Theorem avglts2d 28870

Description: Ordering property for average. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
avgs.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
avgs.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)

Assertion

Ref	Expression
avglts2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ((𝐴 +s 𝐵) /su 2s) <s 𝐵))

Proof of Theorem avglts2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		avgs.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
2		avgs.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
3	1, 2, 2	ltadds1d 28414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 +s 𝐵) <s (𝐵 +s 𝐵)))
4		no2times 28833	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ No → (2s ·s 𝐵) = (𝐵 +s 𝐵))
5	2, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2s ·s 𝐵) = (𝐵 +s 𝐵))
6	5	breq2d 5118	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) <s (2s ·s 𝐵) ↔ (𝐴 +s 𝐵) <s (𝐵 +s 𝐵)))
7	3, 6	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 +s 𝐵) <s (2s ·s 𝐵)))
8		2no 28835	. . . . . . 7 ⊢ 2s ∈ No
9		exps1 28844	. . . . . . 7 ⊢ (2s ∈ No → (2s↑s 1s ) = 2s)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2s↑s 1s ) = 2s
11	10	oveq1i 7453	. . . . 5 ⊢ ((2s↑s 1s ) ·s 𝐵) = (2s ·s 𝐵)
12	11	breq2i 5114	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +s 𝐵) <s ((2s↑s 1s ) ·s 𝐵) ↔ (𝐴 +s 𝐵) <s (2s ·s 𝐵))
13	7, 12	bitr4di 292	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 +s 𝐵) <s ((2s↑s 1s ) ·s 𝐵)))
14	1, 2	addscld 28396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No)
15		1n0s 28764	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ ℕ0s
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1s ∈ ℕ0s)
17	14, 2, 16	pw2ltdivmulsd 28866	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s 1s )) <s 𝐵 ↔ (𝐴 +s 𝐵) <s ((2s↑s 1s ) ·s 𝐵)))
18	13, 17	bitr4d 285	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s 1s )) <s 𝐵))
19	10	oveq2i 7454	. . 3 ⊢ ((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s 1s )) = ((𝐴 +s 𝐵) /su 2s)
20	19	breq1i 5113	. 2 ⊢ (((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s 1s )) <s 𝐵 ↔ ((𝐴 +s 𝐵) /su 2s) <s 𝐵)
21	18, 20	bitrdi 290	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ((𝐴 +s 𝐵) /su 2s) <s 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  Nocsur 28027   <s clts 28028   1_s c1s 28222   +_s cadds 28375   ·_s cmuls 28522   /_su cdivs 28603  ℕ_0scn0s 28728  2_sc2s 28826  ↑_scexps 28828

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-nadd 8703  df-no 28030  df-lts 28031  df-bday 28032  df-les 28132  df-slts 28174  df-cuts 28176  df-0s 28223  df-1s 28224  df-made 28243  df-old 28244  df-left 28246  df-right 28247  df-norec 28354  df-norec2 28365  df-adds 28376  df-negs 28437  df-subs 28438  df-muls 28523  df-divs 28604  df-seqs 28700  df-n0s 28730  df-nns 28731  df-zs 28795  df-2s 28827  df-exps 28829

This theorem is used by: (None)