Theorem avglts1d 28600

Description: Ordering property for average. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
avgs.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
avgs.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
avglts1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s ((𝐴 +s 𝐵) /su 2s)))

Proof of Theorem avglts1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		avgs.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		avgs.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3	1, 2, 1	ltadds2d 28144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 +s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵)))
4		no2times 28564	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → (2s ·s 𝐴) = (𝐴 +s 𝐴))
5	1, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2s ·s 𝐴) = (𝐴 +s 𝐴))
6	5	breq1d 5114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2s ·s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵) ↔ (𝐴 +s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵)))
7	3, 6	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (2s ·s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵)))
8		2no 28566	. . . . . 6 ⊢ 2s ∈ No
9		exps1 28575	. . . . . 6 ⊢ (2s ∈ No → (2s↑s 1s ) = 2s)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2s↑s 1s ) = 2s
11	10	oveq1i 7410	. . . 4 ⊢ ((2s↑s 1s ) ·s 𝐴) = (2s ·s 𝐴)
12	11	breq1i 5111	. . 3 ⊢ (((2s↑s 1s ) ·s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵) ↔ (2s ·s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵))
13	7, 12	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ((2s↑s 1s ) ·s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵)))
14	1, 2	addscld 28127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No )
15		1n0s 28495	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ ℕ0s
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1s ∈ ℕ0s)
17	1, 14, 16	pw2ltmuldivs2d 28598	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s 1s ) ·s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵) ↔ 𝐴 <s ((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s 1s ))))
18	10	oveq2i 7411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s 1s )) = ((𝐴 +s 𝐵) /su 2s)
19	18	breq2i 5112	. . 3 ⊢ (𝐴 <s ((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s 1s )) ↔ 𝐴 <s ((𝐴 +s 𝐵) /su 2s))
20	17, 19	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s 1s ) ·s 𝐴) <s (𝐴 +s 𝐵) ↔ 𝐴 <s ((𝐴 +s 𝐵) /su 2s)))
21	13, 20	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s ((𝐴 +s 𝐵) /su 2s)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  (class class class)co 7400   No csur 27758   <s clts 27759   1_s c1s 27953   +_s cadds 28106   ·_s cmuls 28253   /_su cdivs 28334  ℕ_0scn0s 28459  2_sc2s 28557  ↑_scexps 28559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-nadd 8640  df-no 27761  df-lts 27762  df-bday 27763  df-les 27863  df-slts 27905  df-cuts 27907  df-0s 27954  df-1s 27955  df-made 27974  df-old 27975  df-left 27977  df-right 27978  df-norec 28085  df-norec2 28096  df-adds 28107  df-negs 28168  df-subs 28169  df-muls 28254  df-divs 28335  df-seqs 28431  df-n0s 28461  df-nns 28462  df-zs 28526  df-2s 28558  df-exps 28560

This theorem is referenced by: (None)