Theorem abstri 15379

Description: Triangle inequality for absolute value. Proposition 10-3.7(h) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 7-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
abstri	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem abstri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12367	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℝ)
3		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	cjcld 15245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
6	3, 5	mulcld 11310	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (∗‘𝐵)) ∈ ℂ)
7	6	recld 15243	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) ∈ ℝ)
8	2, 7	remulcld 11320	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵)))) ∈ ℝ)
9		abscl 15327	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
10	3, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11		abscl 15327	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
12	4, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
13	10, 12	remulcld 11320	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
14	2, 13	remulcld 11320	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵))) ∈ ℝ)
15	10	resqcld 14175	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
16	12	resqcld 14175	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵)↑2) ∈ ℝ)
17	15, 16	readdcld 11319	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ)
18		releabs 15370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 · (∗‘𝐵)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 · (∗‘𝐵))))
19	6, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 · (∗‘𝐵))))
20		absmul 15343	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐵) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘(∗‘𝐵))))
21	3, 5, 20	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘(∗‘𝐵))))
22		abscj 15328	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(∗‘𝐵)) = (abs‘𝐵))
23	4, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(∗‘𝐵)) = (abs‘𝐵))
24	23	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(∗‘𝐵))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
25	21, 24	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
26	19, 25	breqtrd 5192	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
27		2rp 13062	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℝ+)
29	7, 13, 28	lemul2d 13143	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ↔ (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵)))) ≤ (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))))
30	26, 29	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵)))) ≤ (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵))))
31	8, 14, 17, 30	leadd2dd 11905	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))))
32		sqabsadd 15331	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))))))
33	10	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
34	12	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐵) ∈ ℂ)
35		binom2 14266	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵))↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))) + ((abs‘𝐵)↑2)))
36	33, 34, 35	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵))↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))) + ((abs‘𝐵)↑2)))
37	15	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
38	14	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵))) ∈ ℂ)
39	16	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵)↑2) ∈ ℂ)
40	37, 38, 39	add32d 11517	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((abs‘𝐴)↑2) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))) + ((abs‘𝐵)↑2)) = ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))))
41	36, 40	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵))↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))))
42	31, 32, 41	3brtr4d 5198	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵))↑2))
43		addcl 11266	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
44		abscl 15327	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
46	10, 12	readdcld 11319	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
47		absge0 15336	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘(𝐴 + 𝐵)))
48	43, 47	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘(𝐴 + 𝐵)))
49		absge0 15336	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
50	3, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
51		absge0 15336	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐵))
52	4, 51	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
53	10, 12, 50, 52	addge0d 11866	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵)))
54	45, 46, 48, 53	le2sqd 14306	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵)) ↔ ((abs‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵))↑2)))
55	42, 54	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184   + caddc 11187   · cmul 11189   ≤ cle 11325  2c2 12348  ℝ⁺crp 13057  ↑cexp 14112  ∗ccj 15145  ℜcre 15146  abscabs 15283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285

This theorem is referenced by:  abs3dif  15380  abs2dif2  15382  abstrii  15457  abstrid  15505  absabv  21465  cnnv  30709  ftc1anclem7  37659  ftc1anclem8  37660