![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > 1odd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: 1 is an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
oddinmgm.e | โข ๐ = {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = ((2 ยท ๐ฅ) + 1)} |
Ref | Expression |
---|---|
1odd | โข 1 โ ๐ |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 1z 12590 | . 2 โข 1 โ โค | |
2 | 0z 12567 | . . 3 โข 0 โ โค | |
3 | id 22 | . . . 4 โข (0 โ โค โ 0 โ โค) | |
4 | oveq2 7410 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ = 0 โ (2 ยท ๐ฅ) = (2 ยท 0)) | |
5 | 2t0e0 12379 | . . . . . . . 8 โข (2 ยท 0) = 0 | |
6 | 4, 5 | eqtrdi 2780 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ = 0 โ (2 ยท ๐ฅ) = 0) |
7 | 6 | oveq1d 7417 | . . . . . 6 โข (๐ฅ = 0 โ ((2 ยท ๐ฅ) + 1) = (0 + 1)) |
8 | 7 | eqeq2d 2735 | . . . . 5 โข (๐ฅ = 0 โ (1 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) โ 1 = (0 + 1))) |
9 | 8 | adantl 481 | . . . 4 โข ((0 โ โค โง ๐ฅ = 0) โ (1 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) โ 1 = (0 + 1))) |
10 | 1e0p1 12717 | . . . . 5 โข 1 = (0 + 1) | |
11 | 10 | a1i 11 | . . . 4 โข (0 โ โค โ 1 = (0 + 1)) |
12 | 3, 9, 11 | rspcedvd 3606 | . . 3 โข (0 โ โค โ โ๐ฅ โ โค 1 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1)) |
13 | 2, 12 | ax-mp 5 | . 2 โข โ๐ฅ โ โค 1 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) |
14 | eqeq1 2728 | . . . 4 โข (๐ง = 1 โ (๐ง = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) โ 1 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1))) | |
15 | 14 | rexbidv 3170 | . . 3 โข (๐ง = 1 โ (โ๐ฅ โ โค ๐ง = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) โ โ๐ฅ โ โค 1 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1))) |
16 | oddinmgm.e | . . 3 โข ๐ = {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = ((2 ยท ๐ฅ) + 1)} | |
17 | 15, 16 | elrab2 3679 | . 2 โข (1 โ ๐ โ (1 โ โค โง โ๐ฅ โ โค 1 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1))) |
18 | 1, 13, 17 | mpbir2an 708 | 1 โข 1 โ ๐ |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wb 205 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwrex 3062 {crab 3424 (class class class)co 7402 0cc0 11107 1c1 11108 + caddc 11110 ยท cmul 11112 2c2 12265 โคcz 12556 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-iun 4990 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-ov 7405 df-om 7850 df-2nd 7970 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-er 8700 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-pnf 11248 df-mnf 11249 df-ltxr 11251 df-neg 11445 df-nn 12211 df-2 12273 df-z 12557 |
This theorem is referenced by: oddinmgm 47063 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |