Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0nodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0nodd 43954
Description: 0 is not an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
oddinmgm.e 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
Assertion
Ref Expression
0nodd 0 ∉ 𝑂
Distinct variable group:   𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 0nodd
StepHypRef Expression
1 halfnz 12048 . . . . . . . . . . 11 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2 eleq1 2897 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) = -𝑥 → ((1 / 2) ∈ ℤ ↔ -𝑥 ∈ ℤ))
31, 2mtbii 327 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) = -𝑥 → ¬ -𝑥 ∈ ℤ)
4 znegcl 12005 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
53, 4nsyl3 140 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (1 / 2) = -𝑥)
6 eqcom 2825 . . . . . . . . 9 (-𝑥 = (1 / 2) ↔ (1 / 2) = -𝑥)
75, 6sylnibr 330 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ -𝑥 = (1 / 2))
8 ax-1cn 10583 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
9 2cn 11700 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
10 2ne0 11729 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
11 divneg 11320 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
1211eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (-1 / 2) = -(1 / 2))
138, 9, 10, 12mp3an 1452 . . . . . . . . . . 11 (-1 / 2) = -(1 / 2)
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → (-1 / 2) = -(1 / 2))
1514eqeq1d 2820 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -(1 / 2) = 𝑥))
16 halfcn 11840 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) ∈ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
18 zcn 11974 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
1917, 18negcon1d 10979 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → (-(1 / 2) = 𝑥 ↔ -𝑥 = (1 / 2)))
2015, 19bitrd 280 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -𝑥 = (1 / 2)))
217, 20mtbird 326 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (-1 / 2) = 𝑥)
22 neg1cn 11739 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
2322a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
24 2cnd 11703 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
2510a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
2623, 18, 24, 25divmul2d 11437 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
2721, 26mtbid 325 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ -1 = (2 · 𝑥))
28 eqcom 2825 . . . . . . . 8 (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0)
2928a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0))
30 0cnd 10622 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 0 ∈ ℂ)
31 1cnd 10624 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
3224, 18mulcld 10649 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
33 subadd2 10878 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → ((0 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0))
3433bicomd 224 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 0 ↔ (0 − 1) = (2 · 𝑥)))
3530, 31, 32, 34syl3anc 1363 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 0 ↔ (0 − 1) = (2 · 𝑥)))
36 df-neg 10861 . . . . . . . . . 10 -1 = (0 − 1)
3736eqcomi 2827 . . . . . . . . 9 (0 − 1) = -1
3837a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → (0 − 1) = -1)
3938eqeq1d 2820 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → ((0 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
4029, 35, 393bitrd 306 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
4127, 40mtbird 326 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 0 = ((2 · 𝑥) + 1))
4241nrex 3266 . . . 4 ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)
4342intnan 487 . . 3 ¬ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1))
44 eqeq1 2822 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
4544rexbidv 3294 . . . 4 (𝑧 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
46 oddinmgm.e . . . 4 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
4745, 46elrab2 3680 . . 3 (0 ∈ 𝑂 ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
4843, 47mtbir 324 . 2 ¬ 0 ∈ 𝑂
4948nelir 3123 1 0 ∉ 𝑂
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wnel 3120  wrex 3136  {crab 3139  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  2c2 11680  cz 11969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator