MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abs1m Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abs1m 14689
Description: For any complex number, there exists a unit-magnitude multiplier that produces its absolute value. Part of proof of Theorem 13-2.12 of [Gleason] p. 195. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
abs1m (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem abs1m
StepHypRef Expression
1 fveq2 6664 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
2 abs0 14639 . . . . . 6 (abs‘0) = 0
31, 2syl6eq 2872 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
4 oveq2 7158 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑥 · 0))
53, 4eqeq12d 2837 . . . 4 (𝐴 = 0 → ((abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴) ↔ 0 = (𝑥 · 0)))
65anbi2d 630 . . 3 (𝐴 = 0 → (((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)) ↔ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0))))
76rexbidv 3297 . 2 (𝐴 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0))))
8 simpl 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
98cjcld 14549 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
10 abscl 14632 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
1110adantr 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
1211recnd 10663 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
13 abs00 14643 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
1413necon3bid 3060 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
1514biimpar 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
169, 12, 15divcld 11410 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
17 absdiv 14649 . . . . 5 (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0) → (abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = ((abs‘(∗‘𝐴)) / (abs‘(abs‘𝐴))))
189, 12, 15, 17syl3anc 1367 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = ((abs‘(∗‘𝐴)) / (abs‘(abs‘𝐴))))
19 abscj 14633 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(∗‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
2019adantr 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(∗‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
21 absidm 14677 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
2221adantr 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
2320, 22oveq12d 7168 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(∗‘𝐴)) / (abs‘(abs‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)))
2412, 15dividd 11408 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) = 1)
2518, 23, 243eqtrd 2860 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = 1)
268, 9, 12, 15divassd 11445 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 · (∗‘𝐴)) / (abs‘𝐴)) = (𝐴 · ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))))
2712sqvald 13501 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
28 absvalsq 14634 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
2928adantr 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
3027, 29eqtr3d 2858 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
3112, 12, 15, 30mvllmuld 11466 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) / (abs‘𝐴)))
3216, 8mulcomd 10656 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴) = (𝐴 · ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))))
3326, 31, 323eqtr4d 2866 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴))
34 fveqeq2 6673 . . . . 5 (𝑥 = ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) → ((abs‘𝑥) = 1 ↔ (abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = 1))
35 oveq1 7157 . . . . . 6 (𝑥 = ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) → (𝑥 · 𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴))
3635eqeq2d 2832 . . . . 5 (𝑥 = ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴) ↔ (abs‘𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴)))
3734, 36anbi12d 632 . . . 4 (𝑥 = ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) → (((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)) ↔ ((abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴))))
3837rspcev 3622 . . 3 ((((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))
3916, 25, 33, 38syl12anc 834 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))
40 ax-icn 10590 . . . 4 i ∈ ℂ
41 absi 14640 . . . . 5 (abs‘i) = 1
42 it0e0 11853 . . . . . 6 (i · 0) = 0
4342eqcomi 2830 . . . . 5 0 = (i · 0)
4441, 43pm3.2i 473 . . . 4 ((abs‘i) = 1 ∧ 0 = (i · 0))
45 fveqeq2 6673 . . . . . 6 (𝑥 = i → ((abs‘𝑥) = 1 ↔ (abs‘i) = 1))
46 oveq1 7157 . . . . . . 7 (𝑥 = i → (𝑥 · 0) = (i · 0))
4746eqeq2d 2832 . . . . . 6 (𝑥 = i → (0 = (𝑥 · 0) ↔ 0 = (i · 0)))
4845, 47anbi12d 632 . . . . 5 (𝑥 = i → (((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0)) ↔ ((abs‘i) = 1 ∧ 0 = (i · 0))))
4948rspcev 3622 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ ((abs‘i) = 1 ∧ 0 = (i · 0))) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0)))
5040, 44, 49mp2an 690 . . 3 𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0))
5150a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0)))
527, 39, 51pm2.61ne 3102 1 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  wrex 3139  cfv 6349  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532  ici 10533   · cmul 10536   / cdiv 11291  2c2 11686  cexp 13423  ccj 14449  abscabs 14587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator