MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abs1m Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abs1m 14683
Description: For any complex number, there exists a unit-magnitude multiplier that produces its absolute value. Part of proof of Theorem 13-2.12 of [Gleason] p. 195. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
abs1m (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem abs1m
StepHypRef Expression
1 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
2 abs0 14633 . . . . . 6 (abs‘0) = 0
31, 2syl6eq 2869 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
4 oveq2 7153 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑥 · 0))
53, 4eqeq12d 2834 . . . 4 (𝐴 = 0 → ((abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴) ↔ 0 = (𝑥 · 0)))
65anbi2d 628 . . 3 (𝐴 = 0 → (((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)) ↔ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0))))
76rexbidv 3294 . 2 (𝐴 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0))))
8 simpl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
98cjcld 14543 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
10 abscl 14626 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
1110adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
1211recnd 10657 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
13 abs00 14637 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
1413necon3bid 3057 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
1514biimpar 478 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
169, 12, 15divcld 11404 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
17 absdiv 14643 . . . . 5 (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0) → (abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = ((abs‘(∗‘𝐴)) / (abs‘(abs‘𝐴))))
189, 12, 15, 17syl3anc 1363 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = ((abs‘(∗‘𝐴)) / (abs‘(abs‘𝐴))))
19 abscj 14627 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(∗‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
2019adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(∗‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
21 absidm 14671 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
2221adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
2320, 22oveq12d 7163 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(∗‘𝐴)) / (abs‘(abs‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)))
2412, 15dividd 11402 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) = 1)
2518, 23, 243eqtrd 2857 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = 1)
268, 9, 12, 15divassd 11439 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 · (∗‘𝐴)) / (abs‘𝐴)) = (𝐴 · ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))))
2712sqvald 13495 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
28 absvalsq 14628 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
2928adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
3027, 29eqtr3d 2855 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
3112, 12, 15, 30mvllmuld 11460 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) / (abs‘𝐴)))
3216, 8mulcomd 10650 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴) = (𝐴 · ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))))
3326, 31, 323eqtr4d 2863 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴))
34 fveqeq2 6672 . . . . 5 (𝑥 = ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) → ((abs‘𝑥) = 1 ↔ (abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = 1))
35 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝑥 = ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) → (𝑥 · 𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴))
3635eqeq2d 2829 . . . . 5 (𝑥 = ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) → ((abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴) ↔ (abs‘𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴)))
3734, 36anbi12d 630 . . . 4 (𝑥 = ((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) → (((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)) ↔ ((abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴))))
3837rspcev 3620 . . 3 ((((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((abs‘((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴))) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (((∗‘𝐴) / (abs‘𝐴)) · 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))
3916, 25, 33, 38syl12anc 832 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))
40 ax-icn 10584 . . . 4 i ∈ ℂ
41 absi 14634 . . . . 5 (abs‘i) = 1
42 it0e0 11847 . . . . . 6 (i · 0) = 0
4342eqcomi 2827 . . . . 5 0 = (i · 0)
4441, 43pm3.2i 471 . . . 4 ((abs‘i) = 1 ∧ 0 = (i · 0))
45 fveqeq2 6672 . . . . . 6 (𝑥 = i → ((abs‘𝑥) = 1 ↔ (abs‘i) = 1))
46 oveq1 7152 . . . . . . 7 (𝑥 = i → (𝑥 · 0) = (i · 0))
4746eqeq2d 2829 . . . . . 6 (𝑥 = i → (0 = (𝑥 · 0) ↔ 0 = (i · 0)))
4845, 47anbi12d 630 . . . . 5 (𝑥 = i → (((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0)) ↔ ((abs‘i) = 1 ∧ 0 = (i · 0))))
4948rspcev 3620 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ ((abs‘i) = 1 ∧ 0 = (i · 0))) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0)))
5040, 44, 49mp2an 688 . . 3 𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0))
5150a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ 0 = (𝑥 · 0)))
527, 39, 51pm2.61ne 3099 1 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((abs‘𝑥) = 1 ∧ (abs‘𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526  ici 10527   · cmul 10530   / cdiv 11285  2c2 11680  cexp 13417  ccj 14443  abscabs 14581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator