Theorem avglts2d 28822

Description: Ordering property for average. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
avgs.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
avgs.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
avglts2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ((𝐴 +s 𝐵) /su 2s) <s 𝐵))

Proof of Theorem avglts2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		avgs.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		avgs.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3	1, 2, 2	ltadds1d 28366	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 +s 𝐵) <s (𝐵 +s 𝐵)))
4		no2times 28785	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ No → (2s ·s 𝐵) = (𝐵 +s 𝐵))
5	2, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2s ·s 𝐵) = (𝐵 +s 𝐵))
6	5	breq2d 5115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) <s (2s ·s 𝐵) ↔ (𝐴 +s 𝐵) <s (𝐵 +s 𝐵)))
7	3, 6	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 +s 𝐵) <s (2s ·s 𝐵)))
8		2no 28787	. . . . . . 7 ⊢ 2s ∈ No
9		exps1 28796	. . . . . . 7 ⊢ (2s ∈ No → (2s↑s 1s ) = 2s)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2s↑s 1s ) = 2s
11	10	oveq1i 7422	. . . . 5 ⊢ ((2s↑s 1s ) ·s 𝐵) = (2s ·s 𝐵)
12	11	breq2i 5111	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +s 𝐵) <s ((2s↑s 1s ) ·s 𝐵) ↔ (𝐴 +s 𝐵) <s (2s ·s 𝐵))
13	7, 12	bitr4di 292	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 +s 𝐵) <s ((2s↑s 1s ) ·s 𝐵)))
14	1, 2	addscld 28348	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No )
15		1n0s 28716	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ ℕ0s
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1s ∈ ℕ0s)
17	14, 2, 16	pw2ltdivmulsd 28818	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s 1s )) <s 𝐵 ↔ (𝐴 +s 𝐵) <s ((2s↑s 1s ) ·s 𝐵)))
18	13, 17	bitr4d 285	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s 1s )) <s 𝐵))
19	10	oveq2i 7423	. . 3 ⊢ ((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s 1s )) = ((𝐴 +s 𝐵) /su 2s)
20	19	breq1i 5110	. 2 ⊢ (((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s 1s )) <s 𝐵 ↔ ((𝐴 +s 𝐵) /su 2s) <s 𝐵)
21	18, 20	bitrdi 290	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ((𝐴 +s 𝐵) /su 2s) <s 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412   No csur 27979   <s clts 27980   1_s c1s 28174   +_s cadds 28327   ·_s cmuls 28474   /_su cdivs 28555  ℕ_0scn0s 28680  2_sc2s 28778  ↑_scexps 28780

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-nadd 8659  df-no 27982  df-lts 27983  df-bday 27984  df-les 28084  df-slts 28126  df-cuts 28128  df-0s 28175  df-1s 28176  df-made 28195  df-old 28196  df-left 28198  df-right 28199  df-norec 28306  df-norec2 28317  df-adds 28328  df-negs 28389  df-subs 28390  df-muls 28475  df-divs 28556  df-seqs 28652  df-n0s 28682  df-nns 28683  df-zs 28747  df-2s 28779  df-exps 28781

This theorem is used by: (None)