Theorem oddinmgm 49188

Description: The structure of all odd integers together with the addition of complex numbers is not a magma. Remark: the structure of the complementary subset of the set of integers, the even integers, is a magma, actually an abelian group, see 2zrngaabl 49263, and even a non-unital ring, see 2zrng 49254. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
oddinmgm.e	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
oddinmgm.r	⊢ 𝑀 = (ℂfld ↾s 𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oddinmgm	⊢ 𝑀 ∉ Mgm

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥, 𝑧)   𝑂(𝑥, 𝑧)

Proof of Theorem oddinmgm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddinmgm.e	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
2	1	1odd 49184	. 2 ⊢ 1 ∈ 𝑂
3	1	2nodd 49185	. . 3 ⊢ 2 ∉ 𝑂
4		1p1e2 12421	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
5		neleq1 3067	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) = 2 → ((1 + 1) ∉ 𝑂 ↔ 2 ∉ 𝑂))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((1 + 1) ∉ 𝑂 ↔ 2 ∉ 𝑂)
7	3, 6	mpbir 234	. 2 ⊢ (1 + 1) ∉ 𝑂
8		oddinmgm.r	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (ℂfld ↾s 𝑂)
9	1, 8	oddibas 49186	. . 3 ⊢ 𝑂 = (Base‘𝑀)
10	1, 8	oddiadd 49187	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑀)
11	9, 10	isnmgm 18767	. 2 ⊢ ((1 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ 𝑂 ∧ (1 + 1) ∉ 𝑂) → 𝑀 ∉ Mgm)
12	2, 2, 7, 11	mp3an 1490	1 ⊢ 𝑀 ∉ Mgm

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3061  ∃wrex 3086  {crab 3412  (class class class)co 7409  1c1 11158   + caddc 11160   · cmul 11162  2c2 12352  ℤcz 12648   ↾_s cress 17355  Mgmcmgm 18761  ℂ_fldccnfld 21625

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-addf 11236

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-fz 13595  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-mgm 18763  df-cnfld 21626

This theorem is used by: (None)