Theorem 0nodd 46224

Description: 0 is not an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
oddinmgm.e	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}

Assertion

Ref	Expression
0nodd	⊢ 0 ∉ 𝑂

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 0nodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnz 12590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2		eleq1 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) = -𝑥 → ((1 / 2) ∈ ℤ ↔ -𝑥 ∈ ℤ))
3	1, 2	mtbii 325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) = -𝑥 → ¬ -𝑥 ∈ ℤ)
4		znegcl 12547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
5	3, 4	nsyl3 138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (1 / 2) = -𝑥)
6		eqcom 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑥 = (1 / 2) ↔ (1 / 2) = -𝑥)
7	5, 6	sylnibr 328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ -𝑥 = (1 / 2))
8		ax-1cn 11118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		2cn 12237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		2ne0 12266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
11		divneg 11856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
12	11	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (-1 / 2) = -(1 / 2))
13	8, 9, 10, 12	mp3an 1461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1 / 2) = -(1 / 2)
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (-1 / 2) = -(1 / 2))
15	14	eqeq1d 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -(1 / 2) = 𝑥))
16		halfcn 12377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
18		zcn 12513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
19	17, 18	negcon1d 11515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (-(1 / 2) = 𝑥 ↔ -𝑥 = (1 / 2)))
20	15, 19	bitrd 278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -𝑥 = (1 / 2)))
21	7, 20	mtbird 324	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (-1 / 2) = 𝑥)
22		neg1cn 12276	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
24		2cnd 12240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
25	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
26	23, 18, 24, 25	divmul2d 11973	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
27	21, 26	mtbid 323	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ -1 = (2 · 𝑥))
28		eqcom 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0)
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0))
30		0cnd 11157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 0 ∈ ℂ)
31		1cnd 11159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
32	24, 18	mulcld 11184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
33		subadd2 11414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → ((0 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0))
34	33	bicomd 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 0 ↔ (0 − 1) = (2 · 𝑥)))
35	30, 31, 32, 34	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 0 ↔ (0 − 1) = (2 · 𝑥)))
36		df-neg 11397	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 = (0 − 1)
37	36	eqcomi 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 − 1) = -1
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 − 1) = -1)
39	38	eqeq1d 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((0 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
40	29, 35, 39	3bitrd 304	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
41	27, 40	mtbird 324	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 0 = ((2 · 𝑥) + 1))
42	41	nrex 3073	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)
43	42	intnan 487	. . 3 ⊢ ¬ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1))
44		eqeq1 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
45	44	rexbidv 3171	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
46		oddinmgm.e	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
47	45, 46	elrab2 3651	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝑂 ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
48	43, 47	mtbir 322	. 2 ⊢ ¬ 0 ∈ 𝑂
49	48	nelir 3048	1 ⊢ 0 ∉ 𝑂

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   ∉ wnel 3045  ∃wrex 3069  {crab 3405  (class class class)co 7362  ℂcc 11058  0cc0 11060  1c1 11061   + caddc 11063   · cmul 11065   − cmin 11394  -cneg 11395   / cdiv 11821  2c2 12217  ℤcz 12508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12423  df-z 12509

This theorem is referenced by: (None)