Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oddinmgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddinmgm 44603
 Description: The structure of all odd integers together with the addition of complex numbers is not a magma. Remark: the structure of the complementary subset of the set of integers, the even integers, is a magma, actually an abelian group, see 2zrngaabl 44736, and even a non-unital ring, see 2zrng 44727. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oddinmgm.e 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
oddinmgm.r 𝑀 = (ℂflds 𝑂)
Assertion
Ref Expression
oddinmgm 𝑀 ∉ Mgm
Distinct variable group:   𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem oddinmgm
StepHypRef Expression
1 oddinmgm.e . . 3 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
211odd 44599 . 2 1 ∈ 𝑂
312nodd 44600 . . 3 2 ∉ 𝑂
4 1p1e2 11768 . . . 4 (1 + 1) = 2
5 neleq1 3096 . . . 4 ((1 + 1) = 2 → ((1 + 1) ∉ 𝑂 ↔ 2 ∉ 𝑂))
64, 5ax-mp 5 . . 3 ((1 + 1) ∉ 𝑂 ↔ 2 ∉ 𝑂)
73, 6mpbir 234 . 2 (1 + 1) ∉ 𝑂
8 oddinmgm.r . . . 4 𝑀 = (ℂflds 𝑂)
91, 8oddibas 44601 . . 3 𝑂 = (Base‘𝑀)
101, 8oddiadd 44602 . . 3 + = (+g𝑀)
119, 10isnmgm 17868 . 2 ((1 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ 𝑂 ∧ (1 + 1) ∉ 𝑂) → 𝑀 ∉ Mgm)
122, 2, 7, 11mp3an 1458 1 𝑀 ∉ Mgm
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3091  ∃wrex 3107  {crab 3110  (class class class)co 7145  1c1 10545   + caddc 10547   · cmul 10549  2c2 11698  ℤcz 11989   ↾s cress 16496  Mgmcmgm 17862  ℂfldccnfld 20112 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-addf 10623 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-fz 12906  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-starv 16592  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-unif 16600  df-mgm 17864  df-cnfld 20113 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator