Theorem abs1m 15352

Description: For any complex number, there exists a unit-magnitude multiplier that produces its absolute value. Part of proof of Theorem 13-2.12 of [Gleason] p. 195. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
abs1m	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem abs1m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6875	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
2		abs0 15302	. . . . . 6 ⊢ (abs‘0) = 0
3	1, 2	eqtrdi 2786	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
4		oveq2 7411	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑥 · 0))
5	3, 4	eqeq12d 2751	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ((abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴) ↔ 0 = (𝑥 · 0)))
6	5	anbi2d 630	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)) ↔ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0))))
7	6	rexbidv 3164	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0))))
8		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	cjcld 15213	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
10		abscl 15295	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11261	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
13		abs00 15306	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
14	13	necon3bid 2976	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
15	14	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
16	9, 12, 15	divcld 12015	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
17		absdiv 15312	. . . . 5 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0) → (abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = ((abs‘(∗‘𝐴)) / (abs‘(abs‘𝐴))))
18	9, 12, 15, 17	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = ((abs‘(∗‘𝐴)) / (abs‘(abs‘𝐴))))
19		abscj 15296	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(∗‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(∗‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
21		absidm 15340	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
23	20, 22	oveq12d 7421	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(∗‘𝐴)) / (abs‘(abs‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)))
24	12, 15	dividd 12013	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) = 1)
25	18, 23, 24	3eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = 1)
26	8, 9, 12, 15	divassd 12050	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 · (∗‘𝐴)) / (abs‘𝐴)) = (𝐴 · ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))))
27	12	sqvald 14159	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
28		absvalsq 15297	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
30	27, 29	eqtr3d 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
31	12, 12, 15, 30	mvllmuld 12071	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) / (abs‘𝐴)))
32	16, 8	mulcomd 11254	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴) = (𝐴 · ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))))
33	26, 31, 32	3eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴))
34		fveqeq2 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) → ((abs‘𝑥) = 1 ↔ (abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = 1))
35		oveq1 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) → (𝑥 · 𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴))
36	35	eqeq2d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴) ↔ (abs‘𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴)))
37	34, 36	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) → (((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)) ↔ ((abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴))))
38	37	rspcev 3601	. . 3 ⊢ ((((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))
39	16, 25, 33, 38	syl12anc 836	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))
40		ax-icn 11186	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
41		absi 15303	. . . . 5 ⊢ (abs‘i) = 1
42		it0e0 12462	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
43	42	eqcomi 2744	. . . . 5 ⊢ 0 = (i · 0)
44	41, 43	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ((abs‘i) = 1 ∧ 0 = (i · 0))
45		fveqeq2 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = i → ((abs‘𝑥) = 1 ↔ (abs‘i) = 1))
46		oveq1 7410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = i → (𝑥 · 0) = (i · 0))
47	46	eqeq2d 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = i → (0 = (𝑥 · 0) ↔ 0 = (i · 0)))
48	45, 47	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = i → (((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0)) ↔ ((abs‘i) = 1 ∧ 0 = (i · 0))))
49	48	rspcev 3601	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((abs‘i) = 1 ∧ 0 = (i · 0))) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0)))
50	40, 44, 49	mp2an 692	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0))
51	50	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0)))
52	7, 39, 51	pm2.61ne 3017	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128  ici 11129   · cmul 11132   / cdiv 11892  2c2 12293  ↑cexp 14077  ∗ccj 15113  abscabs 15251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13007  df-seq 14018  df-exp 14078  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253

This theorem is referenced by: (None)