Theorem avglts1d 28433

Description: Ordering property for average. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
avgs.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
avgs.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
avglts1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s ((𝐴 +s 𝐵) /su 2s)))

Proof of Theorem avglts1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		avgs.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		avgs.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3	1, 2, 1	ltadds2d 27977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 +s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵)))
4		no2times 28397	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → (2s ·s 𝐴) = (𝐴 +s 𝐴))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2s ·s 𝐴) = (𝐴 +s 𝐴))
6	5	breq1d 5096	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2s ·s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵) ↔ (𝐴 +s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵)))
7	3, 6	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (2s ·s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵)))
8		2no 28399	. . . . . 6 ⊢ 2s ∈ No
9		exps1 28408	. . . . . 6 ⊢ (2s ∈ No → (2s↑s 1s ) = 2s)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2s↑s 1s ) = 2s
11	10	oveq1i 7368	. . . 4 ⊢ ((2s↑s 1s ) ·s 𝐴) = (2s ·s 𝐴)
12	11	breq1i 5093	. . 3 ⊢ (((2s↑s 1s ) ·s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵) ↔ (2s ·s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵))
13	7, 12	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ((2s↑s 1s ) ·s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵)))
14	1, 2	addscld 27960	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No )
15		1n0s 28328	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ ℕ0s
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1s ∈ ℕ0s)
17	1, 14, 16	pw2ltmuldivs2d 28431	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s 1s ) ·s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵) ↔ 𝐴 <s ((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s 1s ))))
18	10	oveq2i 7369	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s 1s )) = ((𝐴 +s 𝐵) /su 2s)
19	18	breq2i 5094	. . 3 ⊢ (𝐴 <s ((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s 1s )) ↔ 𝐴 <s ((𝐴 +s 𝐵) /su 2s))
20	17, 19	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s 1s ) ·s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵) ↔ 𝐴 <s ((𝐴 +s 𝐵) /su 2s)))
21	13, 20	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s ((𝐴 +s 𝐵) /su 2s)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7358   No csur 27591   <s clts 27592   1_s c1s 27786   +_s cadds 27939   ·_s cmuls 28086   /_su cdivs 28167  ℕ_0scn0s 28292  2_sc2s 28390  ↑_scexps 28392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-nadd 8593  df-no 27594  df-lts 27595  df-bday 27596  df-les 27697  df-slts 27738  df-cuts 27740  df-0s 27787  df-1s 27788  df-made 27807  df-old 27808  df-left 27810  df-right 27811  df-norec 27918  df-norec2 27929  df-adds 27940  df-negs 28001  df-subs 28002  df-muls 28087  df-divs 28168  df-seqs 28264  df-n0s 28294  df-nns 28295  df-zs 28359  df-2s 28391  df-exps 28393

This theorem is referenced by: (None)