Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2nodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2nodd 47234
Description: 2 is not an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
oddinmgm.e ๐‘‚ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)}
Assertion
Ref Expression
2nodd 2 โˆ‰ ๐‘‚
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ง)

Proof of Theorem 2nodd
StepHypRef Expression
1 halfnz 12670 . . . . . . . . 9 ยฌ (1 / 2) โˆˆ โ„ค
2 eleq1 2817 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) = ๐‘ฅ โ†’ ((1 / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค))
31, 2mtbii 326 . . . . . . . 8 ((1 / 2) = ๐‘ฅ โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
43con2i 139 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ (1 / 2) = ๐‘ฅ)
5 1cnd 11239 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
6 zcn 12593 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
7 2cnd 12320 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
8 2ne0 12346 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
98a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โ‰  0)
105, 6, 7, 9divmul2d 12053 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((1 / 2) = ๐‘ฅ โ†” 1 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
114, 10mtbid 324 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ 1 = (2 ยท ๐‘ฅ))
12 eqcom 2735 . . . . . . . 8 (2 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = 2)
1312a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = 2))
147, 6mulcld 11264 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
15 subadd2 11494 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = 2))
1615bicomd 222 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = 2 โ†” (2 โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ฅ)))
177, 5, 14, 16syl3anc 1369 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = 2 โ†” (2 โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ฅ)))
18 2m1e1 12368 . . . . . . . . 9 (2 โˆ’ 1) = 1
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆ’ 1) = 1)
2019eqeq1d 2730 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” 1 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
2113, 17, 203bitrd 305 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” 1 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
2211, 21mtbird 325 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ 2 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1))
2322nrex 3071 . . . 4 ยฌ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 2 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)
2423intnan 486 . . 3 ยฌ (2 โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 2 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1))
25 eqeq1 2732 . . . . 5 (๐‘ง = 2 โ†’ (๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” 2 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)))
2625rexbidv 3175 . . . 4 (๐‘ง = 2 โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 2 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)))
27 oddinmgm.e . . . 4 ๐‘‚ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)}
2826, 27elrab2 3685 . . 3 (2 โˆˆ ๐‘‚ โ†” (2 โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 2 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)))
2924, 28mtbir 323 . 2 ยฌ 2 โˆˆ ๐‘‚
3029nelir 3046 1 2 โˆ‰ ๐‘‚
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937   โˆ‰ wnel 3043  โˆƒwrex 3067  {crab 3429  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143   โˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  2c2 12297  โ„คcz 12588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589
This theorem is referenced by:  oddinmgm  47237
  Copyright terms: Public domain W3C validator