MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abstri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abstri 15216
Description: Triangle inequality for absolute value. Proposition 10-3.7(h) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 7-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
abstri ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(๐ด + ๐ต)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ต)))

Proof of Theorem abstri
StepHypRef Expression
1 2re 12228 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„
21a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
3 simpl 484 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 simpr 486 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
54cjcld 15082 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
63, 5mulcld 11176 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
76recld 15080 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„)
82, 7remulcld 11186 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))) โˆˆ โ„)
9 abscl 15164 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
103, 9syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
11 abscl 15164 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
124, 11syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1310, 12remulcld 11186 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
142, 13remulcld 11186 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„)
1510resqcld 14031 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„)
1612resqcld 14031 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„)
1715, 16readdcld 11185 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((absโ€˜๐ต)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
18 releabs 15207 . . . . . . 7 ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) โ‰ค (absโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))
196, 18syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) โ‰ค (absโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))
20 absmul 15180 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))))
213, 5, 20syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))))
22 abscj 15165 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(โˆ—โ€˜๐ต)) = (absโ€˜๐ต))
234, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(โˆ—โ€˜๐ต)) = (absโ€˜๐ต))
2423oveq2d 7374 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)))
2521, 24eqtrd 2777 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)))
2619, 25breqtrd 5132 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)))
27 2rp 12921 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„+
2827a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
297, 13, 28lemul2d 13002 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)) โ†” (2 ยท (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))) โ‰ค (2 ยท ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)))))
3026, 29mpbid 231 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต)))) โ‰ค (2 ยท ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต))))
318, 14, 17, 30leadd2dd 11771 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((absโ€˜๐ต)โ†‘2)) + (2 ยท (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))) โ‰ค ((((absโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((absโ€˜๐ต)โ†‘2)) + (2 ยท ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)))))
32 sqabsadd 15168 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜(๐ด + ๐ต))โ†‘2) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((absโ€˜๐ต)โ†‘2)) + (2 ยท (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))))))
3310recnd 11184 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
3412recnd 11184 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
35 binom2 14122 . . . . 5 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ต))โ†‘2) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 ยท ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)))) + ((absโ€˜๐ต)โ†‘2)))
3633, 34, 35syl2anc 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ต))โ†‘2) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 ยท ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)))) + ((absโ€˜๐ต)โ†‘2)))
3715recnd 11184 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3814recnd 11184 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„‚)
3916recnd 11184 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4037, 38, 39add32d 11383 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 ยท ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)))) + ((absโ€˜๐ต)โ†‘2)) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((absโ€˜๐ต)โ†‘2)) + (2 ยท ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)))))
4136, 40eqtrd 2777 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ต))โ†‘2) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((absโ€˜๐ต)โ†‘2)) + (2 ยท ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜๐ต)))))
4231, 32, 413brtr4d 5138 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜(๐ด + ๐ต))โ†‘2) โ‰ค (((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ต))โ†‘2))
43 addcl 11134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
44 abscl 15164 . . . 4 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„)
4543, 44syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„)
4610, 12readdcld 11185 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
47 absge0 15173 . . . 4 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(๐ด + ๐ต)))
4843, 47syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(๐ด + ๐ต)))
49 absge0 15173 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))
503, 49syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))
51 absge0 15173 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ต))
524, 51syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ต))
5310, 12, 50, 52addge0d 11732 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ต)))
5445, 46, 48, 53le2sqd 14161 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜(๐ด + ๐ต)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ต)) โ†” ((absโ€˜(๐ด + ๐ต))โ†‘2) โ‰ค (((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ต))โ†‘2)))
5542, 54mpbird 257 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(๐ด + ๐ต)) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  โ„cr 11051  0cc0 11052   + caddc 11055   ยท cmul 11057   โ‰ค cle 11191  2c2 12209  โ„+crp 12916  โ†‘cexp 13968  โˆ—ccj 14982  โ„œcre 14983  abscabs 15120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122
This theorem is referenced by:  abs3dif  15217  abs2dif2  15219  abstrii  15294  abstrid  15342  absabv  20857  cnnv  29622  ftc1anclem7  36160  ftc1anclem8  36161
  Copyright terms: Public domain W3C validator