Theorem 2nodd 49474

Description: 2 is not an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
oddinmgm.e	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}

Assertion

Ref	Expression
2nodd	⊢ 2 ∉ 𝑂

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥, 𝑧)

Proof of Theorem 2nodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnz 12804	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2		eleq1 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) = 𝑥 → ((1 / 2) ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
3	1, 2	mtbii 329	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) = 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ ℤ)
4	3	con2i 140	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (1 / 2) = 𝑥)
5		1cnd 11329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
6		zcn 12725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
7		2cnd 12448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
8		2ne0 12476	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
10	5, 6, 7, 9	divmul2d 12153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) = 𝑥 ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
11	4, 10	mtbid 327	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 1 = (2 · 𝑥))
12		eqcom 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (2 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 2)
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 2))
14	7, 6	mulcld 11356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
15		subadd2 11588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → ((2 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 2))
16	15	bicomd 226	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 2 ↔ (2 − 1) = (2 · 𝑥)))
17	7, 5, 14, 16	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 2 ↔ (2 − 1) = (2 · 𝑥)))
18		2m1e1 12494	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 − 1) = 1)
20	19	eqeq1d 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
21	13, 17, 20	3bitrd 308	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
22	11, 21	mtbird 328	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 2 = ((2 · 𝑥) + 1))
23	22	nrex 3094	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)
24	23	intnan 492	. . 3 ⊢ ¬ (2 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1))
25		eqeq1 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 2 → (𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)))
26	25	rexbidv 3190	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 2 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)))
27		oddinmgm.e	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
28	26, 27	elrab2 3652	. . 3 ⊢ (2 ∈ 𝑂 ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)))
29	24, 28	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ 2 ∈ 𝑂
30	29	nelir 3068	1 ⊢ 2 ∉ 𝑂

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∉ wnel 3065  ∃wrex 3090  {crab 3416  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   − cmin 11568   / cdiv 12000  2c2 12424  ℤcz 12720

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721

This theorem is used by:  oddinmgm  49477