Theorem avglts1d 28845

Description: Ordering property for average. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
avgs.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
avgs.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)

Assertion

Ref	Expression
avglts1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s ((𝐴 +s 𝐵) /su 2s)))

Proof of Theorem avglts1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		avgs.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
2		avgs.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
3	1, 2, 1	ltadds2d 28389	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 +s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵)))
4		no2times 28809	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → (2s ·s 𝐴) = (𝐴 +s 𝐴))
5	1, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2s ·s 𝐴) = (𝐴 +s 𝐴))
6	5	breq1d 5112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2s ·s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵) ↔ (𝐴 +s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵)))
7	3, 6	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (2s ·s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵)))
8		2no 28811	. . . . . 6 ⊢ 2s ∈ No
9		exps1 28820	. . . . . 6 ⊢ (2s ∈ No → (2s↑s 1s ) = 2s)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2s↑s 1s ) = 2s
11	10	oveq1i 7431	. . . 4 ⊢ ((2s↑s 1s ) ·s 𝐴) = (2s ·s 𝐴)
12	11	breq1i 5109	. . 3 ⊢ (((2s↑s 1s ) ·s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵) ↔ (2s ·s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵))
13	7, 12	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ((2s↑s 1s ) ·s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵)))
14	1, 2	addscld 28372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No)
15		1n0s 28740	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ ℕ0s
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1s ∈ ℕ0s)
17	1, 14, 16	pw2ltmuldivs2d 28843	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s 1s ) ·s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵) ↔ 𝐴 <s ((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s 1s ))))
18	10	oveq2i 7432	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s 1s )) = ((𝐴 +s 𝐵) /su 2s)
19	18	breq2i 5110	. . 3 ⊢ (𝐴 <s ((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s 1s )) ↔ 𝐴 <s ((𝐴 +s 𝐵) /su 2s))
20	17, 19	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s 1s ) ·s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵) ↔ 𝐴 <s ((𝐴 +s 𝐵) /su 2s)))
21	13, 20	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s ((𝐴 +s 𝐵) /su 2s)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7421  Nocsur 28003   <s clts 28004   1_s c1s 28198   +_s cadds 28351   ·_s cmuls 28498   /_su cdivs 28579  ℕ_0scn0s 28704  2_sc2s 28802  ↑_scexps 28804

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-nadd 8679  df-no 28006  df-lts 28007  df-bday 28008  df-les 28108  df-slts 28150  df-cuts 28152  df-0s 28199  df-1s 28200  df-made 28219  df-old 28220  df-left 28222  df-right 28223  df-norec 28330  df-norec2 28341  df-adds 28352  df-negs 28413  df-subs 28414  df-muls 28499  df-divs 28580  df-seqs 28676  df-n0s 28706  df-nns 28707  df-zs 28771  df-2s 28803  df-exps 28805

This theorem is used by: (None)