Theorem abstri 15504

Description: Triangle inequality for absolute value. Proposition 10-3.7(h) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 7-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
abstri	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem abstri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12421	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℝ)
3		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	cjcld 15369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
6	3, 5	mulcld 11333	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (∗‘𝐵)) ∈ ℂ)
7	6	recld 15367	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) ∈ ℝ)
8	2, 7	remulcld 11343	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵)))) ∈ ℝ)
9		abscl 15451	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
10	3, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11		abscl 15451	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
12	4, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
13	10, 12	remulcld 11343	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
14	2, 13	remulcld 11343	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵))) ∈ ℝ)
15	10	resqcld 14272	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
16	12	resqcld 14272	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵)↑2) ∈ ℝ)
17	15, 16	readdcld 11342	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) ∈ ℝ)
18		releabs 15495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 · (∗‘𝐵)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 · (∗‘𝐵))))
19	6, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 · (∗‘𝐵))))
20		absmul 15467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐵) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘(∗‘𝐵))))
21	3, 5, 20	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘(∗‘𝐵))))
22		abscj 15452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(∗‘𝐵)) = (abs‘𝐵))
23	4, 22	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(∗‘𝐵)) = (abs‘𝐵))
24	23	oveq2d 7437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(∗‘𝐵))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
25	21, 24	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
26	19, 25	breqtrd 5130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
27		2rp 13129	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℝ+)
29	7, 13, 28	lemul2d 13212	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ↔ (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵)))) ≤ (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))))
30	26, 29	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵)))) ≤ (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵))))
31	8, 14, 17, 30	leadd2dd 11935	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))))
32		sqabsadd 15455	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))))))
33	10	recnd 11341	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
34	12	recnd 11341	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘𝐵) ∈ ℂ)
35		binom2 14365	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵))↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))) + ((abs‘𝐵)↑2)))
36	33, 34, 35	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵))↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))) + ((abs‘𝐵)↑2)))
37	15	recnd 11341	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
38	14	recnd 11341	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵))) ∈ ℂ)
39	16	recnd 11341	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵)↑2) ∈ ℂ)
40	37, 38, 39	add32d 11542	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((abs‘𝐴)↑2) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))) + ((abs‘𝐵)↑2)) = ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))))
41	36, 40	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵))↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + ((abs‘𝐵)↑2)) + (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))))
42	31, 32, 41	3brtr4d 5136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵))↑2))
43		addcl 11286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
44		abscl 15451	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
45	43, 44	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
46	10, 12	readdcld 11342	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
47		absge0 15460	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘(𝐴 + 𝐵)))
48	43, 47	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘(𝐴 + 𝐵)))
49		absge0 15460	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
50	3, 49	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
51		absge0 15460	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐵))
52	4, 51	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
53	10, 12, 50, 52	addge0d 11896	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 0 ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵)))
54	45, 46, 48, 53	le2sqd 14405	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵)) ↔ ((abs‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ≤ (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵))↑2)))
55	42, 54	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  ℝcr 11203  0cc0 11204   + caddc 11207   · cmul 11209   ≤ cle 11348  2c2 12401  ℝ⁺crp 13124  ↑cexp 14208  ∗ccj 15269  ℜcre 15270  abscabs 15407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409

This theorem is used by:  abs3dif  15505  abs2dif2  15507  abstrii  15582  abstrid  15632  absabv  21736  cnnv  31285  ftc1anclem7  38711  ftc1anclem8  38712