Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1odd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1odd 45365
Description: 1 is an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
oddinmgm.e 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
Assertion
Ref Expression
1odd 1 ∈ 𝑂
Distinct variable group:   𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 1odd
StepHypRef Expression
1 1z 12350 . 2 1 ∈ ℤ
2 0z 12330 . . 3 0 ∈ ℤ
3 id 22 . . . 4 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
4 oveq2 7283 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
5 2t0e0 12142 . . . . . . . 8 (2 · 0) = 0
64, 5eqtrdi 2794 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = 0)
76oveq1d 7290 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((2 · 𝑥) + 1) = (0 + 1))
87eqeq2d 2749 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (1 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = (0 + 1)))
98adantl 482 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = 0) → (1 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = (0 + 1)))
10 1e0p1 12479 . . . . 5 1 = (0 + 1)
1110a1i 11 . . . 4 (0 ∈ ℤ → 1 = (0 + 1))
123, 9, 11rspcedvd 3563 . . 3 (0 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1))
132, 12ax-mp 5 . 2 𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)
14 eqeq1 2742 . . . 4 (𝑧 = 1 → (𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)))
1514rexbidv 3226 . . 3 (𝑧 = 1 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)))
16 oddinmgm.e . . 3 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
1715, 16elrab2 3627 . 2 (1 ∈ 𝑂 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)))
181, 13, 17mpbir2an 708 1 1 ∈ 𝑂
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1539  wcel 2106  wrex 3065  {crab 3068  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  2c2 12028  cz 12319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-z 12320
This theorem is referenced by:  oddinmgm  45369
  Copyright terms: Public domain W3C validator