![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > 2nodd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: 2 is not an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
oddinmgm.e | โข ๐ = {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = ((2 ยท ๐ฅ) + 1)} |
Ref | Expression |
---|---|
2nodd | โข 2 โ ๐ |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | halfnz 12639 | . . . . . . . . 9 โข ยฌ (1 / 2) โ โค | |
2 | eleq1 2813 | . . . . . . . . 9 โข ((1 / 2) = ๐ฅ โ ((1 / 2) โ โค โ ๐ฅ โ โค)) | |
3 | 1, 2 | mtbii 326 | . . . . . . . 8 โข ((1 / 2) = ๐ฅ โ ยฌ ๐ฅ โ โค) |
4 | 3 | con2i 139 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ โค โ ยฌ (1 / 2) = ๐ฅ) |
5 | 1cnd 11208 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ โค โ 1 โ โ) | |
6 | zcn 12562 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ โค โ ๐ฅ โ โ) | |
7 | 2cnd 12289 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ โค โ 2 โ โ) | |
8 | 2ne0 12315 | . . . . . . . . 9 โข 2 โ 0 | |
9 | 8 | a1i 11 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ โค โ 2 โ 0) |
10 | 5, 6, 7, 9 | divmul2d 12022 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ โค โ ((1 / 2) = ๐ฅ โ 1 = (2 ยท ๐ฅ))) |
11 | 4, 10 | mtbid 324 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ โค โ ยฌ 1 = (2 ยท ๐ฅ)) |
12 | eqcom 2731 | . . . . . . . 8 โข (2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) โ ((2 ยท ๐ฅ) + 1) = 2) | |
13 | 12 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ โค โ (2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) โ ((2 ยท ๐ฅ) + 1) = 2)) |
14 | 7, 6 | mulcld 11233 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ โค โ (2 ยท ๐ฅ) โ โ) |
15 | subadd2 11463 | . . . . . . . . 9 โข ((2 โ โ โง 1 โ โ โง (2 ยท ๐ฅ) โ โ) โ ((2 โ 1) = (2 ยท ๐ฅ) โ ((2 ยท ๐ฅ) + 1) = 2)) | |
16 | 15 | bicomd 222 | . . . . . . . 8 โข ((2 โ โ โง 1 โ โ โง (2 ยท ๐ฅ) โ โ) โ (((2 ยท ๐ฅ) + 1) = 2 โ (2 โ 1) = (2 ยท ๐ฅ))) |
17 | 7, 5, 14, 16 | syl3anc 1368 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ โค โ (((2 ยท ๐ฅ) + 1) = 2 โ (2 โ 1) = (2 ยท ๐ฅ))) |
18 | 2m1e1 12337 | . . . . . . . . 9 โข (2 โ 1) = 1 | |
19 | 18 | a1i 11 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ โ โค โ (2 โ 1) = 1) |
20 | 19 | eqeq1d 2726 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ โค โ ((2 โ 1) = (2 ยท ๐ฅ) โ 1 = (2 ยท ๐ฅ))) |
21 | 13, 17, 20 | 3bitrd 305 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ โค โ (2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) โ 1 = (2 ยท ๐ฅ))) |
22 | 11, 21 | mtbird 325 | . . . . 5 โข (๐ฅ โ โค โ ยฌ 2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1)) |
23 | 22 | nrex 3066 | . . . 4 โข ยฌ โ๐ฅ โ โค 2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) |
24 | 23 | intnan 486 | . . 3 โข ยฌ (2 โ โค โง โ๐ฅ โ โค 2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1)) |
25 | eqeq1 2728 | . . . . 5 โข (๐ง = 2 โ (๐ง = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) โ 2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1))) | |
26 | 25 | rexbidv 3170 | . . . 4 โข (๐ง = 2 โ (โ๐ฅ โ โค ๐ง = ((2 ยท ๐ฅ) + 1) โ โ๐ฅ โ โค 2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1))) |
27 | oddinmgm.e | . . . 4 โข ๐ = {๐ง โ โค โฃ โ๐ฅ โ โค ๐ง = ((2 ยท ๐ฅ) + 1)} | |
28 | 26, 27 | elrab2 3679 | . . 3 โข (2 โ ๐ โ (2 โ โค โง โ๐ฅ โ โค 2 = ((2 ยท ๐ฅ) + 1))) |
29 | 24, 28 | mtbir 323 | . 2 โข ยฌ 2 โ ๐ |
30 | 29 | nelir 3041 | 1 โข 2 โ ๐ |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wb 205 โง wa 395 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2932 โ wnel 3038 โwrex 3062 {crab 3424 (class class class)co 7402 โcc 11105 0cc0 11107 1c1 11108 + caddc 11110 ยท cmul 11112 โ cmin 11443 / cdiv 11870 2c2 12266 โคcz 12557 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-iun 4990 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-om 7850 df-2nd 7970 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-er 8700 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-div 11871 df-nn 12212 df-2 12274 df-n0 12472 df-z 12558 |
This theorem is referenced by: oddinmgm 47098 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |