Theorem 0nodd 48158

Description: 0 is not an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
oddinmgm.e	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}

Assertion

Ref	Expression
0nodd	⊢ 0 ∉ 𝑂

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 0nodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnz 12572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2		eleq1 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) = -𝑥 → ((1 / 2) ∈ ℤ ↔ -𝑥 ∈ ℤ))
3	1, 2	mtbii 326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) = -𝑥 → ¬ -𝑥 ∈ ℤ)
4		znegcl 12528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
5	3, 4	nsyl3 138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (1 / 2) = -𝑥)
6		eqcom 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑥 = (1 / 2) ↔ (1 / 2) = -𝑥)
7	5, 6	sylnibr 329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ -𝑥 = (1 / 2))
8		ax-1cn 11086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		2cn 12221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		2ne0 12250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
11		divneg 11834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
12	11	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (-1 / 2) = -(1 / 2))
13	8, 9, 10, 12	mp3an 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1 / 2) = -(1 / 2)
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (-1 / 2) = -(1 / 2))
15	14	eqeq1d 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -(1 / 2) = 𝑥))
16		halfcn 12356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
18		zcn 12494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
19	17, 18	negcon1d 11487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (-(1 / 2) = 𝑥 ↔ -𝑥 = (1 / 2)))
20	15, 19	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -𝑥 = (1 / 2)))
21	7, 20	mtbird 325	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (-1 / 2) = 𝑥)
22		neg1cn 12131	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
24		2cnd 12224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
25	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
26	23, 18, 24, 25	divmul2d 11951	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
27	21, 26	mtbid 324	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ -1 = (2 · 𝑥))
28		eqcom 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0)
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0))
30		0cnd 11127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 0 ∈ ℂ)
31		1cnd 11129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
32	24, 18	mulcld 11154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
33		subadd2 11385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → ((0 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0))
34	33	bicomd 223	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 0 ↔ (0 − 1) = (2 · 𝑥)))
35	30, 31, 32, 34	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 0 ↔ (0 − 1) = (2 · 𝑥)))
36		df-neg 11368	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 = (0 − 1)
37	36	eqcomi 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 − 1) = -1
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 − 1) = -1)
39	38	eqeq1d 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((0 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
40	29, 35, 39	3bitrd 305	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
41	27, 40	mtbird 325	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 0 = ((2 · 𝑥) + 1))
42	41	nrex 3057	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)
43	42	intnan 486	. . 3 ⊢ ¬ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1))
44		eqeq1 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
45	44	rexbidv 3153	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
46		oddinmgm.e	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
47	45, 46	elrab2 3653	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝑂 ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
48	43, 47	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 0 ∈ 𝑂
49	48	nelir 3032	1 ⊢ 0 ∉ 𝑂

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∉ wnel 3029  ∃wrex 3053  {crab 3396  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11365  -cneg 11366   / cdiv 11795  2c2 12201  ℤcz 12489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490

This theorem is referenced by: (None)