Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0nodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0nodd 46190
Description: 0 is not an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
oddinmgm.e ๐‘‚ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)}
Assertion
Ref Expression
0nodd 0 โˆ‰ ๐‘‚
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ง)

Proof of Theorem 0nodd
StepHypRef Expression
1 halfnz 12586 . . . . . . . . . . 11 ยฌ (1 / 2) โˆˆ โ„ค
2 eleq1 2822 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) = -๐‘ฅ โ†’ ((1 / 2) โˆˆ โ„ค โ†” -๐‘ฅ โˆˆ โ„ค))
31, 2mtbii 326 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) = -๐‘ฅ โ†’ ยฌ -๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
4 znegcl 12543 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
53, 4nsyl3 138 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ (1 / 2) = -๐‘ฅ)
6 eqcom 2740 . . . . . . . . 9 (-๐‘ฅ = (1 / 2) โ†” (1 / 2) = -๐‘ฅ)
75, 6sylnibr 329 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ -๐‘ฅ = (1 / 2))
8 ax-1cn 11114 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
9 2cn 12233 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„‚
10 2ne0 12262 . . . . . . . . . . . 12 2 โ‰  0
11 divneg 11852 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ -(1 / 2) = (-1 / 2))
1211eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ (-1 / 2) = -(1 / 2))
138, 9, 10, 12mp3an 1462 . . . . . . . . . . 11 (-1 / 2) = -(1 / 2)
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1 / 2) = -(1 / 2))
1514eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((-1 / 2) = ๐‘ฅ โ†” -(1 / 2) = ๐‘ฅ))
16 halfcn 12373 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
18 zcn 12509 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1917, 18negcon1d 11511 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (-(1 / 2) = ๐‘ฅ โ†” -๐‘ฅ = (1 / 2)))
2015, 19bitrd 279 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((-1 / 2) = ๐‘ฅ โ†” -๐‘ฅ = (1 / 2)))
217, 20mtbird 325 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ (-1 / 2) = ๐‘ฅ)
22 neg1cn 12272 . . . . . . . . 9 -1 โˆˆ โ„‚
2322a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
24 2cnd 12236 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2510a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โ‰  0)
2623, 18, 24, 25divmul2d 11969 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((-1 / 2) = ๐‘ฅ โ†” -1 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
2721, 26mtbid 324 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ -1 = (2 ยท ๐‘ฅ))
28 eqcom 2740 . . . . . . . 8 (0 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = 0)
2928a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = 0))
30 0cnd 11153 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
31 1cnd 11155 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3224, 18mulcld 11180 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
33 subadd2 11410 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((0 โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = 0))
3433bicomd 222 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = 0 โ†” (0 โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ฅ)))
3530, 31, 32, 34syl3anc 1372 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = 0 โ†” (0 โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ฅ)))
36 df-neg 11393 . . . . . . . . . 10 -1 = (0 โˆ’ 1)
3736eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 (0 โˆ’ 1) = -1
3837a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โˆ’ 1) = -1)
3938eqeq1d 2735 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((0 โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” -1 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
4029, 35, 393bitrd 305 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” -1 = (2 ยท ๐‘ฅ)))
4127, 40mtbird 325 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ 0 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1))
4241nrex 3074 . . . 4 ยฌ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 0 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)
4342intnan 488 . . 3 ยฌ (0 โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 0 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1))
44 eqeq1 2737 . . . . 5 (๐‘ง = 0 โ†’ (๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” 0 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)))
4544rexbidv 3172 . . . 4 (๐‘ง = 0 โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 0 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)))
46 oddinmgm.e . . . 4 ๐‘‚ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)}
4745, 46elrab2 3649 . . 3 (0 โˆˆ ๐‘‚ โ†” (0 โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค 0 = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)))
4843, 47mtbir 323 . 2 ยฌ 0 โˆˆ ๐‘‚
4948nelir 3049 1 0 โˆ‰ ๐‘‚
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   โˆ‰ wnel 3046  โˆƒwrex 3070  {crab 3406  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  2c2 12213  โ„คcz 12504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator