Theorem exps0 28419

Description: Surreal exponentiation to zero. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
exps0	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 0s ) = 1s )

Proof of Theorem exps0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zs 28380	. . 3 ⊢ 0s ∈ ℤs
2		expsval 28417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 0s ∈ ℤs) → (𝐴↑s 0s ) = if( 0s = 0s , 1s , if( 0s <s 0s , (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 0s ), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘ 0s ))))))
3	1, 2	mpan2 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 0s ) = if( 0s = 0s , 1s , if( 0s <s 0s , (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 0s ), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘ 0s ))))))
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ 0s = 0s
5	4	iftruei 4474	. 2 ⊢ if( 0s = 0s , 1s , if( 0s <s 0s , (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 0s ), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘ 0s ))))) = 1s
6	3, 5	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 0s ) = 1s )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4467  {csn 4568   class class class wbr 5086   × cxp 5629  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367   No csur 27603   <s clts 27604   0_s c0s 27797   1_s c1s 27798   -u_s cnegs 28011   ·_s cmuls 28098   /_su cdivs 28179  seq_scseqs 28275  ℕ_scnns 28305  ℤ_sczs 28370  ↑_scexps 28404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-nadd 8602  df-no 27606  df-lts 27607  df-bday 27608  df-les 27709  df-slts 27750  df-cuts 27752  df-0s 27799  df-1s 27800  df-made 27819  df-old 27820  df-left 27822  df-right 27823  df-norec 27930  df-norec2 27941  df-adds 27952  df-negs 28013  df-subs 28014  df-seqs 28276  df-n0s 28306  df-nns 28307  df-zs 28371  df-exps 28405

This theorem is referenced by:  expsp1  28421  expscllem  28422  expadds  28427  expsne0  28428  expsgt0  28429  pw2recs  28430  pw2cut  28452  pw2cut2  28454  bdaypw2n0bnd  28456  bdayfinbndlem1  28459  z12bdaylem1  28462  zz12s  28467  z12zsodd  28474