Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0nodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0nodd 42411
Description: 0 is not an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
oddinmgm.e 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
Assertion
Ref Expression
0nodd 0 ∉ 𝑂
Distinct variable group:   𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 0nodd
StepHypRef Expression
1 halfnz 11702 . . . . . . . . . . 11 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2 eleq1 2832 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) = -𝑥 → ((1 / 2) ∈ ℤ ↔ -𝑥 ∈ ℤ))
31, 2mtbii 317 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) = -𝑥 → ¬ -𝑥 ∈ ℤ)
4 znegcl 11659 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
53, 4nsyl3 135 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (1 / 2) = -𝑥)
6 eqcom 2772 . . . . . . . . 9 (-𝑥 = (1 / 2) ↔ (1 / 2) = -𝑥)
75, 6sylnibr 320 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ -𝑥 = (1 / 2))
8 ax-1cn 10247 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
9 2cn 11347 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
10 2ne0 11383 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
11 divneg 10973 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
1211eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (-1 / 2) = -(1 / 2))
138, 9, 10, 12mp3an 1585 . . . . . . . . . . 11 (-1 / 2) = -(1 / 2)
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → (-1 / 2) = -(1 / 2))
1514eqeq1d 2767 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -(1 / 2) = 𝑥))
16 halfcn 11493 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) ∈ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
18 zcn 11629 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
1917, 18negcon1d 10640 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → (-(1 / 2) = 𝑥 ↔ -𝑥 = (1 / 2)))
2015, 19bitrd 270 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -𝑥 = (1 / 2)))
217, 20mtbird 316 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (-1 / 2) = 𝑥)
22 neg1cn 11393 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
2322a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
24 2cnd 11350 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
2510a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
2623, 18, 24, 25divmul2d 11088 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
2721, 26mtbid 315 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ -1 = (2 · 𝑥))
28 eqcom 2772 . . . . . . . 8 (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0)
2928a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0))
30 0cnd 10286 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 0 ∈ ℂ)
31 1cnd 10288 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
3224, 18mulcld 10314 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
33 subadd2 10539 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → ((0 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0))
3433bicomd 214 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 0 ↔ (0 − 1) = (2 · 𝑥)))
3530, 31, 32, 34syl3anc 1490 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 0 ↔ (0 − 1) = (2 · 𝑥)))
36 df-neg 10523 . . . . . . . . . 10 -1 = (0 − 1)
3736eqcomi 2774 . . . . . . . . 9 (0 − 1) = -1
3837a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → (0 − 1) = -1)
3938eqeq1d 2767 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → ((0 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
4029, 35, 393bitrd 296 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
4127, 40mtbird 316 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 0 = ((2 · 𝑥) + 1))
4241nrex 3146 . . . 4 ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)
4342intnan 480 . . 3 ¬ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1))
44 eqeq1 2769 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
4544rexbidv 3199 . . . 4 (𝑧 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
46 oddinmgm.e . . . 4 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
4745, 46elrab2 3523 . . 3 (0 ∈ 𝑂 ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
4843, 47mtbir 314 . 2 ¬ 0 ∈ 𝑂
4948nelir 3043 1 0 ∉ 𝑂
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wnel 3040  wrex 3056  {crab 3059  (class class class)co 6842  cc 10187  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  2c2 11327  cz 11624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-n0 11539  df-z 11625
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator