Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1odd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1odd 46516
Description: 1 is an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
oddinmgm.e 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
Assertion
Ref Expression
1odd 1 ∈ 𝑂
Distinct variable group:   𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 1odd
StepHypRef Expression
1 1z 12588 . 2 1 ∈ ℤ
2 0z 12565 . . 3 0 ∈ ℤ
3 id 22 . . . 4 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
4 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
5 2t0e0 12377 . . . . . . . 8 (2 · 0) = 0
64, 5eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = 0)
76oveq1d 7419 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((2 · 𝑥) + 1) = (0 + 1))
87eqeq2d 2744 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (1 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = (0 + 1)))
98adantl 483 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = 0) → (1 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = (0 + 1)))
10 1e0p1 12715 . . . . 5 1 = (0 + 1)
1110a1i 11 . . . 4 (0 ∈ ℤ → 1 = (0 + 1))
123, 9, 11rspcedvd 3614 . . 3 (0 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1))
132, 12ax-mp 5 . 2 𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)
14 eqeq1 2737 . . . 4 (𝑧 = 1 → (𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)))
1514rexbidv 3179 . . 3 (𝑧 = 1 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)))
16 oddinmgm.e . . 3 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
1715, 16elrab2 3685 . 2 (1 ∈ 𝑂 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)))
181, 13, 17mpbir2an 710 1 1 ∈ 𝑂
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3071  {crab 3433  (class class class)co 7404  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  2c2 12263  cz 12554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-z 12555
This theorem is referenced by:  oddinmgm  46520
  Copyright terms: Public domain W3C validator