Theorem oddinmgm 42377

Description: The structure of all odd integers together with the addition of complex numbers is not a magma. Remark: the structure of the complementary subset of the set of integers, the even integers, is a magma, actually an abelian group, see 2zrngaabl 42506, and even a non-unital ring, see 2zrng 42497. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
oddinmgm.e	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
oddinmgm.r	⊢ 𝑀 = (ℂfld ↾s 𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oddinmgm	⊢ 𝑀 ∉ Mgm

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem oddinmgm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddinmgm.e	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
2	1	1odd 42373	. 2 ⊢ 1 ∈ 𝑂
3	1	2nodd 42374	. . 3 ⊢ 2 ∉ 𝑂
4		1p1e2 11411	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
5		neleq1 3082	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) = 2 → ((1 + 1) ∉ 𝑂 ↔ 2 ∉ 𝑂))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((1 + 1) ∉ 𝑂 ↔ 2 ∉ 𝑂)
7	3, 6	mpbir 222	. 2 ⊢ (1 + 1) ∉ 𝑂
8		oddinmgm.r	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (ℂfld ↾s 𝑂)
9	1, 8	oddibas 42375	. . 3 ⊢ 𝑂 = (Base‘𝑀)
10	1, 8	oddiadd 42376	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑀)
11	9, 10	isnmgm 17445	. 2 ⊢ ((1 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ 𝑂 ∧ (1 + 1) ∉ 𝑂) → 𝑀 ∉ Mgm)
12	2, 2, 7, 11	mp3an 1578	1 ⊢ 𝑀 ∉ Mgm

Syntax hints:   ↔ wb 197   = wceq 1637   ∈ wcel 2155   ∉ wnel 3077  ∃wrex 3093  {crab 3096  (class class class)co 6868  1c1 10216   + caddc 10218   · cmul 10220  2c2 11350  ℤcz 11637   ↾_s cress 16063  Mgmcmgm 17439  ℂ_fldccnfld 19948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292  ax-addf 10294

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-int 4663  df-iun 4707  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-om 7290  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-1o 7790  df-oadd 7794  df-er 7973  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-fin 8190  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-div 10964  df-nn 11300  df-2 11358  df-3 11359  df-4 11360  df-5 11361  df-6 11362  df-7 11363  df-8 11364  df-9 11365  df-n0 11554  df-z 11638  df-dec 11754  df-uz 11899  df-fz 12544  df-struct 16064  df-ndx 16065  df-slot 16066  df-base 16068  df-sets 16069  df-ress 16070  df-plusg 16160  df-mulr 16161  df-starv 16162  df-tset 16166  df-ple 16167  df-ds 16169  df-unif 16170  df-mgm 17441  df-cnfld 19949

This theorem is referenced by: (None)