Theorem 1odd 45365

Description: 1 is an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
oddinmgm.e	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}

Assertion

Ref	Expression
1odd	⊢ 1 ∈ 𝑂

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 1odd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12350	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		0z 12330	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		id 22	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
4		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
5		2t0e0 12142	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = 0)
7	6	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((2 · 𝑥) + 1) = (0 + 1))
8	7	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = (0 + 1)))
9	8	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = 0) → (1 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = (0 + 1)))
10		1e0p1 12479	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → 1 = (0 + 1))
12	3, 9, 11	rspcedvd 3563	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1))
13	2, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)
14		eqeq1 2742	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)))
15	14	rexbidv 3226	. . 3 ⊢ (𝑧 = 1 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)))
16		oddinmgm.e	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
17	15, 16	elrab2 3627	. 2 ⊢ (1 ∈ 𝑂 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)))
18	1, 13, 17	mpbir2an 708	1 ⊢ 1 ∈ 𝑂

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  {crab 3068  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  2c2 12028  ℤcz 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-z 12320

This theorem is referenced by:  oddinmgm  45369