Theorem 2nodd 48088

Description: 2 is not an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
oddinmgm.e	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}

Assertion

Ref	Expression
2nodd	⊢ 2 ∉ 𝑂

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2nodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnz 12696	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2		eleq1 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) = 𝑥 → ((1 / 2) ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
3	1, 2	mtbii 326	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) = 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ ℤ)
4	3	con2i 139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (1 / 2) = 𝑥)
5		1cnd 11256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
6		zcn 12618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
7		2cnd 12344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
8		2ne0 12370	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
10	5, 6, 7, 9	divmul2d 12076	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) = 𝑥 ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
11	4, 10	mtbid 324	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 1 = (2 · 𝑥))
12		eqcom 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (2 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 2)
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 2))
14	7, 6	mulcld 11281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
15		subadd2 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → ((2 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 2))
16	15	bicomd 223	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 2 ↔ (2 − 1) = (2 · 𝑥)))
17	7, 5, 14, 16	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 2 ↔ (2 − 1) = (2 · 𝑥)))
18		2m1e1 12392	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 − 1) = 1)
20	19	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
21	13, 17, 20	3bitrd 305	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
22	11, 21	mtbird 325	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 2 = ((2 · 𝑥) + 1))
23	22	nrex 3074	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)
24	23	intnan 486	. . 3 ⊢ ¬ (2 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1))
25		eqeq1 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 2 → (𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)))
26	25	rexbidv 3179	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 2 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)))
27		oddinmgm.e	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
28	26, 27	elrab2 3695	. . 3 ⊢ (2 ∈ 𝑂 ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)))
29	24, 28	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 2 ∈ 𝑂
30	29	nelir 3049	1 ⊢ 2 ∉ 𝑂

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∉ wnel 3046  ∃wrex 3070  {crab 3436  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  ℤcz 12613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614

This theorem is referenced by:  oddinmgm  48091