Theorem 0nodd 48753

Description: 0 is not an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
oddinmgm.e	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}

Assertion

Ref	Expression
0nodd	⊢ 0 ∉ 𝑂

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 0nodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnz 12645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2		eleq1 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) = -𝑥 → ((1 / 2) ∈ ℤ ↔ -𝑥 ∈ ℤ))
3	1, 2	mtbii 328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) = -𝑥 → ¬ -𝑥 ∈ ℤ)
4		znegcl 12600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
5	3, 4	nsyl3 138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (1 / 2) = -𝑥)
6		eqcom 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑥 = (1 / 2) ↔ (1 / 2) = -𝑥)
7	5, 6	sylnibr 331	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ -𝑥 = (1 / 2))
8		ax-1cn 11125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		2cn 12287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		2ne0 12318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
11		divneg 11876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
12	11	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (-1 / 2) = -(1 / 2))
13	8, 9, 10, 12	mp3an 1481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1 / 2) = -(1 / 2)
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (-1 / 2) = -(1 / 2))
15	14	eqeq1d 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -(1 / 2) = 𝑥))
16		halfcn 12429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
18		zcn 12567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
19	17, 18	negcon1d 11530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (-(1 / 2) = 𝑥 ↔ -𝑥 = (1 / 2)))
20	15, 19	bitrd 281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -𝑥 = (1 / 2)))
21	7, 20	mtbird 327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (-1 / 2) = 𝑥)
22		neg1cn 12174	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
24		2cnd 12290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
25	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
26	23, 18, 24, 25	divmul2d 11994	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
27	21, 26	mtbid 326	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ -1 = (2 · 𝑥))
28		eqcom 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0)
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0))
30		0cnd 11166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 0 ∈ ℂ)
31		1cnd 11169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
32	24, 18	mulcld 11196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
33		subadd2 11428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → ((0 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0))
34	33	bicomd 225	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 0 ↔ (0 − 1) = (2 · 𝑥)))
35	30, 31, 32, 34	syl3anc 1389	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 0 ↔ (0 − 1) = (2 · 𝑥)))
36		df-neg 11411	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 = (0 − 1)
37	36	eqcomi 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 − 1) = -1
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 − 1) = -1)
39	38	eqeq1d 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((0 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
40	29, 35, 39	3bitrd 307	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
41	27, 40	mtbird 327	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 0 = ((2 · 𝑥) + 1))
42	41	nrex 3089	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)
43	42	intnan 490	. . 3 ⊢ ¬ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1))
44		eqeq1 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
45	44	rexbidv 3185	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
46		oddinmgm.e	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
47	45, 46	elrab2 3652	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝑂 ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
48	43, 47	mtbir 325	. 2 ⊢ ¬ 0 ∈ 𝑂
49	48	nelir 3063	1 ⊢ 0 ∉ 𝑂

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∉ wnel 3060  ∃wrex 3085  {crab 3413  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   · cmul 11072   − cmin 11408  -cneg 11409   / cdiv 11838  2c2 12266  ℤcz 12562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-n0 12476  df-z 12563

This theorem is referenced by: (None)