ), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘ 0s ))))) = 1s
6	3, 5	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 0s ) = 1s )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4480  {csn 4581   class class class wbr 5099   × cxp 5623  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   No csur 27611   <s cslt 27612   0_s c0s 27803   1_s c1s 27804   -u_s cnegs 28001   ·_s cmuls 28088   /_su cdivs 28169  seq_scseqs 28264  ℕ_scnns 28294  ℤ_sczs 28357  ↑_scexps 28391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-nadd 8596  df-no 27614  df-slt 27615  df-bday 27616  df-sle 27717  df-sslt 27758  df-scut 27760  df-0s 27805  df-1s 27806  df-made 27825  df-old 27826  df-left 27828  df-right 27829  df-norec 27920  df-norec2 27931  df-adds 27942  df-negs 28003  df-subs 28004  df-seqs 28265  df-n0s 28295  df-nns 28296  df-zs 28358  df-exps 28392

This theorem is referenced by:  expsp1  28408  expscllem  28409  expadds  28414  expsne0  28415  expsgt0  28416  pw2recs  28417  pw2cut  28439  pw2cut2  28441  bdaypw2n0sbnd  28443  bdayfinbndlem1  28446  zs12bdaylem1  28449  zzs12  28454  zs12zodd  28461