Theorem 0nodd 43451

Description: 0 is not an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
oddinmgm.e	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}

Assertion

Ref	Expression
0nodd	⊢ 0 ∉ 𝑂

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 0nodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnz 11873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2		eleq1 2853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) = -𝑥 → ((1 / 2) ∈ ℤ ↔ -𝑥 ∈ ℤ))
3	1, 2	mtbii 318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) = -𝑥 → ¬ -𝑥 ∈ ℤ)
4		znegcl 11830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
5	3, 4	nsyl3 136	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (1 / 2) = -𝑥)
6		eqcom 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑥 = (1 / 2) ↔ (1 / 2) = -𝑥)
7	5, 6	sylnibr 321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ -𝑥 = (1 / 2))
8		ax-1cn 10393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		2cn 11515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		2ne0 11551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
11		divneg 11133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
12	11	eqcomd 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (-1 / 2) = -(1 / 2))
13	8, 9, 10, 12	mp3an 1440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1 / 2) = -(1 / 2)
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (-1 / 2) = -(1 / 2))
15	14	eqeq1d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -(1 / 2) = 𝑥))
16		halfcn 11662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
18		zcn 11798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
19	17, 18	negcon1d 10792	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (-(1 / 2) = 𝑥 ↔ -𝑥 = (1 / 2)))
20	15, 19	bitrd 271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -𝑥 = (1 / 2)))
21	7, 20	mtbird 317	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (-1 / 2) = 𝑥)
22		neg1cn 11561	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
24		2cnd 11518	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
25	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
26	23, 18, 24, 25	divmul2d 11250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
27	21, 26	mtbid 316	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ -1 = (2 · 𝑥))
28		eqcom 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0)
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0))
30		0cnd 10432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 0 ∈ ℂ)
31		1cnd 10434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
32	24, 18	mulcld 10460	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
33		subadd2 10690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → ((0 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0))
34	33	bicomd 215	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 0 ↔ (0 − 1) = (2 · 𝑥)))
35	30, 31, 32, 34	syl3anc 1351	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 0 ↔ (0 − 1) = (2 · 𝑥)))
36		df-neg 10673	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 = (0 − 1)
37	36	eqcomi 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 − 1) = -1
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 − 1) = -1)
39	38	eqeq1d 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((0 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
40	29, 35, 39	3bitrd 297	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
41	27, 40	mtbird 317	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 0 = ((2 · 𝑥) + 1))
42	41	nrex 3214	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)
43	42	intnan 479	. . 3 ⊢ ¬ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1))
44		eqeq1 2782	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
45	44	rexbidv 3242	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
46		oddinmgm.e	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
47	45, 46	elrab2 3599	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝑂 ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
48	43, 47	mtbir 315	. 2 ⊢ ¬ 0 ∈ 𝑂
49	48	nelir 3076	1 ⊢ 0 ∉ 𝑂

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967   ∉ wnel 3073  ∃wrex 3089  {crab 3092  (class class class)co 6976  ℂcc 10333  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340   − cmin 10670  -cneg 10671   / cdiv 11098  2c2 11495  ℤcz 11793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-n0 11708  df-z 11794

This theorem is referenced by: (None)