Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0nodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0nodd 46580
Description: 0 is not an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
oddinmgm.e ๐‘‚ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)}
Assertion
Ref Expression
0nodd 0 โˆ‰ ๐‘‚
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ง)

Proof of Theorem 0nodd
StepHypRef Expression
1 halfnz 12640 . . . . . . . . . . 11 ยฌ (1 / 2) โˆˆ โ„ค
2 eleq1 2822 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) = -๐‘ฅ โ†’ ((1 / 2) โˆˆ โ„ค โ†” -๐‘ฅ โˆˆ โ„ค))
31, 2mtbii 326 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) = -๐‘ฅ โ†’ ยฌ -๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
4 znegcl 12597 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
53, 4nsyl3 138 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ (1 / 2) = -๐‘ฅ)
6 eqcom 2740 . . . . . . . . 9 (-๐‘ฅ = (1 / 2) โ†” (1 / 2) = -๐‘ฅ)
75, 6sylnibr 329 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ -๐‘ฅ = (1 / 2))
8 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
9 2cn 12287 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„‚
10 2ne0 12316 . . . . . . . . . . . 12 2 โ‰  0
11 divneg 11906 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ -(1 / 2) = (-1 / 2))
1211eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ (-1 / 2) = -(1 / 2))
138, 9, 10, 12mp3an 1462 . . . . . . . . . . 11 (-1 / 2) = -(1 / 2)
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1 / 2) = -(1 / 2))
1514eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((-1 / 2) = ๐‘ฅ โ†” -(1 / 2) = ๐‘ฅ))
16 halfcn 12427 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
18 zcn 12563 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1917, 18negcon1d 11565 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (-(1 / 2) = ๐‘ฅ โ†” -๐‘ฅ = (1 / 2)))
2015, 19bitrd 279 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((-1 / 2) = ๐‘ฅ โ†” -๐‘ฅ = (1 / 2)))
217, 20mtbird 325 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ (-1 / 2) = ๐‘ฅ)
22 neg1cn 12326 . . . . . . . . 9 -1 โˆˆ โ„‚
2322a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
24 2cnd 12290 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2510a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โ‰  0)
2623, 18, 24, 25divmul2d 12023 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((-1 / 2) = ๐‘ฅ โ†” -1 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
2721, 26mtbid 324 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ -1 = (2 ยท ๐‘ฅ))
28 eqcom 2740 . . . . . . . 8 (0 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = 0)
2928a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = 0))
30 0cnd 11207 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
31 1cnd 11209 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3224, 18mulcld 11234 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
33 subadd2 11464 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((0 โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = 0))
3433bicomd 222 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = 0 โ†” (0 โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ฅ)))
3530, 31, 32, 34syl3anc 1372 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = 0 โ†” (0 โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ฅ)))
36 df-neg 11447 . . . . . . . . . 10 -1 = (0 โˆ’ 1)
3736eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 (0 โˆ’ 1) = -1
3837a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โˆ’ 1) = -1)
3938eqeq1d 2735 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((0 โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” -1 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
4029, 35, 393bitrd 305 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” -1 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
4127, 40mtbird 325 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ 0 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1))
4241nrex 3075 . . . 4 ยฌ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 0 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)
4342intnan 488 . . 3 ยฌ (0 โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 0 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1))
44 eqeq1 2737 . . . . 5 (๐‘ง = 0 โ†’ (๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” 0 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)))
4544rexbidv 3179 . . . 4 (๐‘ง = 0 โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 0 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)))
46 oddinmgm.e . . . 4 ๐‘‚ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)}
4745, 46elrab2 3687 . . 3 (0 โˆˆ ๐‘‚ โ†” (0 โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 0 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)))
4843, 47mtbir 323 . 2 ยฌ 0 โˆˆ ๐‘‚
4948nelir 3050 1 0 โˆ‰ ๐‘‚
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   โˆ‰ wnel 3047  โˆƒwrex 3071  {crab 3433  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  โ„คcz 12558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator