Theorem exps0 28578

Description: Surreal exponentiation to zero. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
exps0	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 0s ) = 1s )

Proof of Theorem exps0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zs 28539	. . 3 ⊢ 0s ∈ ℤs
2		expsval 28576	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 0s ∈ ℤs) → (𝐴↑s 0s ) = if( 0s = 0s , 1s , if( 0s <s 0s , (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 0s ), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘ 0s ))))))
3	1, 2	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 0s ) = if( 0s = 0s , 1s , if( 0s <s 0s , (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 0s ), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘ 0s ))))))
4		eqid 2765	. . 3 ⊢ 0s = 0s
5	4	iftruei 4490	. 2 ⊢ if( 0s = 0s , 1s , if( 0s <s 0s , (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 0s ), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘ 0s ))))) = 1s
6	3, 5	eqtrdi 2816	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 0s ) = 1s )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ifcif 4483  {csn 4585   class class class wbr 5105   × cxp 5650  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   No csur 27762   <s clts 27763   0_s c0s 27956   1_s c1s 27957   -u_s cnegs 28170   ·_s cmuls 28257   /_su cdivs 28338  seq_scseqs 28434  ℕ_scnns 28464  ℤ_sczs 28529  ↑_scexps 28563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-nadd 8640  df-no 27765  df-lts 27766  df-bday 27767  df-les 27867  df-slts 27909  df-cuts 27911  df-0s 27958  df-1s 27959  df-made 27978  df-old 27979  df-left 27981  df-right 27982  df-norec 28089  df-norec2 28100  df-adds 28111  df-negs 28172  df-subs 28173  df-seqs 28435  df-n0s 28465  df-nns 28466  df-zs 28530  df-exps 28564

This theorem is referenced by:  expsp1  28580  expscllem  28581  expadds  28586  expsne0  28587  expsgt0  28588  pw2recs  28589  pw2cut  28611  pw2cut2  28613  bdaypw2n0bnd  28615  bdayfinbndlem1  28618  z12bdaylem1  28621  zz12s  28626  z12zsodd  28633