Theorem abs1m 15392

Description: For any complex number, there exists a unit-magnitude multiplier that produces its absolute value. Part of proof of Theorem 13-2.12 of [Gleason] p. 195. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
abs1m	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem abs1m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
2		abs0 15341	. . . . . 6 ⊢ (abs‘0) = 0
3	1, 2	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
4		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑥 · 0))
5	3, 4	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ((abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴) ↔ 0 = (𝑥 · 0)))
6	5	anbi2d 641	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)) ↔ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0))))
7	6	rexbidv 3189	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0))))
8		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	cjcld 15252	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
10		abscl 15334	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11241	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
13		abs00 15345	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
14	13	necon3bid 3002	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
15	14	biimpar 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
16	9, 12, 15	divcld 11995	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
17		absdiv 15351	. . . . 5 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0) → (abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = ((abs‘(∗‘𝐴)) / (abs‘(abs‘𝐴))))
18	9, 12, 15, 17	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = ((abs‘(∗‘𝐴)) / (abs‘(abs‘𝐴))))
19		abscj 15335	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(∗‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
20	19	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(∗‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
21		absidm 15380	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
22	21	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
23	20, 22	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(∗‘𝐴)) / (abs‘(abs‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)))
24	12, 15	dividd 11993	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) = 1)
25	18, 23, 24	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = 1)
26	8, 9, 12, 15	divassd 12030	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 · (∗‘𝐴)) / (abs‘𝐴)) = (𝐴 · ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))))
27	12	sqvald 14184	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
28		absvalsq 15336	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
29	28	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
30	27, 29	eqtr3d 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
31	12, 12, 15, 30	mvllmuld 12051	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) / (abs‘𝐴)))
32	16, 8	mulcomd 11234	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴) = (𝐴 · ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))))
33	26, 31, 32	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴))
34		fveqeq2 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) → ((abs‘𝑥) = 1 ↔ (abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = 1))
35		oveq1 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) → (𝑥 · 𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴))
36	35	eqeq2d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴) ↔ (abs‘𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴)))
37	34, 36	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) → (((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)) ↔ ((abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴))))
38	37	rspcev 3581	. . 3 ⊢ ((((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))
39	16, 25, 33, 38	syl12anc 849	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))
40		ax-icn 11163	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
41		absi 15342	. . . . 5 ⊢ (abs‘i) = 1
42		it0e0 12471	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
43	42	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ 0 = (i · 0)
44	41, 43	pm3.2i 475	. . . 4 ⊢ ((abs‘i) = 1 ∧ 0 = (i · 0))
45		fveqeq2 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = i → ((abs‘𝑥) = 1 ↔ (abs‘i) = 1))
46		oveq1 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = i → (𝑥 · 0) = (i · 0))
47	46	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = i → (0 = (𝑥 · 0) ↔ 0 = (i · 0)))
48	45, 47	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = i → (((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0)) ↔ ((abs‘i) = 1 ∧ 0 = (i · 0))))
49	48	rspcev 3581	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((abs‘i) = 1 ∧ 0 = (i · 0))) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0)))
50	40, 44, 49	mp2an 704	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0))
51	50	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0)))
52	7, 39, 51	pm2.61ne 3043	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  ℝcr 11103  0cc0 11104  1c1 11105  ici 11106   · cmul 11109   / cdiv 11875  2c2 12299  ↑cexp 14102  ∗ccj 15152  abscabs 15290

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-rp 13021  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292

This theorem is used by: (None)