Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1odd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1odd 47059
Description: 1 is an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
oddinmgm.e ๐‘‚ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)}
Assertion
Ref Expression
1odd 1 โˆˆ ๐‘‚
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ง)

Proof of Theorem 1odd
StepHypRef Expression
1 1z 12590 . 2 1 โˆˆ โ„ค
2 0z 12567 . . 3 0 โˆˆ โ„ค
3 id 22 . . . 4 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
4 oveq2 7410 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) = (2 ยท 0))
5 2t0e0 12379 . . . . . . . 8 (2 ยท 0) = 0
64, 5eqtrdi 2780 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) = 0)
76oveq1d 7417 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = (0 + 1))
87eqeq2d 2735 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (1 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” 1 = (0 + 1)))
98adantl 481 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (1 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” 1 = (0 + 1)))
10 1e0p1 12717 . . . . 5 1 = (0 + 1)
1110a1i 11 . . . 4 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ 1 = (0 + 1))
123, 9, 11rspcedvd 3606 . . 3 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 1 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1))
132, 12ax-mp 5 . 2 โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 1 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)
14 eqeq1 2728 . . . 4 (๐‘ง = 1 โ†’ (๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” 1 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)))
1514rexbidv 3170 . . 3 (๐‘ง = 1 โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 1 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)))
16 oddinmgm.e . . 3 ๐‘‚ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)}
1715, 16elrab2 3679 . 2 (1 โˆˆ ๐‘‚ โ†” (1 โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 1 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)))
181, 13, 17mpbir2an 708 1 1 โˆˆ ๐‘‚
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3062  {crab 3424  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112  2c2 12265  โ„คcz 12556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-ltxr 11251  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-z 12557
This theorem is referenced by:  oddinmgm  47063
  Copyright terms: Public domain W3C validator