Theorem 1odd 48163

Description: 1 is an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
oddinmgm.e	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}

Assertion

Ref	Expression
1odd	⊢ 1 ∈ 𝑂

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 1odd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12570	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		0z 12547	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		id 22	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
4		oveq2 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
5		2t0e0 12357	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = 0)
7	6	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((2 · 𝑥) + 1) = (0 + 1))
8	7	eqeq2d 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (1 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = (0 + 1)))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = 0) → (1 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = (0 + 1)))
10		1e0p1 12698	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → 1 = (0 + 1))
12	3, 9, 11	rspcedvd 3593	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1))
13	2, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)
14		eqeq1 2734	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)))
15	14	rexbidv 3158	. . 3 ⊢ (𝑧 = 1 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)))
16		oddinmgm.e	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
17	15, 16	elrab2 3665	. 2 ⊢ (1 ∈ 𝑂 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = ((2 · 𝑥) + 1)))
18	1, 13, 17	mpbir2an 711	1 ⊢ 1 ∈ 𝑂

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  {crab 3408  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  2c2 12248  ℤcz 12536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-z 12537

This theorem is referenced by:  oddinmgm  48167