Theorem abs1m 15243

Description: For any complex number, there exists a unit-magnitude multiplier that produces its absolute value. Part of proof of Theorem 13-2.12 of [Gleason] p. 195. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
abs1m	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem abs1m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
2		abs0 15192	. . . . . 6 ⊢ (abs‘0) = 0
3	1, 2	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
4		oveq2 7357	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑥 · 0))
5	3, 4	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ((abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴) ↔ 0 = (𝑥 · 0)))
6	5	anbi2d 630	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)) ↔ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0))))
7	6	rexbidv 3153	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0))))
8		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	cjcld 15103	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
10		abscl 15185	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11143	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
13		abs00 15196	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
14	13	necon3bid 2969	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
15	14	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
16	9, 12, 15	divcld 11900	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
17		absdiv 15202	. . . . 5 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0) → (abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = ((abs‘(∗‘𝐴)) / (abs‘(abs‘𝐴))))
18	9, 12, 15, 17	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = ((abs‘(∗‘𝐴)) / (abs‘(abs‘𝐴))))
19		abscj 15186	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(∗‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(∗‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
21		absidm 15231	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
23	20, 22	oveq12d 7367	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(∗‘𝐴)) / (abs‘(abs‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)))
24	12, 15	dividd 11898	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) = 1)
25	18, 23, 24	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = 1)
26	8, 9, 12, 15	divassd 11935	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 · (∗‘𝐴)) / (abs‘𝐴)) = (𝐴 · ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))))
27	12	sqvald 14050	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
28		absvalsq 15187	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
30	27, 29	eqtr3d 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
31	12, 12, 15, 30	mvllmuld 11956	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) / (abs‘𝐴)))
32	16, 8	mulcomd 11136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴) = (𝐴 · ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))))
33	26, 31, 32	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴))
34		fveqeq2 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) → ((abs‘𝑥) = 1 ↔ (abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = 1))
35		oveq1 7356	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) → (𝑥 · 𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴))
36	35	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴) ↔ (abs‘𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴)))
37	34, 36	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) → (((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)) ↔ ((abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴))))
38	37	rspcev 3577	. . 3 ⊢ ((((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))
39	16, 25, 33, 38	syl12anc 836	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))
40		ax-icn 11068	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
41		absi 15193	. . . . 5 ⊢ (abs‘i) = 1
42		it0e0 12347	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
43	42	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ 0 = (i · 0)
44	41, 43	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ((abs‘i) = 1 ∧ 0 = (i · 0))
45		fveqeq2 6831	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = i → ((abs‘𝑥) = 1 ↔ (abs‘i) = 1))
46		oveq1 7356	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = i → (𝑥 · 0) = (i · 0))
47	46	eqeq2d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = i → (0 = (𝑥 · 0) ↔ 0 = (i · 0)))
48	45, 47	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = i → (((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0)) ↔ ((abs‘i) = 1 ∧ 0 = (i · 0))))
49	48	rspcev 3577	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((abs‘i) = 1 ∧ 0 = (i · 0))) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0)))
50	40, 44, 49	mp2an 692	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0))
51	50	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0)))
52	7, 39, 51	pm2.61ne 3010	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010  ici 11011   · cmul 11014   / cdiv 11777  2c2 12183  ↑cexp 13968  ∗ccj 15003  abscabs 15141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143

This theorem is referenced by: (None)