Theorem 2nodd 48164

Description: 2 is not an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
oddinmgm.e	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}

Assertion

Ref	Expression
2nodd	⊢ 2 ∉ 𝑂

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2nodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnz 12619	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2		eleq1 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) = 𝑥 → ((1 / 2) ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
3	1, 2	mtbii 326	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) = 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ ℤ)
4	3	con2i 139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (1 / 2) = 𝑥)
5		1cnd 11176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
6		zcn 12541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
7		2cnd 12271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
8		2ne0 12297	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
10	5, 6, 7, 9	divmul2d 11998	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) = 𝑥 ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
11	4, 10	mtbid 324	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 1 = (2 · 𝑥))
12		eqcom 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (2 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 2)
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 2))
14	7, 6	mulcld 11201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
15		subadd2 11432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → ((2 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 2))
16	15	bicomd 223	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 2 ↔ (2 − 1) = (2 · 𝑥)))
17	7, 5, 14, 16	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 2 ↔ (2 − 1) = (2 · 𝑥)))
18		2m1e1 12314	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 − 1) = 1)
20	19	eqeq1d 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
21	13, 17, 20	3bitrd 305	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
22	11, 21	mtbird 325	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 2 = ((2 · 𝑥) + 1))
23	22	nrex 3058	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)
24	23	intnan 486	. . 3 ⊢ ¬ (2 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1))
25		eqeq1 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 2 → (𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)))
26	25	rexbidv 3158	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 2 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)))
27		oddinmgm.e	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
28	26, 27	elrab2 3665	. . 3 ⊢ (2 ∈ 𝑂 ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)))
29	24, 28	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 2 ∈ 𝑂
30	29	nelir 3033	1 ⊢ 2 ∉ 𝑂

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∉ wnel 3030  ∃wrex 3054  {crab 3408  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412   / cdiv 11842  2c2 12248  ℤcz 12536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537

This theorem is referenced by:  oddinmgm  48167