Theorem exps0 28843

Description: Surreal exponentiation to zero. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
exps0	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 0s ) = 1s )

Proof of Theorem exps0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zs 28804	. . 3 ⊢ 0s ∈ ℤs
2		expsval 28841	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 0s ∈ ℤs) → (𝐴↑s 0s ) = if( 0s = 0s , 1s , if( 0s <s 0s , (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 0s ), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -s‘ 0s ))))))
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 0s ) = if( 0s = 0s , 1s , if( 0s <s 0s , (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 0s ), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -s‘ 0s ))))))
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ 0s = 0s
5	4	iftruei 4492	. 2 ⊢ if( 0s = 0s , 1s , if( 0s <s 0s , (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 0s ), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -s‘ 0s ))))) = 1s
6	3, 5	eqtrdi 2814	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 0s ) = 1s )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485  {csn 4588   class class class wbr 5106   × cxp 5653  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Nocsur 28027   <s clts 28028   0_s c0s 28221   1_s c1s 28222   -_scnegs 28435   ·_s cmuls 28522   /_su cdivs 28603  seq_scseqs 28699  ℕ_scnns 28729  ℤ_sczs 28794  ↑_scexps 28828

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-nadd 8703  df-no 28030  df-lts 28031  df-bday 28032  df-les 28132  df-slts 28174  df-cuts 28176  df-0s 28223  df-1s 28224  df-made 28243  df-old 28244  df-left 28246  df-right 28247  df-norec 28354  df-norec2 28365  df-adds 28376  df-negs 28437  df-subs 28438  df-seqs 28700  df-n0s 28730  df-nns 28731  df-zs 28795  df-exps 28829

This theorem is used by:  expsp1  28845  expscllem  28846  expadds  28851  expsne0  28852  expsgt0  28853  pw2recs  28854  pw2cut  28876  pw2cut2  28878  bdaypw2n0bnd  28880  bdayfinbndlem1  28883  z12bdaylem1  28886  zz12s  28891  z12zsodd  28898