![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > 1odd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: 1 is an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
oddinmgm.e | โข ๐ = {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = ((2 ยท ๐ฅ) + 1)} |
Ref | Expression |
---|---|
1odd | โข 1 โ ๐ |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 1z 12538 | . 2 โข 1 โ โค | |
2 | 0z 12515 | . . 3 โข 0 โ โค | |
3 | id 22 | . . . 4 โข (0 โ โค โ 0 โ โค) | |
4 | oveq2 7366 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ = 0 โ (2 ยท ๐ฅ) = (2 ยท 0)) | |
5 | 2t0e0 12327 | . . . . . . . 8 โข (2 ยท 0) = 0 | |
6 | 4, 5 | eqtrdi 2789 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ = 0 โ (2 ยท ๐ฅ) = 0) |
7 | 6 | oveq1d 7373 | . . . . . 6 โข (๐ฅ = 0 โ ((2 ยท ๐ฅ) + 1) = (0 + 1)) |
8 | 7 | eqeq2d 2744 | . . . . 5 โข (๐ฅ = 0 โ (1 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) โ 1 = (0 + 1))) |
9 | 8 | adantl 483 | . . . 4 โข ((0 โ โค โง ๐ฅ = 0) โ (1 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) โ 1 = (0 + 1))) |
10 | 1e0p1 12665 | . . . . 5 โข 1 = (0 + 1) | |
11 | 10 | a1i 11 | . . . 4 โข (0 โ โค โ 1 = (0 + 1)) |
12 | 3, 9, 11 | rspcedvd 3582 | . . 3 โข (0 โ โค โ โ๐ฅ โ โค 1 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1)) |
13 | 2, 12 | ax-mp 5 | . 2 โข โ๐ฅ โ โค 1 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) |
14 | eqeq1 2737 | . . . 4 โข (๐ง = 1 โ (๐ง = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) โ 1 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1))) | |
15 | 14 | rexbidv 3172 | . . 3 โข (๐ง = 1 โ (โ๐ฅ โ โค ๐ง = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) โ โ๐ฅ โ โค 1 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1))) |
16 | oddinmgm.e | . . 3 โข ๐ = {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = ((2 ยท ๐ฅ) + 1)} | |
17 | 15, 16 | elrab2 3649 | . 2 โข (1 โ ๐ โ (1 โ โค โง โ๐ฅ โ โค 1 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1))) |
18 | 1, 13, 17 | mpbir2an 710 | 1 โข 1 โ ๐ |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wb 205 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwrex 3070 {crab 3406 (class class class)co 7358 0cc0 11056 1c1 11057 + caddc 11059 ยท cmul 11061 2c2 12213 โคcz 12504 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-ov 7361 df-om 7804 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-er 8651 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-ltxr 11199 df-neg 11393 df-nn 12159 df-2 12221 df-z 12505 |
This theorem is referenced by: oddinmgm 46195 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |