![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > 2nodd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: 2 is not an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
oddinmgm.e | โข ๐ = {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = ((2 ยท ๐ฅ) + 1)} |
Ref | Expression |
---|---|
2nodd | โข 2 โ ๐ |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | halfnz 12586 | . . . . . . . . 9 โข ยฌ (1 / 2) โ โค | |
2 | eleq1 2822 | . . . . . . . . 9 โข ((1 / 2) = ๐ฅ โ ((1 / 2) โ โค โ ๐ฅ โ โค)) | |
3 | 1, 2 | mtbii 326 | . . . . . . . 8 โข ((1 / 2) = ๐ฅ โ ยฌ ๐ฅ โ โค) |
4 | 3 | con2i 139 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ โค โ ยฌ (1 / 2) = ๐ฅ) |
5 | 1cnd 11155 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ โค โ 1 โ โ) | |
6 | zcn 12509 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ โค โ ๐ฅ โ โ) | |
7 | 2cnd 12236 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ โค โ 2 โ โ) | |
8 | 2ne0 12262 | . . . . . . . . 9 โข 2 โ 0 | |
9 | 8 | a1i 11 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ โค โ 2 โ 0) |
10 | 5, 6, 7, 9 | divmul2d 11969 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ โค โ ((1 / 2) = ๐ฅ โ 1 = (2 ยท ๐ฅ))) |
11 | 4, 10 | mtbid 324 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ โค โ ยฌ 1 = (2 ยท ๐ฅ)) |
12 | eqcom 2740 | . . . . . . . 8 โข (2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) โ ((2 ยท ๐ฅ) + 1) = 2) | |
13 | 12 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ โค โ (2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) โ ((2 ยท ๐ฅ) + 1) = 2)) |
14 | 7, 6 | mulcld 11180 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ โค โ (2 ยท ๐ฅ) โ โ) |
15 | subadd2 11410 | . . . . . . . . 9 โข ((2 โ โ โง 1 โ โ โง (2 ยท ๐ฅ) โ โ) โ ((2 โ 1) = (2 ยท ๐ฅ) โ ((2 ยท ๐ฅ) + 1) = 2)) | |
16 | 15 | bicomd 222 | . . . . . . . 8 โข ((2 โ โ โง 1 โ โ โง (2 ยท ๐ฅ) โ โ) โ (((2 ยท ๐ฅ) + 1) = 2 โ (2 โ 1) = (2 ยท ๐ฅ))) |
17 | 7, 5, 14, 16 | syl3anc 1372 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ โค โ (((2 ยท ๐ฅ) + 1) = 2 โ (2 โ 1) = (2 ยท ๐ฅ))) |
18 | 2m1e1 12284 | . . . . . . . . 9 โข (2 โ 1) = 1 | |
19 | 18 | a1i 11 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ โค โ (2 โ 1) = 1) |
20 | 19 | eqeq1d 2735 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ โค โ ((2 โ 1) = (2 ยท ๐ฅ) โ 1 = (2 ยท ๐ฅ))) |
21 | 13, 17, 20 | 3bitrd 305 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ โค โ (2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) โ 1 = (2 ยท ๐ฅ))) |
22 | 11, 21 | mtbird 325 | . . . . 5 โข (๐ฅ โ โค โ ยฌ 2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1)) |
23 | 22 | nrex 3074 | . . . 4 โข ยฌ โ๐ฅ โ โค 2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) |
24 | 23 | intnan 488 | . . 3 โข ยฌ (2 โ โค โง โ๐ฅ โ โค 2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1)) |
25 | eqeq1 2737 | . . . . 5 โข (๐ง = 2 โ (๐ง = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) โ 2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1))) | |
26 | 25 | rexbidv 3172 | . . . 4 โข (๐ง = 2 โ (โ๐ฅ โ โค ๐ง = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) โ โ๐ฅ โ โค 2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1))) |
27 | oddinmgm.e | . . . 4 โข ๐ = {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = ((2 ยท ๐ฅ) + 1)} | |
28 | 26, 27 | elrab2 3649 | . . 3 โข (2 โ ๐ โ (2 โ โค โง โ๐ฅ โ โค 2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1))) |
29 | 24, 28 | mtbir 323 | . 2 โข ยฌ 2 โ ๐ |
30 | 29 | nelir 3049 | 1 โข 2 โ ๐ |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wb 205 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2940 โ wnel 3046 โwrex 3070 {crab 3406 (class class class)co 7358 โcc 11054 0cc0 11056 1c1 11057 + caddc 11059 ยท cmul 11061 โ cmin 11390 / cdiv 11817 2c2 12213 โคcz 12504 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-pre-mulgt0 11133 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-er 8651 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-sub 11392 df-neg 11393 df-div 11818 df-nn 12159 df-2 12221 df-n0 12419 df-z 12505 |
This theorem is referenced by: oddinmgm 46195 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |