Theorem 2nodd 45254

Description: 2 is not an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
oddinmgm.e	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}

Assertion

Ref	Expression
2nodd	⊢ 2 ∉ 𝑂

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2nodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnz 12328	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2		eleq1 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) = 𝑥 → ((1 / 2) ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
3	1, 2	mtbii 325	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) = 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ ℤ)
4	3	con2i 139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (1 / 2) = 𝑥)
5		1cnd 10901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
6		zcn 12254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
7		2cnd 11981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
8		2ne0 12007	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
10	5, 6, 7, 9	divmul2d 11714	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) = 𝑥 ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
11	4, 10	mtbid 323	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 1 = (2 · 𝑥))
12		eqcom 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (2 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 2)
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 2))
14	7, 6	mulcld 10926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
15		subadd2 11155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → ((2 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 2))
16	15	bicomd 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 2 ↔ (2 − 1) = (2 · 𝑥)))
17	7, 5, 14, 16	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 2 ↔ (2 − 1) = (2 · 𝑥)))
18		2m1e1 12029	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 − 1) = 1)
20	19	eqeq1d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
21	13, 17, 20	3bitrd 304	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
22	11, 21	mtbird 324	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 2 = ((2 · 𝑥) + 1))
23	22	nrex 3196	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)
24	23	intnan 486	. . 3 ⊢ ¬ (2 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1))
25		eqeq1 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 2 → (𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)))
26	25	rexbidv 3225	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 2 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)))
27		oddinmgm.e	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
28	26, 27	elrab2 3620	. . 3 ⊢ (2 ∈ 𝑂 ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)))
29	24, 28	mtbir 322	. 2 ⊢ ¬ 2 ∈ 𝑂
30	29	nelir 3051	1 ⊢ 2 ∉ 𝑂

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∉ wnel 3048  ∃wrex 3064  {crab 3067  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135   / cdiv 11562  2c2 11958  ℤcz 12249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250

This theorem is referenced by:  oddinmgm  45257