Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2nodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2nodd 46192
Description: 2 is not an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
oddinmgm.e ๐‘‚ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)}
Assertion
Ref Expression
2nodd 2 โˆ‰ ๐‘‚
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ง)

Proof of Theorem 2nodd
StepHypRef Expression
1 halfnz 12586 . . . . . . . . 9 ยฌ (1 / 2) โˆˆ โ„ค
2 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) = ๐‘ฅ โ†’ ((1 / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค))
31, 2mtbii 326 . . . . . . . 8 ((1 / 2) = ๐‘ฅ โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
43con2i 139 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ (1 / 2) = ๐‘ฅ)
5 1cnd 11155 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
6 zcn 12509 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
7 2cnd 12236 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
8 2ne0 12262 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
98a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โ‰  0)
105, 6, 7, 9divmul2d 11969 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((1 / 2) = ๐‘ฅ โ†” 1 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
114, 10mtbid 324 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ 1 = (2 ยท ๐‘ฅ))
12 eqcom 2740 . . . . . . . 8 (2 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = 2)
1312a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = 2))
147, 6mulcld 11180 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
15 subadd2 11410 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = 2))
1615bicomd 222 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = 2 โ†” (2 โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ฅ)))
177, 5, 14, 16syl3anc 1372 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = 2 โ†” (2 โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ฅ)))
18 2m1e1 12284 . . . . . . . . 9 (2 โˆ’ 1) = 1
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆ’ 1) = 1)
2019eqeq1d 2735 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” 1 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
2113, 17, 203bitrd 305 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” 1 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
2211, 21mtbird 325 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ 2 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1))
2322nrex 3074 . . . 4 ยฌ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 2 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)
2423intnan 488 . . 3 ยฌ (2 โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 2 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1))
25 eqeq1 2737 . . . . 5 (๐‘ง = 2 โ†’ (๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” 2 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)))
2625rexbidv 3172 . . . 4 (๐‘ง = 2 โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 2 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)))
27 oddinmgm.e . . . 4 ๐‘‚ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)}
2826, 27elrab2 3649 . . 3 (2 โˆˆ ๐‘‚ โ†” (2 โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 2 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)))
2924, 28mtbir 323 . 2 ยฌ 2 โˆˆ ๐‘‚
3029nelir 3049 1 2 โˆ‰ ๐‘‚
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   โˆ‰ wnel 3046  โˆƒwrex 3070  {crab 3406  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  2c2 12213  โ„คcz 12504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505
This theorem is referenced by:  oddinmgm  46195
  Copyright terms: Public domain W3C validator