![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > 2nodd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: 2 is not an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
oddinmgm.e | โข ๐ = {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = ((2 ยท ๐ฅ) + 1)} |
Ref | Expression |
---|---|
2nodd | โข 2 โ ๐ |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | halfnz 12670 | . . . . . . . . 9 โข ยฌ (1 / 2) โ โค | |
2 | eleq1 2817 | . . . . . . . . 9 โข ((1 / 2) = ๐ฅ โ ((1 / 2) โ โค โ ๐ฅ โ โค)) | |
3 | 1, 2 | mtbii 326 | . . . . . . . 8 โข ((1 / 2) = ๐ฅ โ ยฌ ๐ฅ โ โค) |
4 | 3 | con2i 139 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ โค โ ยฌ (1 / 2) = ๐ฅ) |
5 | 1cnd 11239 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ โค โ 1 โ โ) | |
6 | zcn 12593 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ โค โ ๐ฅ โ โ) | |
7 | 2cnd 12320 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ โค โ 2 โ โ) | |
8 | 2ne0 12346 | . . . . . . . . 9 โข 2 โ 0 | |
9 | 8 | a1i 11 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ โค โ 2 โ 0) |
10 | 5, 6, 7, 9 | divmul2d 12053 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ โค โ ((1 / 2) = ๐ฅ โ 1 = (2 ยท ๐ฅ))) |
11 | 4, 10 | mtbid 324 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ โค โ ยฌ 1 = (2 ยท ๐ฅ)) |
12 | eqcom 2735 | . . . . . . . 8 โข (2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) โ ((2 ยท ๐ฅ) + 1) = 2) | |
13 | 12 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ โค โ (2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) โ ((2 ยท ๐ฅ) + 1) = 2)) |
14 | 7, 6 | mulcld 11264 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ โค โ (2 ยท ๐ฅ) โ โ) |
15 | subadd2 11494 | . . . . . . . . 9 โข ((2 โ โ โง 1 โ โ โง (2 ยท ๐ฅ) โ โ) โ ((2 โ 1) = (2 ยท ๐ฅ) โ ((2 ยท ๐ฅ) + 1) = 2)) | |
16 | 15 | bicomd 222 | . . . . . . . 8 โข ((2 โ โ โง 1 โ โ โง (2 ยท ๐ฅ) โ โ) โ (((2 ยท ๐ฅ) + 1) = 2 โ (2 โ 1) = (2 ยท ๐ฅ))) |
17 | 7, 5, 14, 16 | syl3anc 1369 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ โค โ (((2 ยท ๐ฅ) + 1) = 2 โ (2 โ 1) = (2 ยท ๐ฅ))) |
18 | 2m1e1 12368 | . . . . . . . . 9 โข (2 โ 1) = 1 | |
19 | 18 | a1i 11 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ โค โ (2 โ 1) = 1) |
20 | 19 | eqeq1d 2730 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ โค โ ((2 โ 1) = (2 ยท ๐ฅ) โ 1 = (2 ยท ๐ฅ))) |
21 | 13, 17, 20 | 3bitrd 305 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ โค โ (2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) โ 1 = (2 ยท ๐ฅ))) |
22 | 11, 21 | mtbird 325 | . . . . 5 โข (๐ฅ โ โค โ ยฌ 2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1)) |
23 | 22 | nrex 3071 | . . . 4 โข ยฌ โ๐ฅ โ โค 2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) |
24 | 23 | intnan 486 | . . 3 โข ยฌ (2 โ โค โง โ๐ฅ โ โค 2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1)) |
25 | eqeq1 2732 | . . . . 5 โข (๐ง = 2 โ (๐ง = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) โ 2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1))) | |
26 | 25 | rexbidv 3175 | . . . 4 โข (๐ง = 2 โ (โ๐ฅ โ โค ๐ง = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) โ โ๐ฅ โ โค 2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1))) |
27 | oddinmgm.e | . . . 4 โข ๐ = {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = ((2 ยท ๐ฅ) + 1)} | |
28 | 26, 27 | elrab2 3685 | . . 3 โข (2 โ ๐ โ (2 โ โค โง โ๐ฅ โ โค 2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1))) |
29 | 24, 28 | mtbir 323 | . 2 โข ยฌ 2 โ ๐ |
30 | 29 | nelir 3046 | 1 โข 2 โ ๐ |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wb 205 โง wa 395 โง w3a 1085 = wceq 1534 โ wcel 2099 โ wne 2937 โ wnel 3043 โwrex 3067 {crab 3429 (class class class)co 7420 โcc 11136 0cc0 11138 1c1 11139 + caddc 11141 ยท cmul 11143 โ cmin 11474 / cdiv 11901 2c2 12297 โคcz 12588 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7871 df-2nd 7994 df-frecs 8286 df-wrecs 8317 df-recs 8391 df-rdg 8430 df-er 8724 df-en 8964 df-dom 8965 df-sdom 8966 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-div 11902 df-nn 12243 df-2 12305 df-n0 12503 df-z 12589 |
This theorem is referenced by: oddinmgm 47237 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |