MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmounbseqiALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmounbseqiALT 30009
Description: Alternate shorter proof of nmounbseqi 30008 based on Axioms ax-reg 9583 and ax-ac2 10454 instead of ax-cc 10426. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoubi.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoubi.l 𝐿 = (normCV𝑈)
nmoubi.m 𝑀 = (normCV𝑊)
nmoubi.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmoubi.u 𝑈 ∈ NrmCVec
nmoubi.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmounbseqiALT ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (𝑁𝑇) = +∞) → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐿‘(𝑓𝑘)) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇‘(𝑓𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐿   𝑘,𝑌   𝑓,𝑀,𝑘   𝑇,𝑓,𝑘   𝑓,𝑋,𝑘   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓,𝑘)   𝑁(𝑓)   𝑊(𝑓,𝑘)   𝑌(𝑓)

Proof of Theorem nmounbseqiALT
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoubi.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nmoubi.y . . . 4 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3 nmoubi.l . . . 4 𝐿 = (normCV𝑈)
4 nmoubi.m . . . 4 𝑀 = (normCV𝑊)
5 nmoubi.3 . . . 4 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
6 nmoubi.u . . . 4 𝑈 ∈ NrmCVec
7 nmoubi.w . . . 4 𝑊 ∈ NrmCVec
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7nmounbi 30007 . . 3 (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) = +∞ ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
98biimpa 478 . 2 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (𝑁𝑇) = +∞) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
10 nnre 12215 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
1110imim1i 63 . . 3 ((𝑘 ∈ ℝ → ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))) → (𝑘 ∈ ℕ → ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
1211ralimi2 3079 . 2 (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇𝑦))) → ∀𝑘 ∈ ℕ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
13 nnex 12214 . . 3 ℕ ∈ V
14 fveq2 6888 . . . . 5 (𝑦 = (𝑓𝑘) → (𝐿𝑦) = (𝐿‘(𝑓𝑘)))
1514breq1d 5157 . . . 4 (𝑦 = (𝑓𝑘) → ((𝐿𝑦) ≤ 1 ↔ (𝐿‘(𝑓𝑘)) ≤ 1))
16 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑓𝑘) → (𝑇𝑦) = (𝑇‘(𝑓𝑘)))
1716fveq2d 6892 . . . . 5 (𝑦 = (𝑓𝑘) → (𝑀‘(𝑇𝑦)) = (𝑀‘(𝑇‘(𝑓𝑘))))
1817breq2d 5159 . . . 4 (𝑦 = (𝑓𝑘) → (𝑘 < (𝑀‘(𝑇𝑦)) ↔ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇‘(𝑓𝑘)))))
1915, 18anbi12d 632 . . 3 (𝑦 = (𝑓𝑘) → (((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ ((𝐿‘(𝑓𝑘)) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇‘(𝑓𝑘))))))
2013, 19ac6s 10475 . 2 (∀𝑘 ∈ ℕ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇𝑦))) → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐿‘(𝑓𝑘)) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇‘(𝑓𝑘))))))
219, 12, 203syl 18 1 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (𝑁𝑇) = +∞) → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐿‘(𝑓𝑘)) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇‘(𝑓𝑘))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071   class class class wbr 5147  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  cr 11105  1c1 11107  +∞cpnf 11241   < clt 11244  cle 11245  cn 12208  NrmCVeccnv 29815  BaseSetcba 29817  normCVcnmcv 29821   normOpOLD cnmoo 29972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-reg 9583  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-r1 9755  df-rank 9756  df-card 9930  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-grpo 29724  df-gid 29725  df-ginv 29726  df-ablo 29776  df-vc 29790  df-nv 29823  df-va 29826  df-ba 29827  df-sm 29828  df-0v 29829  df-nmcv 29831  df-nmoo 29976
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator