Theorem 1odd 49094

Description: 1 is an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
oddinmgm.e	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}

Assertion

Ref	Expression
1odd	⊢ 1 ∈ 𝑂

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥, 𝑧)

Proof of Theorem 1odd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12652	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		0z 12630	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		id 23	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
4		oveq2 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
5		2t0e0 12439	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = 0)
7	6	oveq1d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((2 · 𝑥) + 1) = (0 + 1))
8	7	eqeq2d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = (0 + 1)))
9	8	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = 0) → (1 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = (0 + 1)))
10		1e0p1 12787	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → 1 = (0 + 1))
12	3, 9, 11	rspcedvd 3581	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1))
13	2, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)
14		eqeq1 2766	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)))
15	14	rexbidv 3188	. . 3 ⊢ (𝑧 = 1 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)))
16		oddinmgm.e	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
17	15, 16	elrab2 3652	. 2 ⊢ (1 ∈ 𝑂 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)))
18	1, 13, 17	mpbir2an 724	1 ⊢ 1 ∈ 𝑂

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  {crab 3414  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133  2c2 12323  ℤcz 12619

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-z 12620

This theorem is used by:  oddinmgm  49098