Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1odd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1odd 46191
Description: 1 is an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
oddinmgm.e ๐‘‚ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)}
Assertion
Ref Expression
1odd 1 โˆˆ ๐‘‚
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ง)

Proof of Theorem 1odd
StepHypRef Expression
1 1z 12538 . 2 1 โˆˆ โ„ค
2 0z 12515 . . 3 0 โˆˆ โ„ค
3 id 22 . . . 4 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
4 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) = (2 ยท 0))
5 2t0e0 12327 . . . . . . . 8 (2 ยท 0) = 0
64, 5eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) = 0)
76oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = (0 + 1))
87eqeq2d 2744 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (1 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” 1 = (0 + 1)))
98adantl 483 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (1 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” 1 = (0 + 1)))
10 1e0p1 12665 . . . . 5 1 = (0 + 1)
1110a1i 11 . . . 4 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ 1 = (0 + 1))
123, 9, 11rspcedvd 3582 . . 3 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 1 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1))
132, 12ax-mp 5 . 2 โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 1 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)
14 eqeq1 2737 . . . 4 (๐‘ง = 1 โ†’ (๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” 1 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)))
1514rexbidv 3172 . . 3 (๐‘ง = 1 โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 1 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)))
16 oddinmgm.e . . 3 ๐‘‚ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)}
1715, 16elrab2 3649 . 2 (1 โˆˆ ๐‘‚ โ†” (1 โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 1 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)))
181, 13, 17mpbir2an 710 1 1 โˆˆ ๐‘‚
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3070  {crab 3406  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061  2c2 12213  โ„คcz 12504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-ltxr 11199  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-z 12505
This theorem is referenced by:  oddinmgm  46195
  Copyright terms: Public domain W3C validator