Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1odd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1odd 46567
Description: 1 is an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
oddinmgm.e ๐‘‚ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)}
Assertion
Ref Expression
1odd 1 โˆˆ ๐‘‚
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ง)

Proof of Theorem 1odd
StepHypRef Expression
1 1z 12588 . 2 1 โˆˆ โ„ค
2 0z 12565 . . 3 0 โˆˆ โ„ค
3 id 22 . . . 4 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
4 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) = (2 ยท 0))
5 2t0e0 12377 . . . . . . . 8 (2 ยท 0) = 0
64, 5eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) = 0)
76oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = (0 + 1))
87eqeq2d 2743 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (1 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” 1 = (0 + 1)))
98adantl 482 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (1 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” 1 = (0 + 1)))
10 1e0p1 12715 . . . . 5 1 = (0 + 1)
1110a1i 11 . . . 4 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ 1 = (0 + 1))
123, 9, 11rspcedvd 3614 . . 3 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 1 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1))
132, 12ax-mp 5 . 2 โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 1 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)
14 eqeq1 2736 . . . 4 (๐‘ง = 1 โ†’ (๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” 1 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)))
1514rexbidv 3178 . . 3 (๐‘ง = 1 โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 1 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)))
16 oddinmgm.e . . 3 ๐‘‚ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)}
1715, 16elrab2 3685 . 2 (1 โˆˆ ๐‘‚ โ†” (1 โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 1 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)))
181, 13, 17mpbir2an 709 1 1 โˆˆ ๐‘‚
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3070  {crab 3432  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111  2c2 12263  โ„คcz 12554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-z 12555
This theorem is referenced by:  oddinmgm  46571
  Copyright terms: Public domain W3C validator