Theorem 1odd 48413

Description: 1 is an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
oddinmgm.e	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}

Assertion

Ref	Expression
1odd	⊢ 1 ∈ 𝑂

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 1odd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12521	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		0z 12499	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		id 22	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
4		oveq2 7366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
5		2t0e0 12309	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = 0)
7	6	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((2 · 𝑥) + 1) = (0 + 1))
8	7	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = (0 + 1)))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = 0) → (1 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = (0 + 1)))
10		1e0p1 12649	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → 1 = (0 + 1))
12	3, 9, 11	rspcedvd 3578	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1))
13	2, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)
14		eqeq1 2740	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)))
15	14	rexbidv 3160	. . 3 ⊢ (𝑧 = 1 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)))
16		oddinmgm.e	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
17	15, 16	elrab2 3649	. 2 ⊢ (1 ∈ 𝑂 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)))
18	1, 13, 17	mpbir2an 711	1 ⊢ 1 ∈ 𝑂

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  {crab 3399  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031  2c2 12200  ℤcz 12488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-z 12489

This theorem is referenced by:  oddinmgm  48417