Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0nodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0nodd 46999
Description: 0 is not an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
oddinmgm.e 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
Assertion
Ref Expression
0nodd 0 ∉ 𝑂
Distinct variable group:   𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 0nodd
StepHypRef Expression
1 halfnz 12636 . . . . . . . . . . 11 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2 eleq1 2813 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) = -𝑥 → ((1 / 2) ∈ ℤ ↔ -𝑥 ∈ ℤ))
31, 2mtbii 326 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) = -𝑥 → ¬ -𝑥 ∈ ℤ)
4 znegcl 12593 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
53, 4nsyl3 138 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (1 / 2) = -𝑥)
6 eqcom 2731 . . . . . . . . 9 (-𝑥 = (1 / 2) ↔ (1 / 2) = -𝑥)
75, 6sylnibr 329 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ -𝑥 = (1 / 2))
8 ax-1cn 11163 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
9 2cn 12283 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
10 2ne0 12312 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
11 divneg 11902 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
1211eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (-1 / 2) = -(1 / 2))
138, 9, 10, 12mp3an 1457 . . . . . . . . . . 11 (-1 / 2) = -(1 / 2)
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → (-1 / 2) = -(1 / 2))
1514eqeq1d 2726 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -(1 / 2) = 𝑥))
16 halfcn 12423 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) ∈ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
18 zcn 12559 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
1917, 18negcon1d 11561 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → (-(1 / 2) = 𝑥 ↔ -𝑥 = (1 / 2)))
2015, 19bitrd 279 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -𝑥 = (1 / 2)))
217, 20mtbird 325 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (-1 / 2) = 𝑥)
22 neg1cn 12322 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
2322a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
24 2cnd 12286 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
2510a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
2623, 18, 24, 25divmul2d 12019 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
2721, 26mtbid 324 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ -1 = (2 · 𝑥))
28 eqcom 2731 . . . . . . . 8 (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0)
2928a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0))
30 0cnd 11203 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 0 ∈ ℂ)
31 1cnd 11205 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
3224, 18mulcld 11230 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
33 subadd2 11460 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → ((0 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0))
3433bicomd 222 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 0 ↔ (0 − 1) = (2 · 𝑥)))
3530, 31, 32, 34syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 0 ↔ (0 − 1) = (2 · 𝑥)))
36 df-neg 11443 . . . . . . . . . 10 -1 = (0 − 1)
3736eqcomi 2733 . . . . . . . . 9 (0 − 1) = -1
3837a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → (0 − 1) = -1)
3938eqeq1d 2726 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → ((0 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
4029, 35, 393bitrd 305 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
4127, 40mtbird 325 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 0 = ((2 · 𝑥) + 1))
4241nrex 3066 . . . 4 ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)
4342intnan 486 . . 3 ¬ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1))
44 eqeq1 2728 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
4544rexbidv 3170 . . . 4 (𝑧 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
46 oddinmgm.e . . . 4 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
4745, 46elrab2 3678 . . 3 (0 ∈ 𝑂 ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
4843, 47mtbir 323 . 2 ¬ 0 ∈ 𝑂
4948nelir 3041 1 0 ∉ 𝑂
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  wnel 3038  wrex 3062  {crab 3424  (class class class)co 7401  cc 11103  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110  cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  2c2 12263  cz 12554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator