Theorem oddinmgm 44787

Description: The structure of all odd integers together with the addition of complex numbers is not a magma. Remark: the structure of the complementary subset of the set of integers, the even integers, is a magma, actually an abelian group, see 2zrngaabl 44920, and even a non-unital ring, see 2zrng 44911. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
oddinmgm.e	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
oddinmgm.r	⊢ 𝑀 = (ℂfld ↾s 𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oddinmgm	⊢ 𝑀 ∉ Mgm

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem oddinmgm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddinmgm.e	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
2	1	1odd 44783	. 2 ⊢ 1 ∈ 𝑂
3	1	2nodd 44784	. . 3 ⊢ 2 ∉ 𝑂
4		1p1e2 11784	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
5		neleq1 3058	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) = 2 → ((1 + 1) ∉ 𝑂 ↔ 2 ∉ 𝑂))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((1 + 1) ∉ 𝑂 ↔ 2 ∉ 𝑂)
7	3, 6	mpbir 234	. 2 ⊢ (1 + 1) ∉ 𝑂
8		oddinmgm.r	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (ℂfld ↾s 𝑂)
9	1, 8	oddibas 44785	. . 3 ⊢ 𝑂 = (Base‘𝑀)
10	1, 8	oddiadd 44786	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑀)
11	9, 10	isnmgm 17907	. 2 ⊢ ((1 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ 𝑂 ∧ (1 + 1) ∉ 𝑂) → 𝑀 ∉ Mgm)
12	2, 2, 7, 11	mp3an 1459	1 ⊢ 𝑀 ∉ Mgm

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ∉ wnel 3053  ∃wrex 3069  {crab 3072  (class class class)co 7143  1c1 10561   + caddc 10563   · cmul 10565  2c2 11714  ℤcz 12005   ↾_s cress 16527  Mgmcmgm 17901  ℂ_fldccnfld 20151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637  ax-addf 10639

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-div 11321  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-6 11726  df-7 11727  df-8 11728  df-9 11729  df-n0 11920  df-z 12006  df-dec 12123  df-uz 12268  df-fz 12925  df-struct 16528  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-ress 16534  df-plusg 16621  df-mulr 16622  df-starv 16623  df-tset 16627  df-ple 16628  df-ds 16630  df-unif 16631  df-mgm 17903  df-cnfld 20152

This theorem is referenced by: (None)