Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oddinmgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddinmgm 42340
Description: The structure of all odd integers together with the addition of complex numbers is not a magma. Remark: the structure of the complementary subset of the set of integers, the even integers, is a magma, actually an abelian group, see 2zrngaabl 42469, and even a non-unital ring, see 2zrng 42460. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oddinmgm.e 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
oddinmgm.r 𝑀 = (ℂflds 𝑂)
Assertion
Ref Expression
oddinmgm 𝑀 ∉ Mgm
Distinct variable group:   𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem oddinmgm
StepHypRef Expression
1 oddinmgm.e . . 3 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
211odd 42336 . 2 1 ∈ 𝑂
312nodd 42337 . . 3 2 ∉ 𝑂
4 1p1e2 11337 . . . 4 (1 + 1) = 2
5 neleq1 3051 . . . 4 ((1 + 1) = 2 → ((1 + 1) ∉ 𝑂 ↔ 2 ∉ 𝑂))
64, 5ax-mp 5 . . 3 ((1 + 1) ∉ 𝑂 ↔ 2 ∉ 𝑂)
73, 6mpbir 221 . 2 (1 + 1) ∉ 𝑂
8 oddinmgm.r . . . 4 𝑀 = (ℂflds 𝑂)
91, 8oddibas 42338 . . 3 𝑂 = (Base‘𝑀)
101, 8oddiadd 42339 . . 3 + = (+g𝑀)
119, 10isnmgm 17450 . 2 ((1 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ 𝑂 ∧ (1 + 1) ∉ 𝑂) → 𝑀 ∉ Mgm)
122, 2, 7, 11mp3an 1572 1 𝑀 ∉ Mgm
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196   = wceq 1631  wcel 2145  wnel 3046  wrex 3062  {crab 3065  (class class class)co 6792  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  2c2 11272  cz 11580  s cress 16061  Mgmcmgm 17444  fldccnfld 19957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-addf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-fz 12530  df-struct 16062  df-ndx 16063  df-slot 16064  df-base 16066  df-sets 16067  df-ress 16068  df-plusg 16158  df-mulr 16159  df-starv 16160  df-tset 16164  df-ple 16165  df-ds 16168  df-unif 16169  df-mgm 17446  df-cnfld 19958
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator